11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
知识要点基础练
知识点1 三角形的高
1.如图,在△ABC中,正确画出边AC上的高的是(D)
2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,则BC边上的高是 AB ,AB边上的高是 BC ,AC边上的高是 BD .
知识点2 三角形的中线
3.能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是(A)
A.中线 B.高
C.角平分线 D.以上三种情况都正确
4.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若CE=9 cm,则BC= 12 cm.
知识点3 三角形的角平分线
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5.下列说法正确的是(B)
A.三角形的三条高都在三角形内
B.三角形的三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
综合能力提升练
6.如果一个三角形三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
7.【教材母题变式】如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是(D)
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
8.三角形的角平分线、中线、高都是(A)
A.线段 B.射线
C.直线 D.以上都有可能
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中错误的有(A)
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①BE是△ABD的中线;②BD是△BCE的角平分线;③∠1=∠2=∠3;④BC是△ABE的高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有 6 个.
11.BD是△ABC的中线,若AB=5 cm,BC=3 cm,则△ABD与△BCD的周长之差为 2 cm .
12.如图,在△ABC中,已知点E,F分别是AD,CE边上的中点,且S△ABC=8 cm2,则S△BEF的值为 2 cm2 .
13.如图,已知△ABC.
(1)画中线AD;
(2)画△ABD的高BE及△ACD的高CF.
解:(1)AD如图所示.
(2)如图所示.
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14.如图,已知AD是△ABC的角平分线,P为AD上一点,PM∥AC交AB于点M,PN∥AB交AC于点N,求证:PA平分∠MPN.
证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵PM∥AC,PN∥AB,
∴∠APM=∠PAN,∠APN=∠PAM,
∴∠APM=∠APN,∴PA平分∠MPN.
15.若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为15 cm和12 cm两部分,求这个等腰三角形的底边的长.
解:如图,设腰AB长为x cm,底边BC长为y cm,
①当AB+AD=15 cm,BC+CD=12 cm时,则有
解得
经检验符合题意;
②当AB+AD=12 cm,BC+CD=15 cm时,则有
解得
经检验符合题意.
故这个等腰三角形的底边的长为7 cm或11 cm.
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拓展探究突破练
16.如图1,AD,AE分别是△ABC的边BC上的高和中线,已知AD=5 cm,EC=2 cm.
(1)求△ABE和△AEC的面积.
(2)通过做题,你能发现什么结论?请说明理由.
(3)根据(2)中的结论,解决下列问题:如图2,CD是△ABC的中线,DE是△ACD的中线,EF是△ADE的中线,若△AEF的面积为1 cm2,求△ABC的面积.
解:(1)∵AE是△ABC的边BC上的中线,
∴BE=EC=2 cm,
∴S△ABE=×BE×AD=×2×5=5(cm2),
S△AEC=×EC×AD=×2×5=5(cm2).
(2)三角形的一条中线将这个三角形分成的两个三角形的面积相等.
理由:等底同高的两个三角形的面积相等.
(3)∵EF是△ADE的中线,△AEF的面积为1 cm2,
∴S△DFE=S△AEF=1 cm2,∴S△ADE=2 cm2,
∵DE是△ACD的中线,∴S△DEC=S△ADE=2 cm2,
∴S△ADC=4 cm2,
∵CD是△ABC的中线,∴S△BDC=S△ADC=4 cm2,
∴S△ABC=8 cm2.
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