5.1.2 垂线
知识点 1 垂直的定义
1．如图5－1－15，若AB⊥CD，则∠ADC＝_________度．
图5－1－15
2．如图5－1－16所示，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )
图5－1－16
A．35° B．45° C．55° D．70°
3．下列说法正确的是( )
A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直
B．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直
C．两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线互相垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直
知识点 2 垂线的画法及基本性质
4．如图5－1－17，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( )
图5－1－17
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
5．在下列各图中，分别过点P作AB的垂线．
图5－1－18
知识点 3 垂线段、点到直线的距离
6．如图5－1－19所示的图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )
图5－1－19
7．如图5－1－20所示，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，下列说法：
图5－1－20
①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；
②点P到直线l的距离是线段PB的长；
9
③线段AB的长是点A到PB的距离；
④线段PA的长是点P到直线l的距离．
其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
8．如图5－1－21，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为________．
图5－1－21
9. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图5－1－22所示，沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是______________________．
图5－1－22
10．如图5－1－23，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，若BD的长度是整数，则BD的长度是__________．
图5－1－23
9
11.如图5－1－24，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？
图5－1－24
12．P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝5 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离( )
A．等于4 cm B．等于3 cm
C．小于3 cm D．不大于3 cm
13．过线段外一点，画出这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
14．如图5－1－25，工匠师傅为检查门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A用细线悬挂一铅锤，看铅锤线AE是否与AB重合，若门框AB垂直于地面，则AE与AB重合，否则AE与AB不重合．工匠师傅这样测量的依据是________________________________________________________________________．
图5－1－25
15．如图5－1－26，OA⊥OC，OB⊥OD.
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(1)图中有____个锐角，分别是______________；
(2)若∠AOB＝120°，求∠DOC的度数．
图5－1－26
16．一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，如图5－1－27所示．
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P，Q的位置；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远？(分别用文字表述你的结论，不必说明理由)
图5－1－27
9
17．(1)在图5－1－28①中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直；
(2)量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是____________________________；
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系．(不要求写出理由)
图②：__________________，
图③：__________________；
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角________________．(不要求写出理由)
图5－1－28
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1．90
2．C [解析] 因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.又因为∠1＝35°，所以∠2＝90°－35°＝55°.故选C.
3．B 4.B
5．解：如图所示．
6．A 7.A
8．4 [解析] ∵AC⊥BC，∴点B到AC的垂线段为线段BC，∴点B到AC的距离为线段BC的长度．
9．垂线段最短 [解析] 过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
10．4 [解析] 因为AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，所以BC＜BD＜AB，即BD的长度的取值范围是大于3且小于5.又因为BD的长度是整数，所以BD＝4.
11．[解析] 利用垂线段最短和两点之间线段最短进行解答．
解：某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，如图，沿垂线段AC的方向走最近，根据是垂线段最短．
若他要到公路对面的B处，如图，连结AB，沿线段AB走最近，根据是两点之间线段最短．
12．D [解析] 因为垂线段最短，则点P到直线l的距离肯定小于或等于3 cm.
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13．D [解析] 由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．故选D.
14．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
15．解：(1)3 ∠AOD，∠DOC，∠COB
(2)因为OA⊥OC，OB⊥OD，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°.
因为∠AOB＝120°，
所以∠COB＝∠AOB－∠AOC＝120°－90°＝30°.
又因为∠BOD＝90°，
所以∠DOC＝∠BOD－∠COB＝90°－30°＝60°.
16．解：(1)点P，Q的位置如图，其中，MP⊥AB于点P，NQ⊥AB于点Q.
(2)汽车在AP段路上距离M，N两村庄都越来越近，在PQ段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M却越来越远．
17．解：(1)如图①.
(2)∠P＋∠1＝180°
(3)如图②③.
图②：∠P＝∠1
图③：∠APB＋∠1＝180°或∠A′PB＝∠1
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(4)相等或互补
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