5．1.1 对顶角
知识点 1 相交线
1．关于两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是( )
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个不是钝角
2．两两相交的3条直线最少有________个交点，最多有________个交点．
知识点 2 对顶角的定义
3．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )
图5－1－1
4．下列说法：(1)有公共顶点且相等的两个角是对顶角；(2)若一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角是对顶角；(3)两直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角．其中正确的是( )
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(2) D．(1)(3)
5．如图5－1－2，直线AB，CD，EF相交于点O，则图中共有________对对顶角．
图5－1－2
知识点 3 对顶角的性质
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6．如图5－1－3，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2，∠3的度数分别为( )
图5－1－3
A．120°，60° B．130°，50°
C．140°，40° D．150°，30°
7．如图5－1－4，为了测量一座古塔外墙底部的∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是____________．
图5－1－4
8．如图5－1－5，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝________°.
图5－1－5
9．如图5－1－6，直线a，b相交于点O，∠1＋∠3＝100°，则∠1＝________°，∠2＝________°，∠4＝________°.
图5－1－6
10．如图5－1－7，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝20°，∠2＝60°，求∠BOC的度数．
8
图5－1－7
11．如图5－1－8，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠BOD＝35°，求∠EOC的度数．
图5－1－8
12．如图5－1－9，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．90° B．120°
C．180° D．360°
图5－1－9
13．如图5－1－10，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC＝110°，则∠AON的度数为________．
8
图5－1－10
14．如图5－1－11，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝24°，求∠DOE的度数．
图5－1－11
15．如图5－1－12，直线AB，CD，EF相交于点O，已知∠AOE＝20°，∠DOB＝52°，OG平分∠COF，求∠EOG的度数.
图5－1－12
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16．如图5－1－13，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3.
(1)求∠BOE的度数；
(2)若OF平分∠AOE，则OA是∠COF的平分线吗？试说明理由．
图5－1－13
17．如图5－1－14所示，直线AB，CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．
(1)求∠1和∠2的度数；
(2)OF平分∠AOD吗？(不用说明理由)
8
图5－1－14
8
1．D 2.1 3
3．D [解析] 根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.
4．B
5．6 [解析] 此题考查对顶角的定义，中等难度．由对顶角的定义，可知对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠AOD与∠BOC，∠EOB与∠AOF，∠DOF与∠COE.
6．D [解析] 因为∠1与∠3是对顶角，
所以∠3＝∠1＝30°.
因为∠1与∠2互为补角，即∠1＋∠2＝180°，
所以∠2＝180°－30°＝150°.
7．对顶角相等 8.40
9．50 130 130 [解析] 因为直线a，b相交于点O，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4.
因为 ∠1＋∠3＝100°， 所以∠1＝50°.
因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝130°，所以∠4＝130°.
10．解：∵∠1＝20°，∴∠DOF＝20°.∵∠2＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOC＝20°＋60°＝80°.
11．解：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD＝35°.因为OA平分∠EOC，所以∠EOC＝2∠AOC＝70°.
12．C.
13．145°.
14．解：由∠1∶∠3＝3∶1，可得∠1＝3∠3.
因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠2＝24°，
所以3∠3＋24°＋∠3＝180°，
解得∠3＝39°，所以∠1＝117°.
又因为∠AOE＝∠2＝24°，
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∠AOD＝∠1＝117°，
所以∠DOE＝∠AOE＋∠AOD＝24°＋117°＝141°.
15．因为直线AB，CD，EF相交于点O，∠DOB＝52°(已知)，
所以∠AOC＝∠DOB＝52°(对顶角相等)．
因为∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°(平角定义)，
所以20°＋52°＋∠COF ＝180°，
所以∠COF＝108°.
因为 OG平分∠COF(已知)，所以∠COG＝∠COF＝54°(角平分线定义)，所以∠EOG＝∠AOE＋∠AOC＋∠COG＝20°＋52°＋54°＝126°.
16．解：(1)∵∠BOD＝∠AOC＝75°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，
∴∠BOE＝75°×＝30°.
(2)OA是∠COF的平分线．理由如下：
∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝150°.
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝75°，
∴∠AOF＝∠AOC，∴OA是∠COF的平分线．
17．解：(1)因为∠2与∠COE是对顶角，所以∠2＝∠COE.
因为OE平分∠BOC，
所以∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
所以∠COE＝∠BOE＝40°，所以∠2＝40°.
因为∠1＋∠2＋∠BOE＝180°，
所以∠1＝180°－∠2－∠BOE＝100°.
(2)OF平分∠AOD.
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