小学奥数1-3-1 定义新运算.学生版

定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算 规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的 运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子 代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运 算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际 就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两 个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算. 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例 1】 若 *A B 表示    3A B A B   ，求 5*7 的值。 【巩固】【巩固】定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4） 【巩固】【巩固】设 a △ 2b a a b    ，那么，5△ 6  ______，(5△2) △ 3  _____. 【巩固】【巩固】 P 、Q 表示数， *P Q 表示 2 P Q ，求 3* (6*8) 【巩固】【巩固】已知 a,b 是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1, 2a b ab   ,那么  4 (6 8) (3 5)     . 【巩固】【巩固】 M N 表示 ( ) 2,(2008 2010) 2009M N    ____ 【巩固】【巩固】规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求 x 的值。 【例 11】定义新运算为 1aa b b  ，⑴求 2 (3 4)  的值；⑵若 4 1.35x  则 x 的值为多少？ 【巩固】【巩固】对于任意的两个自然数 a 和 b ，规定新运算 ： ( 1)( 2) ( 1)a b a a a a b      ，其中 a 、b 表示 自然数.如果 ( 3) 2 3660x    ，那么 x 等于几？ 【例 12】定义 a b 为 a 与 b 之间（包含 a 、 b ）所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如： 7 14=(7+9+11+13) 4=10  ，18 10=(18+16+14+12+10) 5=14   ．在算术 (19 99)=80  的方格 中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？ 【巩固】【巩固】如有 a # b 新运算，a # b 表示 a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7， 21#2=1.如（21#（21# x ））=5，则 x 可以是________（ x 小于 50） 【例 13】已知 x 、y 满足 [ ] 2009x y  ，{ } 20.09y y  ；其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，{ }x 表示 x 的 小数部分，即{ } [ ]x x x  ，那么 x  。 【例 14】规定：A○B 表示 A、B 中较大的数，A△B 表示 A、B 中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3 ） ＝ 96 ， 且 A 、 B 均 为 大 于 0 的 自 然 数 ， A×B 的 所 有 取 值 为 ．（8 级） 模块三、观察规律型 【例 15】如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算 （3※2）×5。 【巩固】【巩固】规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 【例 16】有一个数学运算符号  ，使下列算式成立： 2 4 8  ， 5 3 13  ， 3 5 11  ， 9 7 25  ，求 7 3 ?  【巩固】【巩固】规定 a △ b ( 2) ( 1)a a a b      , 计算：（2△1）   （11△10）  ______. 【例 17】一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为  S n ，为偶数的那些数字的和记为  E n ，例如  134 1 3 4S    ，  134 4E  ．    1 2 (100)S S S    ；  (1) (2) 100E E E   ＝ ． 模块四、综合型题目 【例 18】已知：10△3=14， 8△7=2， 4 3 △ 14 1  ，根据这几个算式找规律，如果 8 5 △ x =1，那么 x = . 【例 19】如果 a 、 b 、 c 是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴ a b b a   ；⑵ ( ) ( )a b c a b c     。 现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足： ( , )*( , ) ( , )a b c d a c b d a c b d       。 例： (4,3)*(7,5) (4 7 3 5,4 7 3 5) (43,13)        请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。 【例 20】用  a 表 示 a 的 小 数 部 分 ，  a 表 示 不 超 过 a 的 最 大 整 数 。 例 如 ：        0.3 0.3, 0.3 0; 4.5 0.5, 4.5 4    记 2( ) 2 1 xf x x   ， 请计算     1 1, ; 1 , 13 3f f f f                      的值。 【例 21】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连 的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每 一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图 A 表示：2+3， B 表示 2+3×2 － 1 。 图 C 中 表 示 的 式 子 的 运 算 结 果 是 _______ 。 【例 22】 64 2 2 2   2 2 2   表示成  64 6f  ; 243 3 3 3 3 3     表示成  243 5g  . 试求下列的值: (1)  128f  (2) (16) ( )f g (3) ( ) (27) 6f g  ; (4)如果 x, y 分别表示若干个 2 的数的乘积,试证明: ( ) ( ) ( )f x y f x f y   . 【例 23】对于任意有理数 x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y= ax by cxy  ,其中的 , ,a b c 表示已知数,等式 右边是通常的加、减、乘运算.又知道 1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则 m 的数值是 _________。 【巩固】【巩固】x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k 均为自然 数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3 的值. 【例 24】对于任意的两个自然数 a 和 b ，规定新运算  ： a  b ( 1) ( 2) ( 1)a a a a b         ，其 中 a 、b 表示自然数.⑴求 1100 的值；⑵已知 x 10  75，求 x 为多少？⑶如果（ x  3）2  121， 那么 x 等于几？ 【巩固】【巩固】两个不等的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 a☉b,比如 5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8 级） (1)求 1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知 11☉x=2,而 x 小于 20,求 x; (3)已知(19☉x)☉19=5,而 x 小于 50,求 x. 【例 25】设 a,b 是两个非零的数,定义 a※b a b b a   . (1)计算(2※3)※4 与 2※(3※4). (2)如果已知 a 是一个自然数,且 a※3=2,试求出 a 的值. 【巩固】【巩固】定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a⊙b. 比如:10 和 14,最小公倍数为 70,最大公约数为 2,则 10⊙14=70-2=68. (1)求 12⊙21,5⊙15; (2)说明,如果 c 整除 a 和 b,则 c 也整除 a⊙b;如果 c 整除 a 和 a⊙b,则 c 也整除 b; (3)已知 6⊙x=27,求 x 的值. 【巩固】【巩固】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3  2 3 4  ；7⊙2  7 8 ：3⊙5  3 4 5 6 7    ，…… 按此规则，如果 n⊙8  68，那么，n  ____. 【例 26】喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求 3个正整数  a b c  的值。当它依次按了 , , , , , ,a b c   得 到数字 5 。而当它依次按 , , , , ,b a c   时，惊讶地发现得到的数值却是 7 。这时喜羊羊才明白计 算器先做除法再做加法。于是，她依次按  , , , , , , ,a b c   ，得到了正确的结果为 。 （填出所有可能情况） 【例 27】国际统一书号 ISBN 由 10 个数字组成，前面 9 个数字分成 3 组，分别用来表示区域、出版社和 书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前 9 个数字按照一定的顺序算得。如： 某书的书号是 ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝18……9； ③11－9＝2。这里的 2 就是该书号的核检码。 依照上面的顺序，求书号 ISBN-7-303-07618-□的核检码。 【例 28】如图 2 一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B，图 1 中的路线对应下面的算式：1 2 1 2 2 1 2 1 6        .请在图 2 中用粗线画出对应于算式： 2 1 2 2 2 1 1 1        的路线．