第5章 相交线与平行线
类型之一 相交线与对顶角
1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系必是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．垂直
2．图5－X－1中的对顶角共有( )
图5－X－1
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图5－X－2，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2＝80°，则∠3的度数是( )
图5－X－2
A．100° B．120° C．140° D．160°
4．如图5－X－3，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE＝2∠AOC，∠COF＝60°，求∠BOD的度数．
图5－X－3
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类型之二 垂线与垂线段
5．2017·北京如图5－X－4所示，点P到直线l的距离是( )
图5－X－4
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
6．2017·邵阳期末如图5－X－5，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为( )
图5－X－5
A．75° B．15° C．105° D．165°
7．如图5－X－6，已知AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，图中∠1与∠2的关系是( )
图5－X－6
A. ∠1＋∠2＝180° B. ∠1＋∠2＝90°
C. ∠1＝∠2 D．无法确定
8．如图5－X－7，在河岸的同侧有一个村庄A和自来水处理厂B，现在要在河岸上建一个抽水站D，将河中的水输送到自来水处理厂处理后再送往A村．为了节省资金，所铺设的水管应尽可能短．问抽水站应建在何处？沿怎样的路线铺设水管？在图中画出来．
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图5－X－7
类型之三 同位角、内错角和同旁内角
9．如图5－X－8，点E在线段AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么类型的角？
(1)∠A和∠D；
(2)∠A和∠CBA；
(3)∠C和∠CBE.
图5－X－8
类型之四 平行线的性质与判定
10．如图5－X－9，在三角形ABC中，点D，E，F分别是三角形三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB.若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠EFD的度数为( )
图5－X－9
A．80° B．75° C．70° D．65°
11．2016·郴州如图5－X
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－10，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD.若∠A＝110°，则∠1＝________度．
图5－X－10
12．如图5－X－11，AB∥CD，∠CDE＝120°，GF交∠BED的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．
图5－X－11
13．如图5－X－12，由∠1＝∠2能判断AB∥DF吗？若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个什么样的条件？并说明理由．
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图5－X－12
14．如图5－X－13所示，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
图5－X－13
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类型之五 数学思想方法
(数形结合思想)
15．如图5－X－14是用两块完全一样的三角板(含30°角)拼成的图形．请问AC与BD平行吗？为什么？
图5－X－14
(转化思想)
16．如图5－X－15，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于( )
图5－X－15
A．105° B．75° C．135° D．115°
类型之六 数学活动
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17．观察如图5－X－16所示的各图，寻找对顶角(不含平角)：
图5－X－16
(1)如图ⓐ，图中共有________对对顶角；
(2)如图ⓑ，图中共有________对对顶角；
(3)如图ⓒ，图中共有________对对顶角；
(4)若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角．
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1．C 2.B 3.C
4．解：∵∠COF＝60°，
∴∠COE＝180°－∠COF＝120°.
又∵∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AOC＝∠COE＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°.
5．B 6.C
7．B [解析] 因为AB⊥CD，
所以∠AOE＋∠2＝90°(垂直的定义)．
又由∠1＝∠AOE(对顶角相等)，
所以∠1＋∠2＝90°.故选B.
8．[解析] 要使水管最短，则抽水站与自来水处理厂间的路程、自来水处理厂与A村间的路程和最短．本题考查两点间线段最短与垂线段最短的性质的实际应用，要善于利用垂线段最短的性质解决有关路程最短的问题．
解：如图所示，过点B画l的垂线，则垂足D为抽水站的位置．连结AB，沿D→B→A的路线铺设水管，可使铺设的水管最短．
9．解：(1)∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角．
(2)∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角．
(3)∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
10．B [解析] ∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠C＝60°.∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B＝45°，
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∴∠EFD＝180°－60°－45°＝75°.故选B.
11．70 [解析] 如图，∵AB∥CD，∴∠A＋∠AFD＝180°.∵∠A＝110°，∴∠AFD＝70°，∴∠1＝∠AFD＝70°.故答案为70.
12．10°
13．解：不能．
添加的条件不唯一，如可添加条件：∠CBD＝∠EDB.
理由：∵∠CBD＝∠EDB，∠1＝∠2，
∴∠CBD＋∠1＝∠EDB＋∠2，
即∠ABD＝∠FDB，∴AB∥DF.
14．解：FG∥BC.理由如下：
∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴ED∥CF，∴∠1＝∠BCF.
又∵∠1＝∠2，
∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC.
15．解：AC与BD平行．
理由：∵∠ACB＝∠DBC＝30°，
∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．
16．A [解析] 如图，过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB.
因为AB∥EF，所以AB∥CM∥DN∥EF.
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因为AB∥CM，∠ABC＝30°，则∠BCM＝30°.
又因为BC⊥CD，则∠BCD＝90°，
所以∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝90°－30°＝60°.
因为CM∥DN，所以∠1＝∠MCD＝60°.
因为DN∥EF，所以∠2＝∠DEF＝45°，
所以∠CDE＝∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.
故选A.
17．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1)
[解析](1)图ⓐ中共有2×1＝2(对)对顶角；
(2)图ⓑ中共有3×2＝6(对)对顶角；
(3)图ⓒ中共有4×3＝12(对)对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得规律：若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角．
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