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第十八章 四边形练习题 ‎1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）‎ ‎　 A．2 B．‎4‎ C．4 D．8‎ ‎2. 下列命题中，真命题是( )‎ A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形 ‎3. 如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ ‎　 ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． 2 D． 3‎ ‎4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）‎ A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF ‎5. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）‎ A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 第 11 页 共 11 页 ‎6. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　 　．‎ ‎7. 如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．‎ ‎9. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，‎ 则CD= ．‎ ‎10. 如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎11. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．‎ ‎　‎ ‎12. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．‎ ‎（1）求证：AF=BE；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．‎ ‎13. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.‎ ‎（1）求证：AF=DC；‎ ‎（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.‎ ‎14. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点 ‎（1）求证：△ABM≌△DCM ‎（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；‎ ‎（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）‎ 第 11 页 共 11 页 ‎15. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．‎ ‎（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．‎ ‎（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．‎ ‎16. 如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE． （1）求证：BD=DE． （2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．‎ 答案 第十九章 四边形练习题 ‎1. B 解析：∵AE为∠ADB的平分线，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠BAE=∠DFA，‎ ‎∴∠DAE=∠DFA，‎ ‎∴AD=FD，‎ 又F为DC的中点，‎ ‎∴DF=CF，‎ ‎∴AD=DF=DC=AB=2，‎ 第 11 页 共 11 页 在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，‎ 则AF=2AG=2，‎ 在△ADF和△ECF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△ECF（AAS），‎ ‎∴AF=EF，‎ 则AE=2AF=4．‎ ‎2. D 解析：对角线相等的四边形可能是等腰梯形、长方形、正方形等，所以A是假命题；对角线互相垂直且平分的四边形可能是正方形、菱形等，所以B是假命题；对角线互相垂直的四边形可能是菱形、正方形等，所以C是假命题；四个角相等的四边形是矩形是真命题.‎ ‎3. D 解析：△ABC、△DCE是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，‎ ‎∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，‎ ‎∴△ACD是等边三角形，‎ ‎∴AD=AC=BC，故①正确；‎ 由①可得AD=BC，‎ ‎∵AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BD、AC互相平分，故②正确；‎ 由①可得AD=AC=CE=DE，‎ 故四边形ACED是菱形，即③正确．‎ 综上可得①②③正确，共3个．‎ ‎4. D 解析：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF， ∵CF=BE， ∴BE=EC=CF=BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC=AC时， ∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=∠EBC=45° ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意； 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意． ‎ ‎5. C 解析：A、∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD， 故本选项正确； B、∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB， 在△ABC和△DCB中， ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎∵，‎ ‎∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB=∠DBC， ∴OB=OC， 故本选项正确； C、∵无法判定BC=BD， ∴∠BCD与∠BDC不一定相等， 故本选项错误； D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC， ∴∠ABD=∠ACD． 故本选项正确．‎ ‎6. 15 解析：∵□ABCD的周长为36，‎ ‎∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，‎ ‎∴OD=OB=BD=6．‎ 又∵点E是CD的中点，‎ ‎∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，‎ ‎∴OE=BC，‎ ‎∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．‎ 故答案是：15．‎ ‎7. OA=OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC（答案不唯一）‎ ‎8. （2，4）或（3，4）或（8，4） 解析：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况： （1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）；‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ （2）如答图②所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3， ∴此时点P坐标为（3，4）； （3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．‎ ‎9. 解析：过点D作DE⊥BC于E．‎ ‎ ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴AD=BE=1， ∵BC=4， ∴CE=BC-BE=3， ∵∠C=45°， ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎∴CD=．‎ ‎10. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，‎ ‎∴BE=BD=1．‎ 如图2，连接BB′．‎ 根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．‎ ‎∴∠BEB′=90°，‎ ‎∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．‎ 又∵BE=DE，B′E⊥BD，‎ ‎∴DB′=BB′=．‎ ‎11. 证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴∠D+∠DCE=90°，‎ ‎∵∠BCD=90°，‎ ‎∴∠BCF+∠DCE=90°，‎ ‎∴∠BCF=∠D，‎ 在△BCF和△CDE中，，‎ ‎∴△BCF≌△CDE（AAS），‎ ‎∴BF=CE，‎ 又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，‎ ‎∴四边形AEFB是矩形，‎ ‎∴AE=BF，‎ ‎∴AE=CE．‎ ‎　‎ ‎12. （1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，‎ ‎∴∠DAF+∠BAF=90°，‎ 第 11 页 共 11 页 ‎∵AF⊥BE，‎ ‎∴∠ABE+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ABE=∠DAF，‎ ‎∵在△ABE和△DAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DAF（ASA），‎ ‎∴AF=BE；‎ ‎（2）解：MP与NQ相等．‎ 理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，‎ 由（1）可知MP＝NQ．‎ ‎13. 证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=ED.‎ ‎∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,‎ ‎∴△AFE≌△DBE. ‎ ‎∴AF=DB.‎ ‎∵AD是BC边上的中点，∴DB=DC,AF=DC ‎ ‎（2）四边形ADCF是菱形. ‎ ‎ 理由：由（1）知，AF=DC,‎ ‎ ∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形. ‎ ‎ 又∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形 ‎ ∵AD是BC边上的中线, ∴. ‎ ‎∴平行四边形ADCF是菱形. ‎ ‎14. 解：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又MA＝MD，‎ 所以，△ABM≌△DCM ‎（2）四边形MENF是菱形；‎ 理由：因为CF＝FM，CN＝NB，‎ 所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC，‎ 所以，四边形MENF为平行四边形，‎ 又△ABM≌△DCM 第 11 页 共 11 页 ‎∴MB＝MC，又∵ ‎ ‎∴ME＝MF，‎ ‎∴平行四边形MENF是菱形.‎ ‎（3）2：1‎ ‎15. （1）证明：∵在△ABC和△ADC中，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS），‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，‎ ‎∵在△ABF和△ADF中，‎ ‎∴△ABF≌△ADF，‎ ‎∴∠AFD=∠AFB，‎ ‎∵∠AFB=∠CFE，‎ ‎∴∠AFD=∠CFE，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.‎ ‎（2）证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠ACD，‎ 又∵∠BAC=∠DAC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACD，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵AB=AD，CB=CD，‎ ‎∴AB=CB=CD=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，‎ 理由：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，‎ 在△BCF和△DCF中，‎ ‎∴△BCF≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠CBF=∠CDF，‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠BEC=∠DEF=90°，‎ ‎∴∠EFD=∠BCD．‎ ‎16. （1）证明：∵AD∥BC，CE=AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD， ∴BD=DE． ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=3，AC∥DE， ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE， ∵BD=DE， ∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16， ∴BD=4， ∴BE=BD=8， ∴DF=BF=EF=BE=4， ∴CF=EF-CE=1， ∴AB=CD==．‎ 第 11 页 共 11 页