小学奥数5-1-3-2 数阵图（二）.教师版

5-1-3-2.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 复合型数阵图 【例 1】 由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有 9 个，老师将这 9 个数写在一个九宫格上，让同学选数， 每个同学可以从中选 5 个数来求和．小刚选的 5 个数的和是 120，小明选的 5 个数的和是 111．如 果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________． 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3 题 【分析】这 9 个数的和：11 12 13 21 22 23 31 32 33        10 20 30 3 1 2 3 3 198        （ ） （ ） 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这 9 个数全部都取到了，且有一个数取 了两遍．所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是 120 111 198 33   ． 【答案】 33 【例 2】 如图 1，圆圈内分别填有 1，2，……，7 这 7 个数。如果 6 个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是 64，那么，中间圆圈内填入的数是 。 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 5 题，5 分 【解析】2 【答案】 2 【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上 三个数的和. 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）， 则有 a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11， c=28-（17+9）=2 解：见图. 【答案】 【例 4】 请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和 与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？ 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设 A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k， 2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为 56+A 为 5 的倍数， 得 A=4，进而推出 k=12，因为在 1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设 B=1，F=5，D=6， 则 C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图） 【答案】 【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有 3 个相邻(即有线段相连的圆圈) 的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左 下图中已有一个数 1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 10 题，10 分 【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以 3 的 余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是 根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。 【答案】 【例 6】 将 1 至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的  内，并使每个面上的四个  内的 数字之和都相等。求与填入数字 1 的  有线段相连的三个  内的数的和的最大值。 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 13 题，15 分 【解析】因为 1 到 8 的和为 36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为 18。因为每个面的数字和 相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数。 尝试最大的三个数 8，7，6，则和 1，8，7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2，和 1，8，6 在同一 个面上的数应该是 18-1-8-6=3，和 1，7，6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4，剩下一个 5 填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与 1 相连的三个○的和是 6 7 8 21   【答案】 21 【例 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等． 18- c - d 18- b - c c + d -6 b+ c -6 12- d 12- c 12- b d c b 6 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1 6 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】【解析】设左下角的数为 a ，每条直线上的三个数的和为 S ．由于这 11 个数的和为1 2 11 66    ．从左 下角引出的 5 条直线的总和为 5S ，其中左下角的数多计算了 4 次，则 5 66 4S a  ；又由三条横线 及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得 4 66S a  ．从而结合上面的两个式子可得 18S  ， 6a  ，即左下角的数为 6，每条线上的数之和为 18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为 b ， c ，d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除 6 以外的 10 个数分别为：b ，c ，d ，12 b ，12 c ， 12 d ，18 b c  ，18 c d  ， 6b c  ， 6c d  ．由于18 12 18 18b c c c d        ，得到 3 30b c d   ，即 30 3b d c   ．所以，只要选取适当的 b ， c ， d 的值，使得上面的 10 个数各 不相同即可．