1
课时作业(十七)
[2.5.1 矩形的性质]
一、选择题
1．如图 K－17－1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是( )
图 K－17－1
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
2．2017·怀化如图 K－17－2，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB＝
60°，AC＝6 cm，则 AB 的长是( )
链接听课例3归纳总结
图 K－17－2
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
3．如图 K－17－3，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，
PF⊥BD 于点 F，则 PE＋PF 的值为( )
图 K－17－3
A.
15
3 B.
5
2 C．2 D.
12
5
4．2017·淮安如图 K－17－4，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝3，点 E 在边 BC 上，将△ABE
沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处．若∠EAC＝∠ECA，则 AC 的长是( )
图 K－17－4
A．3 3 B．6 C．4 D．5
5．2017·南通如图 K－17－5，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，点 E，F，G，H 分别
在矩形 ABCD 的各边上，且 AE＝CG，BF＝DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( )2
图 K－17－5
A．5 5 B．10 5
C．10 3 D．15 3
6．2018·内江如图 K－17－6，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE
与 AD 交于点 F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE 的度数为链接听课例2归纳总结( )
图 K－17－6
A．31° B．28° C．62° D．56°
二、填空题
7．2018·株洲如图 K－17－7，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝10，P，Q
分别为 AO，AD 的中点，则 PQ 的长度为________．
图 K－17－7
8．如图 K－17－8，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，
BC 于点 E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．
图 K－17－8
9．2017·河池如图 K－17－9，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，E 是 BC 的中点，AE⊥BD 于
点 F，则 CF 的长是________．
图 K－17－9
10．2017·徐州如图 K－17－10，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 Q 在对角线 AC 上，
且 AQ＝AD，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP＝________．3
图 K－17－10
三、解答题
11．已知：如图 K－17－11，四边形 ABCD 是矩形(AD＞AB)，点 E 在 BC 上，且 AE＝AD，
DF⊥AE，垂足为 F.求证：DF＝AB.链接听课例2归纳总结
图 K－17－11
12．如图 K－17－12，在矩形 ABCD 中，E，F 为 BC 上的两点，且 BE＝CF，连接 AF，DE
交于点 O.
求证：(1)△ABF≌△DCE；
(2)△AOD 是等腰三角形．
图 K－17－124
13．2017·百色如图 K－17－13，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，CE，AF
分别交 DB 于点 G，H.
求证：(1)四边形 AFCE 是平行四边形；
(2)EG＝FH.
图 K－17－13
14．如图 K－17－14，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AD，AB 上的点，EF＝EC，且 EF⊥EC.
(1)求证：AE＝DC；
(2)已知 DC＝ 2，求 BE 的长．
图 K－17－14
分类讨论如图 K－17－15，在矩形 ABCD 中，AD＝12 cm，点 P 在 AD 边上以 1 cm/s 的速度从
点 A 向点 D 运动，点 Q 从点 C 出发，以 4 cm/s 的速度在 BC 边上做往返运动，两点同时出发，
直到点 P 到达点 D 时，点 P，Q 都停止运动．设运动时间为 t s，当 t 为多少时，四边形 ABQP
为矩形？
图 K－17－155
详解详析
课堂达标
1．D
2．[解析] A 根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OA＝OB＝OD＝OC.因为∠AOB＝
60°，所以△AOB 是等边三角形，所以 AB＝AO＝
1
2AC＝3 cm.
3．[解析] D 设 AC，BD 相交于点 O，连接 OP，利用 S△AOD＝S△AOP＋S△POD 即可解决．
4．[解析] B ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝90°.
∵∠EAC＝∠ECA.
∴AE＝EC.
由折叠的性质，得∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF 是△AEC 的中线．
∵AF＝AB＝3，
∴AC＝2AF＝2×3＝6.
5．[解析] B 作点 F 关于 CD 的对称点 F′.易证四边形 EFGH 为平行四边形，△AEH≌△
CGF，
∴AH＝CF＝CF′.
当 H，G，F′三点共线时，GH＋GF′最小，
即 GH＋GF 最小．
过点 F′作点 F′M⊥AD，交 AD 的延长线于点 M.
