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专题训练(二) 特殊平行四边形中的折叠问题
► 类型之一 把一个顶点折叠到一条边上
1．2017·天水如图 2－ZT－1，在矩形 ABCD 中，∠DAC＝65°，E 是 CD 上一点，BE 交 AC
于点 F，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处，则∠AFC′＝________°.
图 2－ZT－1
2．如图 2－ZT－2，将矩形纸片 ABCD 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 DC 边上的点 F 处．若
△AFD 的周长为 9，△ECF 的周长为 3，则矩形 ABCD 的周长为________．
图 2－ZT－2
3．如图 2－ZT－3，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点
A 恰好落在边 BC 上的点 F 处．若 AE＝5，BF＝3，求 CD 的长．
图 2－ZT－3
4．某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作
品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长 BC＝20 cm，宽 AB＝16
cm 的矩形纸片 ABCD，②将纸片沿着直线 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处．请你根
据①②步骤计算 EC 的长．
5．如图 2－ZT－4，已知矩形纸片 ABCD，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，
折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O.求证：A，G，E，F 四点构成的四边
形是菱形．
图 2－ZT－42
► 类型之二 把一条边折叠到对角线上
6．如图 2－ZT－5，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重
合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( )
图 2－ZT－5
A．3 B．4 C．5 D．6
7．准备一张矩形纸片 ABCD，按如图 2－ZT－6 所示操作：
将△ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的点 M 处，将△CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落
在对角线 BD 上的点 N 处．
(1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形；
(2)若四边形 BFDE 是菱形，AB＝2，求菱形 BFDE 的面积．
图 2－ZT－6
► 类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
8．如图 2－ZT－7，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′处，折
痕为 EF，若 AB＝1，BC＝2，则△ABE 和△BC′F 的周长之和为( )
图 2－ZT－7
A．3 B．4 C．6 D．8
9．把一张矩形纸片 ABCD 按图 2－ZT－8 的所示方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕
为 EF.若 AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF 的面积为________cm2.
图 2－ZT－8
10．如图 2－ZT－9，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C3
与点 A 重合，求折痕 EF 的长．
图 2－ZT－9
► 类型之四 沿一条直线折叠
11．如图 2－ZT－10，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF
折叠，则图中阴影部分的周长为( )
图 2－ZT－10
A．8 2 B．4 2 C．8 D．6
12．如图 2－ZT－11，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC
上的动点，将△EBF 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D 的最小值是( )
图 2－ZT－11
A．2 10－2 B．6
C．2 13－2 D．4
13．2017·宁夏如图 2－ZT－12，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点
A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．
图 2－ZT－12
14．2017·西宁如图 2－ZT－13，将平行四边形 ABCD 沿 EF 对折，使点 A 落在点 C
处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则 AE 的长为________．
图 2－ZT－134
15．如图 2－ZT－14，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使点 B
落在点 P 处，折痕为 EC，连接 AP 并延长交 CD 于点 F，连接 BP.
(1)求证：四边形 AECF 为平行四边形；
(2)若△AEP 是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；
(3)若矩形 ABCD 的边 AB＝6，BC＝4，求△CPF 的面积．
图 2－ZT－145
详解详析
1．[答案] 40
2．[答案] 12
[解析] 由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE.所以矩形的周长等于△AFD 和△CFE 的周长
的和．故矩形 ABCD 的周长为 12.
3．解：根据折叠的性质，得 EF＝AE＝5.根据矩形的性质，得∠B＝90°.在 Rt△BEF 中，∠
B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得 BE＝ EF2－BF2＝ 52－32＝4，∴CD＝AB＝AE
＋BE＝5＋4＝9.
4．解：设 EC＝x cm，则 EF＝DE＝(16－x) cm.由题意得 AF＝AD＝20 cm.
在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝12 cm，FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．
在 Rt△EFC 中，EF2＝FC2＋EC2，
即(16－x)2＝82＋x2，
解得 x＝6，
∴EC 的长为 6 cm.
5．证明：连接 AF.由折叠的性质，得 AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG.
又∵AG＝EG，
∴EF＝AG，
∴四边形 AGEF 是平行四边形．
又∵AG＝EG，
∴平行四边形 AGEF 是菱形，
即 A，G，E，F 四点构成的四边形是菱形．
6．D
7．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝
∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
(2)∵四边形 BFDE 是菱形，
∴BE＝ED＝BF，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝
2 3
3 ，BF＝BE＝2AE＝
4 3
3 ，6
∴菱形 BFDE 的面积为
4 3
3 ×2＝
8 3
3 .
8．C
9．[答案]
51
10
[解析] 设 ED＝x cm，则根据折叠和矩形的性质，得 A′E＝AE＝(5－x) cm，A′D＝AB＝
3 cm.
根据勾股定理，得 ED2＝A′E2＋A′D2，即 x2＝(5－x)2＋32，解得 x＝
17
5 ，∴S△DEF＝
1
2×
17
5 ×3＝
51
10(cm2)．
10．解：设 BE＝x，则 CE＝BC－BE＝16－x.
∵沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合，
∴AE＝CE＝16－x.
在 Rt△ABE 中，AB2＋BE2＝AE2，
即 82＋x2＝(16－x)2，
解得 x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.
∵矩形 ABCD 的对边 AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝10.
过点 E 作 EH⊥AD 于点 H，则四边形 ABEH 是矩形，
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在 Rt△EFH 中，EF＝ EH2＋FH2＝ 82＋42＝4 5.
11．C
12．A
13．[答案] 105°
[解析] 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，得∠DBC＝∠ADB.
又由折叠，得∠A＝∠A′，∠BDA′＝∠BDA，所以∠DBC＝∠BDA′.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及∠1＝50°，可得∠DBC＝
25°，则∠ABC＝∠2＋∠DBC＝75°.
因为 AD∥BC，
所以∠A＋∠ABC＝180°，
所以∠A＝105°，∴∠A′＝105°.
14．[答案]
19
4
[解析] 作 CH⊥AB 于点 H，则 BH＝2，CH＝2 3，则 AH＝8.在 Rt△ACH 中，设 AE＝CE＝
a，则 EH＝8－a，由 CH2＋EH2＝CE2，得(8－a)2＋(2 3)2＝a2，解得 a＝
19
4 ，即 AE＝
19
4 .
15．解：(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB∥DC.
∵E 为 AB 的中点，7
∴AE＝BE.
又由翻折，知 EC⊥BP，EP＝EB＝AE，
∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.
在△ABP 中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，
∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，
∴EC∥AF，
∴四边形 AECF 为平行四边形．
(2)证明：∵△AEP 是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，
∴∠PEC＝∠BEC＝60°，
∴∠PAB＝∠PEC＝60°.
由(1)与题可知 APB＝∠EPC＝90°，
∴△APB≌△EPC.
(3)∵AB＝6，BC＝4，E 是 AB 边的中点，
∴AE＝BE＝
1
2AB＝3.
在 Rt△BEC 中，EC＝ BE2＋BC2＝5，
∵四边形 AECF 为平行四边形，
∴AF＝EC＝5.
如图，设 CE 与 BP 交于点 H.
∵BE·BC＝EC·BH，
∴BH＝
12
5 ，
∴PH＝BH＝
12
5 ，
∴BP＝
24
5 .
在 Rt△BPA 中，AP＝ BA2－BP2＝
18
5 ，
∴PF＝
7
5.
过点 C 作 CG⊥AF 交 AF 的延长线于点 G，
∴CG＝PH＝
12
5 ，
∴△CPF 的面积 S＝
1
2PF·CG＝
1
2×
7
5×
12
5 ＝
42
25.
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