比如，选择 9c  ， 1b  ， 2d  ，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯 一，下面再给出两种填法。 3 10 5 2 7 9 4 8 6 11 1 5 4 9 8 3 7 10 2 11 1 6 【答案】 3 10 5 2 7 9 4 8 6 11 1 5 4 9 8 3 7 10 2 11 1 6 【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234，那么标有★的圆 圈中所填的数是_____________． 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11 题 【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）． 根据题意，有 234a f  ★ ⑴ 234b c  ★ ⑵ 234e d  ★ ⑶ 234a b e   ⑷ 234c d f   ⑸ ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸，有 3 234 ★ ，即 234 3 78  ★ ． 【答案】 78 【例 9】 请将 1，2，3，…，10 这 10 个自然数填入图中的 10 个小圆圈内，使得图中的 10 条直线上圆圈内 数字之和都相等．那么乘积 A B C   ？ C B A 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10 题 【解析】【解析】对于本题，可以通过“10 条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是 11 条)这一等量关系，将每一个 小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为 A B C  ，可得图中每一个小圆圈中的数 如下图。 由于中间竖直方向的线段以及从左下角 A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是 A B C  ，可以得到， 3 3 2A B C B C A C      ，可得 2A B C  ，代入得 2 3 3 3B C B C   ， 即 6B C ，只能是 1C  ， 6B  ， 2 8A B C   ，则 8 6 1 48A B C      【答案】 8 6 1 48A B C      【例 10】下图中有 11 条直线．请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相 等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数． ﹡ 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】【解析】设每行的和为 S ，在左下图中，除了 a 出现 2 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现 了，于是有 4 (1 2 3 11) 66S a a        ； a ﹡ a ﹡ 在右上图中除了 a 出现 5 次，其他数字均只出现了 1 次，并且每个数字都出现了，于是有 5 (1 2 3 11) 4 66 4S a a        ． 综合以上两式， 4 66 5 66 4 S a S a      ，解得 6a  ， 18S  ． 考虑到含有*的五条线，有 4 (1 2 3 11) 18 5 90t          ，即 4 24t   ． 可见 t 是 4 的倍数，在 1～11 间可能为 4 和 8，但 t 为 8 时也为 8，重复．所以 4t  ， 7  ． 即每行相等的和为 18，标有*的圆圈中所填的数为 7． 最终的填法如右下图． t ﹡ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【答案】 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【例 11】 “美妙的数学花园”这 7 个字各代表 1~7 中的一个数，并且每个圆中 4 个数的和都是 15。如果学比 美大，美比园大，那么，园表示 。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】（走美杯 3 年级决赛第 11 题，12 分） 【解析】首先找出从1到 7 中四个数之和为15 的有以下四组：①1、 2 、 5 、 7 ；② 2 、3、 4 、 6 ；③1、 3、 4 、7 ；④1、3、5 、6 需要从其中选出 3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有 同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2 ，5 ， 7 ；1，3，4 ，7 ；1，3，5 ，6 ．其中①、③公有的是1，7 ；①、④公有是1，5 ；③、④公有1， 3，即“妙，花，数”应为3，7 ，5 其中之一．则剩下数字 2 ，4 ，6 应为美、学、园其中之一．又 因为学  美  园，所以学 6 ，美 4 ，园 2 ．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园 2 ． 美5 花4 妙1 学7 的3 数6 园2 【答案】 2 【例 12】图 2 中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于 130，三角形内两个数的和等于 53， 圆内三个数的和等于 79，正方形内两个数的和等于 50。那么，从左向右，这五个问号依次是 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 5 题，5 分 【解析】根据题意答案为：25，28，27，24，26 【答案】25，28，27，24，26 【例 13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将1 9 分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使 每个圆环内的数字之和都相等． 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】【解析】设每个圆内的数字之和为 k ，则五个圆内的数字之和是 5k ，它等于1 9 的和 45 再加上两两重叠处 的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1 2 3 4 10    ，最大是 6 7 8 9 30    ，所以， 5 45 30 75k    ，5 45 10 55k    ，即11 15k  ．当 11k  ，13 ，14 时可得四种填法(见右下图)． d c b a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 当 15k  时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为 a ，b ，c ， d ，由上面的分析可知， a ，b ， c ， d 分别为 6 ， 7 ，8，9 ，由于 6 9 15  ， 7 8 15  ，那么，不论 a 为多少，最左边的数总是会 与 b ， c ， d 中的某一个相同，矛盾．