小专题(二) 三角形内角和与外角的几种常见应用
三角形的内角和为180°,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材,解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律.
类型1 三角形内角和定理的应用
1.(长沙中考)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2.如图,小李制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,现将△ABC沿着DE折叠压平,使点A落在点A'位置.若∠A=75°,则∠1+∠2= 150° .
3.已知在△ABC中,∠ABC-∠ACB=20°,∠ACB的度数是∠BAC度数的.求∠ABC的度数.
解:设∠ACB=x,∴∠ABC=x+20°,∠BAC=2x,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴x+20°+x+2x=180°,∴x=40°,
∴∠ABC=60°.
类型2 三角形外角性质定理的应用
4.如图,图中x的值为(B)
5
A.50 B.60 C.70 D.75
5.如图,DE∥BC,∠EDC=40°,∠ABC=60°,则∠BAD的度数为 100° .
6.如图,EP平分∠AED,FP平分∠AFB,ED与FB交于点C,请你找出∠P,∠A,∠ECF之间的一个确定的数量关系式,并说明理由.
解:∠A+∠ECF=2∠P.
理由:延长EP交AF于点G,则∠EPF=∠PGF+∠AFP,
∵∠PGF=∠A+∠AEP,∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠AFP.
∵∠ECF=∠CDF+∠CFD,∠CDF=∠A+∠AED,
又∵EP平分∠AED,FP平分∠AFB,
∴∠ECF=∠A+∠AED+∠CFD=∠A+2∠AEP+2∠AFP,
∴∠A+∠ECF=2∠A+2∠AEP+2∠AFP=2∠EPF.
类型3 三角形内角和与外角的综合应用
7.三角形中,三个内角的比为1∶3∶6,它的三个外角的比为(C)
A.1∶3∶6 B.6∶3∶1
C.9∶7∶4 D.3∶5∶2
8.如图,七角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 180° .
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9.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上任意一点,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED.
(1)若∠BAD=40°,求∠EDC的度数;
(2)若∠EDC=15°,求∠BAD的度数;
(3)根据上述两小题的答案,试写出∠EDC与∠BAD的关系.
解:(1)∵∠B=∠C=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=130°-∠BAC.
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=∠BAC-40°,
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)=110°-∠BAC,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=130°-∠BAC-=20°.
(2)∵∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=2∠EDC+∠C,
∵∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC=30°.
(3)∠EDC=∠BAD.
10.如图,已知AD是△ABC的角平分线(∠ACB>∠B),EF⊥AD于点P,交BC的延长线于点M.
(1)如果∠ACB=90°,求证:∠M=∠1;
(2)求证:∠M=(∠ACB-∠B).
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解:(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2,
∵EF⊥AD,∴∠2+∠AFP=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠M+∠CFM=90°,
∵∠CFM=∠AFP,∴∠M=∠2=∠1.
(2)∵EF⊥AD,AD平分∠BAC,
∴∠APE=∠APF=90°,∠1=∠2,
又∵∠AEF=90°-∠1,∠AFE=90°-∠2,
∴∠AEF=∠AFE,
∵∠CFM=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE=∠CFM,
∵∠AEF=∠B+∠M,∠CFM=∠ACB-∠M,
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M,即∠M=(∠ACB-∠B).
类型4 三角形特殊线段形成的角
11.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=(C)
A.70° B.80°
C.90° D.100°
12.如图,△ABC中,∠A=80°,高BE和CH的交点为O,则∠BOC等于(C)
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A.80° B.120°
C.100° D.150°
13.在△ABC中,∠A=64°,角平分线BP,CP相交于点P.
(1)如图1,若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC= 122° ;
(2)如图2,若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC= 58° ;
(3)如图3,若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC= 32° .
(4)由(1)(2)(3)可知∠BPC与∠A有着密切的数量关系,请写出你的发现.
解:(4)若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=90°+∠A;若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=90°-∠A;若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC=∠A.
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