小学奥数2-2-3 不定方程与不定方程组.学生版

教学目标 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被 2、3、5 等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 例题精讲 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】 求方程 2x－3y＝8 的整数解 不定方程与不定方程组 【巩固】 求方程 2x＋6y＝9 的整数解 【例 2】 求方程 4x＋10y＝34 的正整数解 【巩固】 求方程 3x＋5y＝12 的整数解 【巩固】 解不定方程： 2 9 40x y  （其中 x,y 均为正整数） 模块二、利用余数性质解不定方程 【例 3】 求不定方程 7 11 1288x y  的正整数解有多少组？ 【例 4】 求方程 3x＋5y＝31 的整数解 【巩固】 解方程 7 4 89x y  ，（其中 x、y 均为正整数） 模块三、解不定方程组 【例 5】 解方程 1800 1200 800 16000 15 a b c a b c        （ 其中 a、b、c 均为正整数 ） 【例 6】 解不定方程 15 3 1003 100 x y z x y z         (其中 x、y、z 均为正整数)