小学奥数5-1-3-1 数阵图（一）.教师版

5-1-3-1.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把 1～8 的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 6 题 【解析】 【答案】 【例 2】 将 1～8 这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于 14，且 数字 1 出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ 【考点】封闭型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得 b+f=8， 又 1，2，3，4，5，6，7，8 中有 1+7=2+6=3+5=8. 又 1 要出现在顶点上，d+h 与 b+f 只能有 2+6 和 3+5 两种填法. 又由对称性，不妨设 b=2，f=6，d=3，h=5. a，c，e，g 可取到 1，4，7，8 若 a=1，则 c=14-（1+2）=11，不在 1， 4，7，8 中，不行. 若 c=1，则 a=14-（1+2）=11，不行. 若 e=1，则 c=14-（1+3）=10，不行. 若 g=1，则 a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵 的解题突破口. 【答案】 【例 3】 在如图 6 所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是 12，若 A、B、C 的和为 18， 则三个顶点上的三个数的和是 。 【考点】封闭型数阵图 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 11 题，5 分 【解析】设三个顶点为 D,E,F，求 D,E,F。观察容易发现，三条边的和为 36，即 D+A+E+E+C+F+F+B+D=36 18+2( D+E+F)=36，所以 D+E+F=9 【答案】 9 【例 4】 将1至 6 这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那 么，每条边上的数字和是 ． 7 8 9 f e d c b a 7 8 9 【考点】封闭型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为  1 2 9 3 15 3 a b ca b c           ，由于 a b c  最小为1 2 3 6   ，最大为 4 5 6 15   ，所以每条边上的数字和最小为 17，最大为 20，如下两图为每条边上的数字和分别为 17 和 20 时的填法． 5 9 8 7 1 2 4 3 6 5 9 8 7 1 2 4 3 6 而每条边上的数字和能否为 18 或 19 呢？答案是否定的，现说明如下． 如果每条边上的数字和为 18，那么  18 15 3 9a b c      ，而 9 18a b d    ，即 9a b d   ， 得到 c d ，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为 18．如果每条边上的数字和为 19，类似分 析可得到 b e ，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为 19． 所以每条边上的数字和为 17 或 20． 【答案】17 或 20 【例 5】 将 1 到 8 这 8 个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相 等，那么 A 和 B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______． B A 【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】2008 年，学而思杯，五年级，4 年级，第 4 题 【解析】【解析】方法一：如图 f e c d b a B A 用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为 s ，那么 2a b c d e f s      ， 3a A e b A d c B f s         ，所以 2A B s  ， 2 5 3a b c d e f A B s A B A B            ，而 1 2 8 36a b c d e f A B            ，所以 5 3 36A B  ，那么 A 是 3 的倍数.如果 3A  ， 得 7B  ；如果 6A  ，得 2B  ，这两种情况下 A 和 B 的差都为 4，所以 A 和 B 两个圆圈中所填的数 之差(大数减小数)是 4. 方法二：设各条直线上的三个数之和都为 s ， 2(1 2 3 8) 5B s      ，即 72 5B s  ， 所以 2 14 B s    ， 7 13 B s    ，由于 (1 2 3 8) 3A s      ，即 36 3A s  ， 因此有 14 6 s A    , 13 3 s A    ,综合有 2 14 6 B s A      ， 7 13 3 B s A      ， 所以 A 和 B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是 4. 【答案】4 【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人 0 到 9 这 10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是 18，则中间 两个数 A 与 B 的和是________。 【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 5 题，4 分 【解析】若每个正方形中数的和都是 18，那么总和为 54，而这 10 个数的和为 45，其中 A、B 各多算了一次， 故 A+B=9。 【答案】 9 【例 7】 把 2～11 这 10 个数填到右图的 10 个方格中，每格内填一个数，要求图中 3 个 2 2 的正方形中的 4 个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格； 第二步：计算三个 2 2 正方形内 4 个数之和的和，显然这个和能被 3 整除，其中有两个数被重复计 算了两次，而 2 3 11 65    ，除以 3 余 2，因此被重复计算的两个数的和被 3 除余 1，这两个数 取 2、5 时，这个和取得最小值； 第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个 2 2 正方形中的 4 个数之和的最小值为 24，构造各个 正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为 24，如图，所以所求的最小值是 24． 【答案】24 【例 8】 下图中有五个正方形和12 个圆圈，将1~12 填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和 都相等．那么这个和是多少? 8 6 1 10 2 9 12 3 11 4 5 7 【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为 x ，则由 5 个正方形四角的数字之和，相当于将 1～12 相 加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得： 1 2 12 2 5x x     ，解得 26x  ，即这个和为 26．