小学奥数1-2-1-1 等差数列的认识与公式运用.学生版

等差数列的认识与公式运用 教学目标 本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表 示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 知识点拨 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差 数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用 1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用 na 表示，它也可表示数列的第 n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用 n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用 d 来表示； 和 ：一个数列的前 n 项的和，常用 nS 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项  首项  (项数 1 ) 公差， 1 1na a n d   （ ） 递减数列：末项  首项  (项数 1 ) 公差， 1 1na a n d   （ ） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其 实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个 有用的公式： n ma a n m d   （ ） ， n m（ ） ② 项数公式：项数  (末项  首项)  公差+1 由通项公式可以得到： 1 1nn a a d   （ ） (若 1na a )； 1 1nn a a d   （ ） (若 1 na a )． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是 3 ， 那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有 48 4 1 45   项，每组 3 个数，所以共 45 3 15  组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项  末项) 项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路 1) 1 2 3 98 99 100      1 100 2 99 3 98 50 51         共50个101 （ ）（ ）（ ） （ ） 101 50 5050   (思路 2)这道题目，还可以这样理解： 2 3 4 98 99 100 100 99 98 97 3 2 1 2 101 101 101 101 101 101 101                           和 = 1 + 和 倍和 即， 和 (100 1) 100 2 101 50 5050       (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：① 4 8 12 32 36 4 36 9 2 20 9 1800            （ ） ， 题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于 20 9 ； ② 65 63 61 5 3 1 1 65 33 2 33 33 1089             （ ） ， 题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 33 33 ． 例题精讲 模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用 等差数列的基本认识 【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？ （1）3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3）1、3、5、7、……、87、89、91 （4）4、7、10、13、……、40、43、46 【巩固】【巩固】1，3，5，7，……是从 1 开始的奇数，其中第 2005 个奇数是________。 【例 3】 3 12 、6 10 、12 8 、24 6 、48 4 、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式 的计算结果是 。 【例 4】 把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？ 【巩固】【巩固】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？ 【例 5】 已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多 少？ 【巩固】【巩固】一个数列共有 13 项，每一项都比它的前一项多 7，并且末项为 125，求首项是多少？ 【巩固】【巩固】在下面12 个方框中各填入一个数，使这12 个数从左到右构成等差数列，其中10 、16 已经填好， 这12 个数的和为 。           16     10       【例 6】 从 1 开始的奇数：1，3，5，7，……其中第 100 个奇数是_____。 【例 7】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91 排列的规律，推知 a =________ 。 等差数列公式的简单运用 【例 8】 2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是 320，求它们中最小 的一个． 【巩固】【巩固】1、3、5、7、9、11、 是个奇数列，如果其中 8 个连续奇数的和是 256，那么这 8 个奇数中最 大的数是多少？ 【巩固】【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列中，有 6 个连续数字的和是 159，那么这 6 个数中最小的是几？ 【例 9】 在等差数列 6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是 1994． 【巩固】【巩固】5、8、11、14、17、20、 ，这个数列有多少项？它的第 201 项是多少？65 是其中的第几项？ 【巩固】【巩固】对于数列 4、7、10、13、16、19……，第 10 项是多少？49 是这个数列的第几项？第 100 项与第 50 项的差是多少？ 【巩固】【巩固】已知数列 0、4、8、12、16、20、…… ，它的第 43 项是多少？ 【巩固】【巩固】聪明的小朋友们， PK 一下吧． ⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第 102 项是多少？ ⑵0、4、8、12、16、20、…… ，它的第 43 项是多少？ ⑶已知等差数列 2、5、8、11、14 …… ，问 47 是其中第几项？ ⑷已知等差数列 9、13、17、21、25、 …… ，问 93 是其中第几项？ 【例 10】⑴如果一个等差数列的第 4 项为 21，第 6 项为 33，求它的第 8 项. ⑵如果一个等差数列的第 3 项为 16，第 11 项为 72，求它的第 6 项. 【巩固】【巩固】已知一个等差数列第 8 项等于 50，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是多少？ 【巩固】【巩固】如果一等差数列的第 4 项为 21，第 10 项为 57，求它的第 16 项． 等差数列的求和 【例 11】一个等差数列 2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？ 【巩固】【巩固】有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3．这 20 个数相加，和是多少？ 【巩固】【巩固】求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和． 【例 12】15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？ 【巩固】【巩固】把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么， 第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 【例 13】小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数的和时，他少算了其中的 一个数，但他仍按 2006 个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎求和时漏掉 的数是 。 模块二、等差数列的运用（提高篇） 【例 14】已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7， ，问 2009 是这个数列的第多少项？ 【巩固】【巩固】已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、 ，问:这个数列中第 2000 个数是多少？