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课时作业(十一)
[2.2.1 第 1 课时 平行四边形的边、角的性质]
一、选择题
1．在▱ABCD 中，∠B－∠A＝30°，则∠C，∠D 的度数依次为链接听课例2归纳总结( )
A．85°，95° B．95°，85°
C．75°，105° D．无法确定
2．2017·农垦森在平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线把 BC 边分成长度是 3 和 4 的两
部分，则平行四边形 ABCD 的周长是( )
A．22 B．20
C．22 或 20 D．18
3．2017·丽水如图 K－11－1，在▱ABCD 中，连接 AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，
则 BC 的长是 链接听课例2归纳总结( )
图 K－11－1
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
4．如图 K－11－2，在▱ABCD 中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A
重合，点 D 落在 G 处，则∠GFE 的度数为( )
图 K－11－2
A．135° B．120°
C．115° D．100°
5.如图 K－11－3，在▱ABCD 中，∠ABD＝50°，AF⊥BC 于点 F，AF 交 BD 于点 E，O 是 DE
的中点，连接 OA.若 DE＝2AB，则∠ADB 的度数是( )
图 K－11－3
A．20° B．25° C．30° D．35°
二、填空题
6．2017·巴中如图 K－11－4，E 是▱ABCD 边 BC 上一点，且 AB＝BE，连接 AE，并延长 AE
与 DC 的延长线交于点 F，∠F＝70°，则∠D＝________°.2
图 K－11－4
7．2017·连云港如图 K－11－5，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F.若∠EAF＝
56°，则∠B＝________°.
图 K－11－5
8．2018·淄博在如图 K－11－6 所示的▱ABCD 中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线 AC
折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ADE 的周长等于
________．
图 K－11－6
三、解答题
9．2018·无锡如图 K－11－7，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的中
点．求证：∠ABF＝∠CDE.链接听课例2归纳总结
图 K－11－7
10．2018·衢州如图 K－11－8，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分
别为 E，F.求证：AE＝CF.
图 K－11－83
11.如图 K－11－9，在▱ABCD 中，∠BCD 和∠ABC 的平分线分别交 AD 于点 E，G，CE，BG
交于点 O.
(1)求证：AG＝DE；
(2)若 AB＝3，BC＝4，求 OE2＋OG2 的值．
图 K－11－9
12.如图 K－11－10，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，延长 BE 交 CD 的延长线
于点 F.
(1)若∠F＝20°，求∠A 的度数；
(2)连接 CE.若 AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD 的面积．
图 K－11－104
13．如图 K－11－11，在▱ABCD 中，∠BCD＝120°，分别延长 DC，BC 到点 E，F，使得
△BCE 和△CDF 都是等边三角形．
(1)求证：AE＝FA；
(2)求∠EAF 的度数．
图 K－11－11
如图 K－11－12，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，AB 上，DE＝BF，把▱ABCD 沿直线 EF 折
叠，使得点 B，C 分别落在点 B′，C′处，线段 EC′与线段 AF 交于点 G，连接 DG，B′G.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.
图 K－11－125
详解详析
课堂达标
1．[解析] C ∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，且∠B＋∠A＝180°.
又∵∠B－∠A＝30°，∴∠B＝105°，∠A＝75°，
∴∠C＝75°，∠D＝105°.故选 C.
[点评] 本题也可以用∠C 与∠D 互补且相差 30°，观察选项后直接选 C.
2．[解析] C 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A 的平分线交 BC 于点 E，则∠DAE＝∠
AEB.∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，BC＝BE＋EC，分两种
情况考虑：①当 BE＝3，EC＝4 时，平行四边形 ABCD 的周长为 2(AB＋BC)＝2(3＋3＋4)＝
20.②当 BE＝4，EC＝3 时，平行四边形 ABCD 的周长为 2(AB＋BC)＝2(4＋4＋3)＝22.
3．[解析] C ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，即△
ACD 是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝ 22＋22＝2 2.故选 C.
4．[解析] C 由折叠的性质可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE.
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，∴∠FEC＝65°.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＋∠
FEC＝180°，∴∠DFE＝115°，∴∠GFE＝115°.故选 C.
5．[解析] B ∵在▱ABCD 中，AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠EAD＝90°.∵O 是 DE 的中点，∴
OA＝OE＝OD＝
1
2DE，∴∠OAD＝∠ADB.∵DE＝2AB，∴OA＝AB，∴∠AOB＝∠ABD＝50°.∵∠OAD
＋∠ADB＝∠AOB＝50°，∴∠ADB＝
1
2∠AOB＝25°.
6．[答案] 40
[解析] 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，∠B＝∠D，所以∠EAB＝∠F＝
70°.因为 AB＝BE，所以∠EAB＝∠AEB＝70°，所以∠B＝40°，所以∠D＝40°.
7．[答案] 56
[解析] ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.在四边形 AECF 中，∠C＝360°－∠
EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－56°－90°－90°＝124°.在▱ABCD 中，∠B＝180°－∠C＝
180°－124°＝56°.
8．10
9．证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠A.
∵E，F 分别是边 BC，AD 的中点，
∴CE＝
1
2BC，AF＝
1
2AD，∴AF＝CE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
10．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又 BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.6
在△ABE 与△CDF 中，{∠AEB＝∠CFD，
∠BAE＝∠DCF，
AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF.
11．解：(1)证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC.
∵BG 平分∠ABC，∴∠ABG＝∠GBC，
∴∠AGB＝∠ABG, ∴AG＝AB.
同理 DE＝DC.
∵在▱ABCD 中，AB＝DC，∴AG＝DE.
(2)由(1)得 AB＝AG，∴DG＝1，
同理可证 AE＝1，∴EG＝2.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵BG 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴OE2＋OG2＝EG2＝4.
12．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A＋∠ABC＝180°，∠ABE＝∠F＝20°.
∵∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，
∴∠ABE＝∠CBF＝20°，
∴∠ABC＝40°，∴∠A＝140°.
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，
∠AEB＝∠CBF＝∠ABE，
∴AE＝AB＝5，∴DE＝AD－AE＝3.
∵CE⊥AD，
∴CE＝ CD2－DE2＝ 52－32＝4，
∴▱ABCD 的面积＝AD·CE＝8×4＝32.
13．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，DA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°.
∵△BCE 和△CDF 都是等边三角形，
∴BC＝BE，CD＝FD，∠EBC＝∠CDF＝60°，
∴BE＝DA，∠ABE＝∠FDA＝120°，AB＝FD，∴△ABE≌△FDA，∴AE＝FA.
(2)∵△ABE≌△FDA，∴∠BAE＝∠DFA.
∵∠FDA＝120°，∴∠DAF＋∠DFA＝60°，
∴∠DAF＋∠BAE＝60°，
∴∠EAF＝∠BAD－(∠DAF＋∠BAE)＝60°.
素养提升
证明：(1)在▱ABCD 中，AB∥CD，
∴∠2＝∠FEC.
由折叠的性质，得∠1＝∠FEC，7
∴∠1＝∠2.
(2)由(1)知∠1＝∠2，∴EG＝FG.
∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF.
由折叠的性质，得 EC′∥B′F，BF＝B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠B′FG＝∠DEG.
∵DE＝BF，BF＝B′F，∴DE＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG，∴DG＝B′G.
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