具 体填法如右上图。 【答案】26 【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了 8 个三角形，现在把 2、4、6、8 四个数分别填在大正方形的 四个顶点；再把 2、4、6、8 分别填在中正方形的四个顶点上；最后把 2、4、6、8 分别填在小正 方形的四个顶点上．⑴能不能使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使 8 个三角形顶点 上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由． 2 4 6 8 2 4 6 8 8 6 4 2 【考点】封闭型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】⑴不能．如果这 8 个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于 S ． 考察外面的 4 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是 S ，在它们的和 4S 中，大正方形的 2、4、6、 8 各出现一次，中正方形的 2、4、6、8 各出现二次，即  4 2 4 6 8 3 60S       ．得到 60 4 15S    ， 但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数 15，因此这 8 个三角形顶点上的数字之和不 可能都相等． ⑵由于三角形 3 个顶点上的数字之和最小为 2 2 2 6   ，最大为 8 8 8 24   ，可能为 6、8、 10、……22、24，共有 10 个可能的值，而三角形只有 8 个，所以是有可能做到 8 个三角形的顶点上 数字之和互不相同的． 根据对称性，不妨舍去这 10 个可能值的首尾两个，把剩下 8 个值(8、10、12、14、16、18、20、22) 作为 8 个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法． 【答案】 2 4 6 8 2 4 6 8 8 6 4 2 【例 10】将 1～16 分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都 为 34，图中已填好八个数，请将其余的数填完. 【考点】封闭型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示： 9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34， 化简得：a+c=10 4+6=10. e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13， f+h=15 2+13=15，3+12=15. a，b，c，d，e，f，g，h 应分别从 1，2，3，4，6，12，13，16 中选取.因为 a+c=10，所以只能选 a+c=4+6； b+d=13，只能选 b+d=13；e+g=19，只能选 e+g=3+16；f+h=15，只能选 f+h=2+13 若 d=1，c=4，则 e+f=34-1-4=29，有 e=16，f=13. 若 d=1，c=6，则 e+f=34-1-6=27，那么 e、f 无值可取，使其和为 27. 若 d=12，c=4，则 e+f=34-12-4=18，有 e=16，f=2. 若 d=12，c=6，则 e+f=34-12-6=16，有 e=3，f=13. 解：共有三个解（见图）. 【答案】 【例 11】一个 3 3 的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有 4 枚一样的棋子，这样每边三个格子 中都有 12 枚棋子，去掉 4 枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有 12 枚棋子，并且 4 个角 上的棋子数仍然相等（画图表示）。 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋 子数。具体操作如图： 【答案】 【例 12】如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】根据题目给的数字计算所有的数字和为：9 4 12 5 6 11 9 14 9 10 8 3 100            ，分成四块 的 ， 每 块 的 数 字 和 为 ： 100 4 25  ，， 所 以 9 4 12 25   ， 5 11 9 25   ， 6 9 10 25   ， 8 3 14 25   ，具体分法如上图。 【答案】 模块二、辐射型数阵图 【例 13】把 1991，1992，1993，1994，1995 分别填入图 2 的 5 个方格中，使得横排的三个方格中的数的和 等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是____________。 【考点】辐射型数阵图 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 10 题 【解析】由题意，横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余的 四个数可以分为和相等的两组。所以中间方格中能填的数为：1991，1993，1995 。 【答案】中间方格能填的数可以为：1991，1993，1995 ，答案不唯一 【例 14】请你把 1～7 这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应 怎样填？ 【考点】辐射型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2）， 设 a+b+e=a+c+f=a+d+g=k， 则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k 3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k 2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k 2a+28=3k a 为 1、4 或 7，若 a=1，则 k=10，直线上另外两个数的和为 9.在 2、3、4、5、6、7 中，2+7=3+6=4+5=9， 因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5. 若 a=4，则 k=12，直线上另外两个数的和为 8.在 1、2、3、5、6、7 中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到 第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5. 若 a=7，则 k=14，直线上另外两个数的和为 7.在 1、2、3、4、5、6 中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到 第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4. 解：共得到三个解：如下图. 例 2 为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数 a 和每条直线上几个圆圈内数的和 k. 