则 HM＝5，F′M＝10，
根据勾股定理可求得 HF′＝5 5，
所以 GH＋GF 为 5 5，
即四边形 EFGH 的周长的最小值为 10 5.
6．[解析] D ∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠FDB＝90°－∠BDC＝90°－62°＝28°.
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB＝28°.
∵矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°.
∴∠DFE＝∠FBD＋∠FDB＝28°＋28°＝56°.
7．[答案]
5
2
[解析] ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BD＝AC＝10，OD＝
1
2BD，
∴OD＝5.
∵P，Q 分别为 AO，AD 的中点，
∴PQ＝
1
2OD＝
5
2.
8．[答案] 36
[解析] 矩形是中心对称图形，因此，将△AOE 绕点 O 顺时针旋转 180°后与△COF 重合，
所以阴影部分的面积实际上是△BCD 的面积，而△BCD 的面积可根据条件直接求出．
9. 2
10．[答案] 17
[解析] ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.
在 Rt△ACD 中，
AC＝ AD2＋CD2＝ 32＋42＝5.
∵AQ＝AD，AD＝3，
∴CQ＝AC－AQ＝2.
∵AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠QPC.
∵AQ＝AD，
∴∠ADQ＝∠AQD.
∵∠PQC＝∠AQD，
∴∠PQC＝∠QPC，
∴PC＝CQ＝2，
∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.
在 Rt△ABP 中，
AP＝ AB2＋BP2＝ 42＋12＝ 17.
11．证明：∵四边形 ABCD 是矩形，DF⊥AE，
∴∠B＝∠DFA＝90°，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB.
在△AFD 和△EBA 中，
∵∠DAF＝∠AEB，∠DFA＝∠B，AD＝EA，
∴△AFD≌△EBA(AAS)，
∴DF＝AB.
12．[解析] (1)先由 BE＝CF, 得 BF＝CE，
再根据矩形的性质得∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
根据 SAS，可以判定△ABF≌△DCE；
(2)利用(1)中的结论△ABF≌△DCE，可得∠BAF＝∠CDE，
从而 90°－∠BAF＝90°－∠CDE，
即∠DAO＝∠ADO，
所以 OA＝OD，
因此得△AOD 是等腰三角形．
证明：(1)∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°.
∵BE＝CF，
∴BF＝CE.
在△ABF 和△DCE 中，
∵BF＝CE，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∴△ABF≌△DCE(SAS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠BAF＝∠CDE.7
∵∠DAF＝90°－∠BAF，∠EDA＝90°－∠CDE，
∴∠DAF＝∠EDA，
即∠DAO＝∠ADO，
∴OA＝OD，
∴△AOD 是等腰三角形．
13．证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形．
(2)∵四边形 AFCE 是平行四边形，
∴EC∥AF，
∴∠BHF＝∠CGH.
又∵∠CGH＝∠DGE，
∴∠DGE＝∠BHF.
∵AD∥BC，
∴∠EDG＝∠FBH.
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，AD＝BC，
∴DE＝BF，
∴△DEG≌△BFH，
∴EG＝FH.
14．解：(1)证明：如图．∵在矩形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3.
在△AEF 和△DCE 中，{∠A＝∠D，
∠1＝∠3，
EF＝CE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝DC.
(2)由(1)得 AE＝DC＝ 2，在矩形 ABCD 中，AB＝DC＝ 2.在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝
BE2，即( 2)2＋( 2)2＝BE2，
∴BE＝2.
素养提升
解：∵在矩形 ABCD 中，AD＝12 cm，8
∴BC＝AD＝12 cm.当四边形 ABQP 为矩形时，AP＝BQ.
①当 0＜t＜3 时，t＝12－4t，解得 t＝
12
5 ；
②当 3≤t＜6 时，t＝4t－12，解得 t＝4；
③当 6≤t＜9 时，t＝36－4t，解得 t＝
36
5 ；
④当 9≤t≤12 时，t＝4t－36，解得 t＝12.
综上所述，当 t 为
12
5 或 4 或
36
5 或 12 时，四边形 ABQP 为矩形．
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