第2章 四边形
2.6 菱形2.6.2 菱形的判定
目标突破
总结反思
第2章 四边形
知识目标2.6 菱形
知识目标知识目标
1．经过操作、思考、讨论，归纳总结出菱形的判定定理1(四条
边都相等的四边形是菱形)，并能应用．
2．通过画图、自学阅读、探究，能总结出菱形的判定定理2(对
角线互相垂直的平行四边形是菱形)，并会用其解决问题．目标突破目标突破
目标一 能应用菱形的判定定理1证明
2.6 菱形
例1 教材例2针对训练 如图2－6－5，在△ABC中，∠ACB＝
90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F
，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形．
图2－6－52.6 菱形
[解析] 思路一：可由四条边相等的四边形是菱形来证明．思路二：先
利用角平分线的性质证明EC＝EH，再利用等腰三角形的性质证明CF＝CE
，从而得CF＝EH，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四
边形CFHE是平行四边形，最后由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明
四边形CFHE是菱形．证明：方法一：如图，
∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
∵EH⊥AB于点H，∴∠AHE＝∠ACB＝90°.
又∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE，∴EC＝EH，AC＝AH.
又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△AFC≌△AFH，∴FC＝FH.
∵CD⊥AB于点D，∴∠2＋∠4＝∠1＋∠3＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
∵∠4＝∠5，∴∠5＝∠3，∴FC＝EC，
∴EC＝EH＝FH＝FC，
∴四边形CFHE是菱形．
2.6 菱形方法二：如图，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠1＝∠2，EH＝EC.
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.
∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴EC＝CF，∴EH＝CF.
∵EH⊥AB，CD⊥AB，∴EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形．
又∵EH＝EC，
∴四边形CFHE是菱形．
2.6 菱形【归纳总结】 菱形的判定方法
2.6 菱形
已知条件 需要条件
平行四边形
邻边相等
对角线互相垂直
四边形
四条边都相等
对角线互相垂直平分
每条对角线平分一组对角目标二 会应用菱形的判定定理2解题、证明
2.6 菱形
例2 教材例3针对训练 如图2－6－6，在▱ABCD中，BE平分∠ABC
交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若BD⊥EF，请判断四边形
EBFD是什么特殊四边形，
并证明你的结论． 图2－6－62.6 菱形
[解析] (1)由平行四边形ABCD可得出的条件有①AB＝CD，②∠A＝∠C，
③∠ABC＝∠ADC；已知BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，易证得
∠ABE＝∠CDF④，综合①②④，即可由“ASA”判定所求的三角形全等；
(2)由(1)的全等三角形，易证得DE＝BF，那么DE和BF平行且相等，由此
可判定四边形EBFD是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是
菱形即可得出四边形EBFD的形状．2.6 菱形
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)．
(2)若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．
证明：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．例3 教材补充例题 如图2－6－7，在四边形ABCD中，BD为一
条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，
连接BE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若∠ADB＝30°，
BC＝1，求AC的长．
图2－6－7
2.6 菱形2.6 菱形2.6 菱形
【归纳总结】 当题中出现对角线，并能顺利证明对角线互相
垂直或互相垂直平分时，常选用“对角线互相垂直的平行四边
形是菱形”或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证明四
边形是菱形．总结反思总结反思
知识点一 菱形的判定定理1
小结
2.6 菱形
四条边__________的四边形是菱形．都相等知识点二 菱形的判定定理2
2.6 菱形
对角线互相________的平行四边形是菱形．垂直反思
2.6 菱形
(1)学习了菱形的性质后，小彬说：“菱形的对角线互相垂直，
反过来，对角线互相垂直的四边形就是菱形．”你认为小彬的
推理正确吗？提出你的看法．
(2)若菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的面积．
解：S菱形＝6×8＝48.
上述解法正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程．2.6 菱形
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