第 2003 个数是 多少？ 【例 15】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、 ，试问： ⑴ 15 是这样的数列中的第几个到第几个数？ ⑵ 这个数列中第 100 个数是几？ ⑶ 这个数列前 100 个数的和是多少？ 【例 16】有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37， ，问这列数第 1001 个数是多少? 【例 17】已知等差数列 15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？ 【巩固】【巩固】求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 【例 18】100 个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个…第 99 个， 再把剩下的 50 个数相加，得多少？ 【巩固】【巩固】 有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3．这 20 个数相加，和是多少？ 【例 19】把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？ 【巩固】【巩固】把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么， 第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 【例 20】在1~100 这一百个自然数中，所有能被 9 整除的数的和是多少？ 【巩固】【巩固】在1~100 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？ 【巩固】【巩固】在1~ 200 这二百个自然数中，所有能被 4 整除或能被 11 整除的数的和是多少？ 【巩固】【巩固】在 11～45 这 35 个数中，所有不被 3 整除的数的和是多少？ 【例 21】求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和． 【巩固】【巩固】从 401 到 1000 的所有整数中，被 8 除余数为 1 的数有_____个？ 【例 22】从正整数 1～N 中去掉一个数，剩下的(N 一 1)个数的平均值是 15.9，去掉的数是_____。 等差数列找规律 找规律计算 【例 23】1 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿； 2 只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿； …… 只青蛙 张嘴，32 只眼睛 条腿。 【例 24】如图 2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当 N=5 时，按这种方式摆下去， 当 N=5 时，共需要火柴棍 根。 【例 25】观察下面的序号和等式，填括号． 序号 等式 1 1 2 3 6   3 3 5 7 15   5 5 8 11 24   7 7 11 15 33     （ ） 7983   （ ）（ ） （ ） 【巩固】【巩固】有许多等式: 2 4 6 1 3 5 3      ； 8 10 12 14 7 9 11 13 4        ； 16 18 20 22 24 15 17 19 21 23 5          ；  那么第 10 个等式的和是_______ 【巩固】【巩固】观察下列算式： 2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 …… 然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。 【例 26】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有 6 个小圈，第 2 个图形中有 10 个小圈，第 3 个图形中有 16 个小圈，第 4 个图形中有 24 个小圈，…，依此规律，第 6 个图形 有___________个小圈。 【例 27】观察下列四个算式：20 1 =20，20 2 =10，10 4 =5 2 ， 5 2 8 = 5 16 。从中找出规律，写出第五个算 式： 。 规律计数 【例 28】从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，去两数相加，使其和大于 50．有多少种不同的取法？ 【巩固】【巩固】从 1 到 100 的 100 个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过 100．有几种不同 的取法？ 【例 29】有多少组正整数 a 、 b 、 c 满足 2009a b c   ． 数阵中的等差数列 【例 30】如下图所示的表中有 55 个数，那么它们的和等于多少？ 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 【巩固】【巩固】下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？ 11 12 13 19 20 12 13 14 20 21 13 14 15 21 22 20 21 22 28 29           【巩固】【巩固】下面方阵中所有数的和是多少？ 1901 1902 1903 1904 1950 1902 1903 1904 1905 1951 1903 1904 1905 1906 1952 1948 1949 1950 1951 1997 1949 1950 1951 1952 1998            【例 31】把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 1 列为 1；第 2 列为 2，3，4；第 3 列为 5，6，7， 8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以 1 开头的行”是这个三角阵的对称轴， 如图．则在以1开头的行中，第 2008 个数是多少． 5 2 6 1 3 7 4 8 9        【巩固】【巩固】将自然数按下图的方式排列，求第 10 行的第一个数字是几？ 1 3 6 10 15 21 2 5 9 14 20 4 8 13 19 7 12 18 11 17 16       【巩固】【巩固】自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 ... ... ... ... 【例 32】把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197 排在第几行的第几个数？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … … 【巩固】【巩固】将自然数按下面的形式排列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25   问：第 10 行最左边的数是几？第 10 行所有数的和是多少？ 【例 33】将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2 在第1个拐角处， 3在第 2 个 拐 角 处 ， 5 在 第 3 个 拐 角 处 ， 7 在 第 4 个 拐 角 处 ， …… ． 那 么 在 第 100 个 拐 角 处 的 数 是 ． 22 20 21 19 18 17 16 14 15 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【巩固】【巩固】一列自然数： 0 ，1， 2 ， 3，……， 2024 ，第一个数是 0 ，从第二个数开始，每一个都比它前 一个大1，最后一个是 2024 ．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则 2005 在数表中位于第________行第________列。 【例 34】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的 第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如 A 格应填的数是10 13 130  ，求表中除第一行 和第一列外其它各个格上的数之和？ 【例 35】如图的数阵是由 77 个偶数排成的，其中 20 ， 22 ，24 ，36 ，38 ， 40 这六个数由一个平行四边 形围住，它们的和是180 ．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另 外六个数，如果这六个数的和是 660 ．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数 是 ？ 142 144 146 148 150 152 154 … … … … … … … 30 32 34 36 38 40 42 28 26 24 22 20 18 16 8 14 12 10 6 4 2 【例 36】若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减 小数），如对于 a，差为 7-5=2，所有差的总和为 。