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课时作业(十六)
[2.4 三角形的中位线]
一、选择题
1．如图 K－16－1，C，D 分别为 EA，EB 的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2 的度
数为( )
链接听课例1归纳总结
图 K－16－1
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．2018·宁波如图 K－16－2，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的
中点，连接 OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1 的度数为( )
图 K－16－2
A．50° B．40°
C．30° D．20°
3．如图 K－16－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE 垂直平分 AC 交 AB
于点 E，则 DE 的长为( )
链接听课例2归纳总结
图 K－16－3
A．6 B．5
C．4 D．3
4．如图 K－16－4，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 边的中点，则图中的平行四边形一共有
( )
图 K－16－42
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
5．2017·遵义如图 K－16－5，在△ABC 中，E 是 BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF
∥AD 交 AC 于点 F.若 AB＝11，AC＝15，则 FC 的长为( )
图 K－16－5
A．11 B．12
C．13 D．14
二、填空题
6．如图 K－16－6，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，且 AB＝6 cm，
AC＝8 cm，则四边形 ADEF 的周长等于________cm.
图 K－16－6
7．2018·南京如图 K－16－7，在△ABC 中，用直尺和圆规作 AB，AC 的垂直平分线，分
别交 AB，AC 于点 D，E，连接 DE.若 BC＝10 cm，则 DE＝________ cm.链接听课例1归纳总结
图 K－16－7
8．2017·怀化如图 K－16－8，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 的中点，
OE＝5 cm，则 AD 的长是________ cm.
图 K－16－8
9．如图 K－16－9，将△ABC 沿它的中位线 MN 折叠后，点 A 落在点 A′处．若∠A＝
30°，∠B＝115°，则∠A′NC＝________°.
图 K－16－9
10．如图 K－16－10，在△ABC 中，BC＝1，P 1，M1 分别是 AB，AC 边的中点，P2，M2 分
别是 AP1，AM1 的中点，P3，M3 分别是 AP2，AM2 的中点，…，按这样的规律下去，PnMn 的长为
________(n 为正整数)．3
图 K－16－10
三、解答题
11．如图 K－16－11，A，B 两地被建筑物阻隔，为测量 A，B 两地的距离，在地面上选
一点 C，连接 CA，CB，分别取 CA，CB 的中点 D，E.
(1)若 DE 的长度为 36 米，求 A，B 两地之间的距离；
(2)如果 D，E 两点之间还有阻隔，你有什么方法解决？
图 K－16－11
12．已知：如图 K－16－12，在△ABC 中，DE，DF 是△ABC 的中位线，连接 EF，AD，其
交点为 O.
求证：(1)△CDE≌△DBF；
(2)OA＝OD.链接听课例2归纳总结
图 K－16－124
13．如图 K－16－13，已知 BD⊥AG，CE⊥AF，垂足分别为 D，E，BD，CE 分别是∠ABC
和∠ACB 的平分线．若 BF＝2，ED＝3，GC＝4.
(1)求 FG 的长；
(2)求△ABC 的周长．
图 K－16－13
14.如图 K－16－14，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，M，N，E，F 分别是 BD，AC，BC，MN
的中点，连接 ME，NE.
(1)猜想△MEN 的形状，并证明你的猜想；
(2)EF 与 MN 有何位置关系？写出你的结论，并说明理由．
图 K－16－14
阅读理解如图 K－16－15①，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接
EF 并延长，分别与 BA，CD 的延长线交于点 M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)；
分析：如图①，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE，HF，根据三角形的中位线定理，证
明 HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证得∠BME＝∠CNE；
【问题拓展】如图②，在△ABC 中，AC＞AB，点 D 在 AC 边上，AB＝CD，E，F 分别是
BC，AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G.若∠EFC＝60°，试判断△AGF 的
形状，并说明理由．5
图 K－16－156
详解详析
课堂达标
1．A
2．[解析] B 由三角形内角和定理，得∠ACB＝40°，由平行四边形的性质得 OB＝OD，
由三角形中位线定理，得 OE∥BC，故∠1＝∠ACB＝40°.
