小学奥数1-2-2-1 分数裂项.学生版

分数裂项计算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ， 那么有 1 1 1 1( )a b b a a b    (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 ( 1) ( 2)n n n    ， 1 ( 1) ( 2) ( 3)n n n n      形式的，我们有： 1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n          1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3)n n n n n n n n n n                 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 1 1a b a b a b a b a b b a        （2） 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b b a        裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6          。 【巩固】【巩固】 1 1 1......10 11 11 12 59 60      【巩固】【巩固】 2 2 2 2 10 9 9 8 5 4 4 3         【例 2】 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 100           【例 3】 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 99 101         【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 125 1 3 3 5 5 7 23 25             【巩固】【巩固】 251 251 251 251 251 4 8 8 12 12 16 2000 2004 2004 2008          【巩固】【巩固】计算： 3 2 4 5 6 7 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29             例题精讲 【例 4】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1288 24 48 80 120 168 224 288          【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 20 30 42 56 72 90         _______ 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 11 3 6 10 15 21 28        【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90         ＝ 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 10 40 88 154 238      。 【例 5】 计算： 1 1 1 1 1 3 5 3 5 7 5 7 9 2001 2003 2005            【例 6】 7 4.5 0.16 1 1 1 118 1 3 15 35 6313 3.75 3.23             【例 7】 计算： 1 1 1 1 11 2 3 4 202 6 12 20 420      【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 12008 2009 2010 2011 201218 54 108 180 270     = 。 【巩固】【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77      ____。 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1 3 15 35 63 99 143 195       【巩固】【巩固】计算： 1 5 11 19 29 9701 9899 2 6 12 20 30 9702 9900         ． 【例 8】 1 1 1 1 2 3 2 3 4 7 8 9         【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 2 3 2 3 4 98 99 100         【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 3 5 2 4 6 3 5 7 20 22 24            【巩固】【巩固】 4 4 4 4......1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99            【巩固】【巩固】 99 98 97 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 99 100 101            【例 9】 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10                     【巩固】【巩固】 3 3 3......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20            【例 10】计算： 5 7 19 1 2 3 2 3 4 8 9 10          ． 【巩固】【巩固】计算： 5 7 17 191155 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11            （ ） 【巩固】【巩固】计算： 3 4 5 12 1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14                【例 11】 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10               【例 12】 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7                          【巩固】【巩固】计算： 2 3 99 3! 4! 100!     . 【例 13】 2 3 4 50 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 50)                          【巩固】【巩固】 2 3 4 100 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)                         【巩固】【巩固】 2 3 101 1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)                    （ ） 【例 14】 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1            . 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 5 48 49              【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8        【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1               ． 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 5 98 100 2 1 3 1 4 1 99 1            ． 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 21 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101         ． 【例 15】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10             【巩固】【巩固】 3 6 5 7 9 11 13 5 7 6 12 20 30 42       【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35          【巩固】【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42        【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124          【巩固】【巩固】 35 49 63 77 91 105 3 116 12 20 30 42 56 8 8              【巩固】【巩固】计算： 5 7 9 11 13 15 17 191 6 12 20 30 42 56 72 90         【巩固】【巩固】 1 1 7 9 8 17 5 4 5 12 20 15 30 12       【例 16】 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20          【巩固】【巩固】 1 1 1 1 2007 1 1 1( ...... ) ( ...... )1 2007 2 2006 2006 2 2007 1 2008 1 2006 2 2005 2006 1               【例 17】计算： 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 98 99 51 52 99            【例 18】计算： 2 4 6 12 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 11            【例 19】计算： 2 8 3 4 111 2 2 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 17 19 1 3 5 3 5 7 17 19 21                       