所以当 15k  时没有符合题意的填法． 当 12k  时， 12 5 45 15a b c d       ．如果 a ， b ， c ， d 中有一个数为 3，比如 3a  ，那么 12b c d   ，这样与b ，c 在同一个圆内的那个数将与 d 相同．可见 a ，b ，c ，d 都不能为3．如 果 a ，b ， c ， d 中至少有3个数大于3，那么它们至少为 4 ，5 ， 6 ，另一个数至少为1，它们的和 将不小于1 4 5 6 16    ，矛盾．所以 a ，b ，c ，d 中至少有 2 个数小于 3，这 2 个数只能为1和 2 ， 那么另两个数之和为12 ．如果这两个数中有一个为 a 或者 d ，那么最左边或者最右边的数将与 a ，b ， c ， d 中的某一个相同，矛盾；如果这两个数为b 和 c ，那么与b ， c 在同一个圆内的那个数将只能 为 0 ，这也不可能出现．所以当 12k  时也没有符合题意的填法． 【答案】当 11k  ，13 ，14 时可得四种填法 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【例 14】2008 年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数， 将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。这五个自然数的和最大 是 。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 2 题） 【解析】【解析】不妨设最小一个数是 x，那么这 5 个数是 x，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对应，但无论怎么 样，列出的方程一定是这个形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e），其中 a、b、c、d、 e 分别是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），如果连续 5 个自然数最大，那么最小的那 个自然数也必须取得最大，显然减号前是 3、4，减号后 0、1、2 时，x 取得最大值 4，所以这 5 个 数是 4、5、6、7、8，和为 30 【答案】 30 【例 15】如图， A ， B ，C ， D ， E ， F ，G ， H ， I 代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的 和都等于 2008 。这九个数总和最小为 。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分 【解析】假 设 9 个 数 总 和 是 M ， 则 M A B C D E F G H I         , 上 面 三 个 环 的 总 和 为 ： 3 2008 M C G    ，所以当 1 2C G   时，总和最小为 2008 3 3 6027   。 【答案】 6027 【例 16】如图， A ，B ，C ，D ，E ， F ，G ，H ，I 代表九个各不相同的正整数， A ，B ，C ，D ，E ， F ，G ， H ， I 的总和是 2008 ，并且每个圆中所填的数和都等于 M 。 (1) M 最大为多少？ (2) M 最小为多少？ 【考点】复合型数阵图 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 11 题，15 分 【解析】上面三个环里数的和为3M ，3 2008M C G   ，3 2008M C G   ，所以 M 最大可以取 668 ，此 时 C ，G 分别为1，3。五环的和是 5 2008M B D F H     ，要使 M 最小，只要取 B D F H   最小为12 ，此时 404M  。 【答案】最大 668 ，最小12 【例 17】将数字 1~9 分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和 等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为 止）。例如： 20, 22, 19 A B C D E F G H C I J K M N               。 当填写完后，字母 C 处所写的数字是_____________。 A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【考点】复合型数阵图 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，7 题 【解析】【解析】 3l 4l C ，提示：在下图中，直线 1l 上的6 个数之和是，只有1 2 3 4 5 7 22      ，直线 2l 上的5 个 数之和是 35 ，只有 5 6 7 8 9 35     ，所以 G 等于 5 或 7 ； 直线 3l 上的 4 个数之和是12 ，只有：1 2 3 6 12    或1 2 4 5 12    ，再考虑到 G 等于5 或 7 ， 得到 5, 1G M  或 2 或 4 。直线 4l 上的 3个数之和是 20 ，并且 1M  或 2 或 4 ，只有 4 7 9 20   ， 所以 4M  ，再考虑到 1l 上的数不大于 7 ，所以 7C  。下图是一种填法（填法不唯一）。 【答案】C=7。 【例 18】用数字1至 9 填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行，每一列（相连或不相连） 及每个粗线围成的区域中至多出现一次。 【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 11 题，12 分 【解析】如图1，因为 a 、 b 、 c 、 d 所在列已经出现8，所以 a 、 b 、 c 、 d 不等于8， 在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知 8e  ，那么 g 、 f 不等于8，而在 h 、i 所在的 列中出现了数字8，所以 h 、 i 不等于8，那么 8j  ，之后用同样的方法可以得出结果如图 2 。 h g i f j e d c b a 6 6 1 2 8 7 3 8 3 7 1 9 9 5 4 图1 7 3 2 4 5 8 1 9 4 1 3 9 2 7 8 5 9 3 6 4 5 7 1 6 2 5 4 1 8 7 6 2 3 图2 4 5 9 9 1 7 3 8 3 7 8 2 1 6 6 4 6 2 5 8 【答案】 【例 19】用 l—9 填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不相连 的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次． 【考点】数阵图与数论 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 10 题 【解析】解题顺序如第二附图，依照 A、B、C、D……的顺序.