3．[解析] D ∵∠ACB＝90°，
∴△ACB 为直角三角形．
在 Rt△ABC 中，BC＝ 102－82＝6.
∵DE 垂直平分 AC，∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，D 是 AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE＝
1
2BC＝3.
4．[解析] C 图中的平行四边形有▱AEFD，▱EBFD，▱EFCD.
5．[解析] C 如图，设 N 是 AC 的中点，连接 EN，
则 EN∥AB，EN＝
1
2AB，
∴∠CNE＝∠BAC.
∵EF∥AD，∴∠DAC＝∠EFN.
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠CNE＝∠EFN＋∠FEN，∠DAC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠FEN，∴FN＝EN＝
1
2AB，
∴FC＝FN＋NC＝
1
2AB＋
1
2AC＝13.
6．[答案] 14
[解析] ∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝
1
2AC＝4 cm，DE
∥AC.∵E，F 分别是 BC，CA 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF＝
1
2AB＝3 cm，EF∥AB，∴四边
形 ADEF 是平行四边形，∴四边形 ADEF 的周长＝2(DE＋EF)＝14 cm.
7．[答案] 5
[解析] 根据垂直平分线的定义可知 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 DE 是△ABC 的中
位线，∴DE＝
1
2BC＝5.
8．[答案] 10
[解析] ∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴BO＝DO.7
∵E 是 AB 的中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，
∴AD＝2OE.
∵OE＝5 cm，∴AD＝10 cm.
9．[答案] 110
[解析] ∵∠A＝30°，∠B＝115°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－115°＝
35°.∵MN 是△ABC 的中位线，∴MN∥BC，∴∠A′NM＝∠C＝35°，∠CNM＝180°－∠C＝180°
－35°＝145°，∴∠A′NC＝∠CNM－∠A′NM＝145°－35°＝110°.
10.
1
2n
11．解：(1)∵D，E 分别为 CA，CB 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥AB，DE＝
1
2AB.
∵DE＝36 米，
∴AB＝2DE＝2×36＝72(米)．
答：A，B 两地之间的距离为 72 米．
(2)分别取 CD，CE 的中点，利用中位线定理即可求得 DE 的长．
12．证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线，
∴DE∥AB，DE＝
1
2AB，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 的中点，
∴∠CDE＝∠B.
∵D 是 BC 的中点，∴CD＝DB.
又∵F 为 AB 的中点，
∴AF＝BF＝
1
2AB，∴DE＝BF.
在△CDE 和△DBF 中，{CD＝DB，
∠CDE＝∠B，
DE＝BF，
∴△CDE≌△DBF.
(2)由(1)知，DE∥AB，DE＝
1
2AB.
AF＝BF＝
1
2AB，
∴DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形 DEAF 为平行四边形，
∴OA＝OD.
13．解：(1)∵AG⊥BD，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠GBD.
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD，∴AD＝GD.
同理可得 AE＝FE，8
∴ED 是△AFG 的中位线，
∴FG＝2ED＝6.
(2)由(1)知△ABD≌△GBD，
∴AB＝GB.同理 AC＝FC.
∵BF＝2，FG＝6，GC＝4，
∴AB＝GB＝BF＋FG＝8，AC＝FC＝GC＋FG＝10，
∴△ABC 的周长＝8＋10＋2＋6＋4＝30.
14．解：(1)△MEN 是等腰三角形，证明如下：
∵在△ABC 中，N，E 分别是 AC，BC 的中点，
∴NE＝
1
2AB.同理 ME＝
1
2CD.
∵AB＝CD，∴NE＝ME，
即△MEN 是等腰三角形．
(2)EF⊥MN，理由如下：
由(1)知△MEN 是等腰三角形，NE＝ME.
∵F 是 MN 的中点，
∴EF⊥MN.
素养提升
解：△AGF 是等边三角形．理由：如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE.
∵F 是 AD 的中点，
∴HF 是△ABD 的中位线，
∴HF∥AB，HF＝
1
2AB，
∴∠1＝∠3.
同理，HE∥CD，HE＝
1
2CD，
∴∠2＝∠EFC.
∵AB＝CD，∴HF＝HE，
∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠EFC.
∵∠EFC＝60°，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF 是等边三角形．
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