【答案】 【例 15】右边的一排方格中，除 9 、8外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数)，已 知其中任何 3个连续方格中的数相加起来都为 22 ，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园” = 【考点】复合型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】“走”+“进” 9 22  9  “数”+“学” 22 “花” 8  “园” 22 所以“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”  22 9 22 9 22 8     40 【答案】 40 【例 16】请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是 15，竖列任意三个 相邻方格内的数字之和都是 18． 8 5 3 8 7 2 2 5 5 8 8 5 2 7 8 3 3 8 5 3 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是 18，从上至下第二个数与第三个数的和是18 3 15  ，第 二个数+第三个数+第四个数 18 ，第四个数等于 3，以此类推，从上至下第一个数等于第四个数等 于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为 3、8、7、3、8、7、 3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是 15，由左至右第六个数是 8，所以横行由左 至右依次为 5、2、8、5、2、8、5、2、8、5，如右上图所示． 【答案】 8 7 2 2 5 5 8 8 5 2 7 8 3 3 8 5 3 【例 17】 2000 个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和 53324 。去掉左起第1、第1949 、第1975 及最后一个数，和成为 53236 ，问剩下的数中左起第 50 个数是 。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 12 题，12 分 【解析】第一个数  第二个数  第三个数  第二个数  第三个数  第四个数，所以第一个数  第四个数，同 理第二个数  第五个数，第三个数  第六个数，也就是这个数列是以 3 为周期的一个周期数列。 1949 3 649 2   ，1975 3 658 1   ， 2000 3 666 2   ，也就是第一个数 2  第二个数 2 = 53324 53236 88  ，所以第一个数  第二个数 44 ，又因为 2000 个数的和为53324 ，53324 （第 一个数  第二个数  第三个数） 666  第一个数  第二个数，从而求出第一个数  第二个数  第三 个数 80 ，所以第三个数 80 44 36   ，而 50 3 16 2   ，所以剩下的数中左起第50 个数就是原 数列中的第 51个数，即原数列中的第 3个数，等于36 。 【答案】 36 【例 18】如图，在 2006 年的 3 月的日历上， 52A B C D    ，那么，3 月份的第一个星期日是___号。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 6 题，10 分 【解析】 B 比 A 大 8 ， C 比 B 大 8 ， 则 C 比 A 大 16 ， D 比 C 大 8 ， 则 D 比 A 大 24 ， 则 有 52 8 16 24 4 1A      （ ） ， A 是星期三，则第一个星期日是1 4 5  号． 【答案】 5 号 【例 19】右图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和。最 上面的方框中填的数是 。 387 ⑤ ④ ③ ② ① 283 262 670 885 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 6 题，10 分，4 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】如右图所示，885  ③  ②，③ 262  ①，②  ① 283 ， 则885 262  ①  ① 283 ， 则① 170 ，② 170 283 453   ，③ 262 170 432   ， 则④  ② 670 453 670 1123    ，⑤ 885  ④ 885 1123 2008   ． 【答案】 2008 【巩固】【巩固】将 0，1，2，3，4，5 任意填入最下一行（每个数出现一次）的 6 个方格中．其它每个方格中的数等 于下一行与它相邻的两个数的和．最上面的一个数的最大值是 ，最小值是 ． 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 11 题，12 分 【解析】要使最上面的一个数最大，则必使 0 、1、 2 、 3、 4 、 5 数字中最大数尽可能多地相加，即将大数 尽可能放在中间位置，即如下图所示： 0 2 5 4 3 1 2 7 9 7 4 9 16 16 11 25 32 27 57 59 116 要使最上层的值最小，则必使 0 、1、 2 、3、 4 、5 数字中最小值尽可能多地相加，最大值尽可能少地相加， 即将最小数尽可能放在中间位置，如下图所示： 44 21 23 13 8 15 9 4 4 11 6 3 1 3 8 4 2 1 0 3 5 【答案】116；44。 【例 20】请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的 两个圆圈中所填数的和． 20 9 11 6 3 8 4 2 1 7 20 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第 一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是 x 、 y 、 z 、 w ，则  3 20x w y z    ，由于 x w 至少为 3，所以 y z 不超过 5；第二步：由于 y z 的和不超过 5， 所以， y 和 z 只可能为 1 和 2、1 和 3、1 和 4 或者 2 和 3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面的 答案是其中一个． 【答案】 9 11 6 3 8 4 2 1 7 20 【例 21】 把1.2 ， 3.7 ， 6.5 ， 2.9 ， 4.6 分别填在右图的 5 个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的 3 个圆圈中的数的平均值，再把 3 个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形 中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？ 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】设 5 个小圆中的数依次为 1a 、 2a 、 3a 、 4a 、 5a ，则三个方框中的数依次为 1 2 3 3 a a a  、 2 3 4 3 a a a  、 3 4 5 3 a a a  ，继而求出三角形中的数为 1 2 3 4 52 3 2 9 a a a a a    ．为使这个数最小， 3a 应该填入最 小的数1.2 ， 2a 、 4a 应该填入次小的 2.9 和 3.7 ， 1a 、 5a 填入 4.6 和 6.5 ．可得三角形中的数最小为 3.1． 【答案】 3.1