第2章 四边形
2.7 正方形2.7 正方形
目标突破
总结反思
第2章 四边形
知识目标2.7 正方形
知识目标知识目标
1．经过回忆、自学阅读、思考，理解正方形的概念，明确它与
平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．在理解正方形概念的基础上，通过观察、讨论，能够总结出
正方形的性质．
3．经过观察、思考、讨论、归纳，理解正方形的判定方法，能
证明一个四边形是正方形．目标突破目标突破
目标一 理解正方形的概念
例1 教材补充例题 下列关于平行四边形、矩形、菱形、正方
形的说法，正确的是( )
A．如果一个四边形的四条边都相等，那么它是正方形
B．正方形既是平行四边形，又是矩形和菱形
C．如果一个四边形是平行四边形，那么它就不可能是正方形
D．如果一个四边形是矩形，那么它就一定是正方形
B
2.7 正方形[解析] B 根据正方形的概念可知，正方形是有一个角是直角的菱形，
也是有一组邻边相等的矩形，所以正方形既是平行四边形，又是矩形和
菱形，所以正确的说法是B选项．
2.7 正方形【归纳总结】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，平行
四边形包含其他三种，正方形又被其他三种包含．既是矩形又
是菱形的四边形就是正方形，它们之间的关系可以用图2－7－
1表示．
2.7 正方形目标二 掌握正方形的性质
例2 教材补充例题 如图2－7－2，在正方形ABCD中，点E，F分
别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等
的任意一个角，并加以证明．
图2－7－2
2.7 正方形2.7 正方形例3 教材补充例题 如图2－7－3，在正方形ABCD的外侧作等
边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
图2－7－3
2.7 正方形2.7 正方形【归纳总结】 正方形性质的应用
2.7 正方形目标三 掌握正方形的判定
例4 教材例2针对训练 如图2－7－4，在Rt△ABC中，CF平分
∠ACB，FD⊥CA于点D，FE⊥BC于点E.求证：四边形CDFE是正方
形．
图2－7－4
2.7 正方形[解析] 本题先说明四边形CDFE是矩形，再求出有一组邻边相等即可，
还可以先说明四边形CDFE是菱形，再求出有一个内角为90°即可．
证明：因为FD⊥CA，FE⊥BC，
所以∠FDC＝∠FEC＝∠BCD＝90°，
所以四边形CDFE是矩形．
因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥CA，
所以FE＝FD，
所以矩形CDFE是正方形．
2.7 正方形【归纳总结】 从菱形、矩形出发判定正方形
2.7 正方形例5 教材补充例题 已知：如图2－7－5，在矩形ABCD中，M，
N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM, CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝________时，
四边形MENF是正方形
(只写结论，不需证明)．
图2－7－5
2:1
2.7 正方形[解析] 对于(1)，可直接运用“SAS”来判定两个三角形全等；对于(2)
，由于(1)中变相给出了BM＝CM的提示，所以容易联想运用菱形的定义
判断四边形MENF的形状；对于(3)，相当于把(2)中的菱形变为正方形，
那么只需∠BMC＝90°.此时∠AMB＝∠DMC＝45°，所以△ABM是等腰直
角三角形，所以AD＝2AB.
2.7 正方形解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°.
又∵M是AD的中点，∴AM＝DM，
∴△ABM≌△DCM(SAS)．
(2)四边形MENF是菱形．
证明：∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴NF∥ME，NE∥MF，
∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)可得BM＝CM，
∴ME＝MF，
∴▱MENF是菱形．
2.7 正方形【归纳总结】 平行四边形、矩形、菱形、正方形的相互转化
2.7 正方形总结反思总结反思
知识点一 正方形的定义
小结
有一组____________且有一个角是________的平行四边形叫作
正方形．
直角邻边相等
2.7 正方形知识点二 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系
详见目标三的归纳总结．
2.7 正方形知识点三 正方形的性质
(1)四条边__________，四个角都是________；
(2)对角线相等且互相____________，每条对角线平分一组对角；
(3)．正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的________；
(4)正方形是轴对称图形，______________所在直线，以及过每
一组对边中点的直线都是它的对称轴．
都相等 直角
垂直平分
对称中心
两条对角线
2.7 正方形知识点四 正方形的判定
在判定正方形时，通常先判定它是矩形或菱形，然后通过下列
定理判定其为正方形：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)对角线____________的矩形是正方形；
(3)有一个角是直角的菱形是正方形；
(4)对角线________的菱形是正方形．
互相垂直
相等
2.7 正方形反思
判断下列说法是否正确．若不正确，请说明理由．
(1)四条边相等的四边形是正方形；
(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；
(3)每条对角线平分一组对角的四边形是正方形．
2.7 正方形解：三种说法都是错误的．(1)若一个四边形的四条边都相等，则只能判定它
是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件可以是“有一个角
是直角”或其他合理的判定条件；(2)一个四边形的对角线相等且互相垂直，
但对角线不一定互相平分，故不能判定它是正方形；(3)正方形的每一条对角
线都平分一组对角，但反过来就不一定成立了，它只能判定该四边形是菱形，
还缺少一个再判定它是正方形的条件．
2.7 正方形
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