小学奥数3-2-6 变速问题.学生版

变速问题 教学目标 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变” 知识精讲 变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于 这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程 转化成了计算． 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括 公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推 知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图 示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析 往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一 些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能 用比例解题； ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知 数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解． 【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小 红和小强两人的家相距多少米？ 【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后 甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。 求甲原来的速度。 【例 3】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相 遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行 多少米？ 【例 4】 甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变， 乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米．甲车 原来每小时行多少千米？ 【巩固】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙 每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千 米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则 相遇点 E 距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【例 5】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥 上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相 遇．如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则 A、 B 两地相距 多少千米？ 【例 6】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小 时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到 达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？ 【例 7】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小 时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分 到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？ 【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山 速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当 乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【例 9】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2 千米，在接下来 的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500 米的地方．如果他下山的速度是 每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟．那么，他往返共走了多少千米？ 【例 10】甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差 13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇， 那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？ 【例 11】甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行10000 米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起 跑，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 360 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的 速度比原来快 1 4 ，甲每分钟比原来多跑18 米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两 人谁先到达终点？ 【例 12】环形场地的周长为1800 米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12 分钟 后相遇．如果每人每分钟多走 25 米，则相遇点与前次相差 33 米，求原来二人的速度． 【例 13】王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步 行速度只有骑车速度的 1 3 ，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？ 【例 14】甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是 5: 4 ，相遇 后甲的速度减少 20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙离开 A 地还有10 千米．那 么 A 、 B 两地相距多少千米？ 【例 15】甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发，6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距 A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1分钟后加快速度 向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到 A 地？ 【例 16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高 50% 。出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、 乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？ 【例 17】甲、乙两地间平路占 1 5 ，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的 2 3 ，一辆汽车从甲 地到乙地共行了10 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 20% ，行下山路的速度比平路快 20% ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？ 【例 18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑 完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 ．甲跑 第二圈的速度比第一圈提高了 1 3 ，乙跑第二圈的速度提高了 1 5 ，已知沿跑道看从甲、乙两人第 二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190 米，问这条跑道长多少米？ 【例 19】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后 甲比原来速度增加 4 米／秒，乙比原来速度减少 4 米／秒，结果都用 25 秒同时回到原地．求甲 原来的速度． 【巩固】从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的 总路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小时 45 分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、 C 之间的路程及自行车上坡时的速度． 【例 20】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校，7 : 46 追 上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度 提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00 赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如 果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是 点 分． 【例 21】甲、乙两人都要从 A 地到 B 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米．乙比甲早出发 20 分钟，甲在距 A 地 1920 米的 C 处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速 度提高到原来的1.5 倍，马上返回 A 地去取，并在距离 C 处 720 米的 D 处遇上乙．甲到达 A 地 后在 A 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 B 地，结果甲、乙两人同时到达 B 地． A 、 B 两地之间的距离是 米． 【例 22】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上 学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度 的多少倍？ 【例 23】赵伯伯为锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯 伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中，他 共行走多少米？ 【例 24】王老师每天早上晨练，他第一天跑步 1000 米，散步 1600 米，共用 25 分钟；第二天跑步 2000 米，散步 800 米，共用 20 分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：(1)王老 师跑步的速度； (2)王老师散步 800 米所用的时间。 【例 25】某校在 400 米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持 不变，开始时甲比乙慢，在第 15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲 追上乙并且开始超过乙。在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点。那么， 乙跑完全程所用的时间是多少分钟？ 【例 26】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米． 【例 27】如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点 还有 米。 A 【例 28】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30 米，乐 乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原 来速度的10% 倒退 1 分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 20% 倒退 1 分钟，以此 类推，按第 N 次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的 10%N  倒退 1 分钟，然后再按原来的速 度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 次遥控器。 【例 29】唐老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑．米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100 米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态 1 分钟，1 分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹” 状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第 2 次进入“麻痹” 状态时，就会有原速度5% 的速度，而第 3 次就有原速度10% 的速度……，第 20 次进入“麻痹” 状态时已有原速度 95% 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老 鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使 用遥控器? 【例 30】小周开车前往某会议中心，出发 20 分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20 分钟，为了按时到 达会议中心，小周将车速提高了 25% ，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？ 【例 31】如图，甲、乙分别从 A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为 5: 4 ，相遇于 B 地 后，甲继续以原来的速度向 C 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低 1 5 ， 这样当乙回到 C 地时，甲恰好到达离 C 地18 千米的 D 处，那么 A 、 C 两地之间的距离是 __________千米。 D C B A 【例 32】甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千米 /时，它们到达 B 地和 A 地后，甲车速度提高 1 4 ，乙车速度减少 1 6 ，它们第一次相遇地点与第二 次相遇地点相距 74 千米，那么 A 、 B 之间的距离是多少千米？ 【例 33】上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇 后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那 么，乙从 B 地出发时是 8 点 分． 【例 34】甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发，6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距 A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1分钟后加快速度 向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到 A 地？ 【例 35】汽车从甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用 9.4 小时。如果甲、乙两地相距 450 千米，上坡 车速为每小时 45 千米，下坡车速为每小时 50 千米，那么原路返回要 小时。 【例 36】如图所示，有 A 、B 、C 、D 四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB 、BC 、CD 上， 汽车行驶的最高时速限制分别是 120 千米、40 千米和 60 千米。一辆大巴车从 A 景点出发驶向 D 景点，到达 D 点后立刻返回；一辆中巴同时从 D 点出发，驶向 B 点。两车相遇在 C 景点，而当 中巴到达 B 点时，大巴又回到了 C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许 的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于 60 千米，中巴在与大巴相遇后自身所具 有的最高时速比相遇前提高了12.5% ，求大巴客车的最高时速。 D C B A 【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第二段上， 汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米．己知第一段公路的长恰 好是第三段的 2 倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第 二段从甲到乙方向的 1 3 处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？ E A B C D 【例 37】现在甲乙两辆车往返于相距 20 千米的 A 、B 两地，甲车先从 A 地出发，9 分钟后乙车也从 A 地 出发，并且在距离 A 地 5 千米的 C 地追上甲车。乙车到 B 地之后立即向 A 地原速驶回，甲车到 B 地休息 12 分钟之后加快速度向 A 地返回，并在 C 地又将乙车追上。那么最后甲车比乙车提前 多少分钟到 A 地？ 【例 38】甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同 时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速度是每小时 80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时? 【例 39】甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速 度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速 度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速 度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【例 40】如图 21-l，A 至 B 是下坡，B 至 C 是平路，C 至 D 是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小 时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时 6 千米．小张和小王分 别从 A 和 D 同时出发，1 小时后两人在 E 点相遇．已知 E 在 BC 上，并且 E 至 C 的距离是 B 至 C 距离的 1 5 ．当小王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D．那么 A 至 D 全程长是多少千米? 【例 41】老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右上图），车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是 22.5 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千米／时。已知下山路是上山路的 2 倍，从 A 到 D 全程为 72 千米，老王开车从 A 到 D 共需要多少时间？ 【例 42】张明的家离学校 4 千米，他每天早晨骑自行车上学，以 20 千米／时的速度行进，恰好准时到 校。一天早晨，因为逆风，他提前 0.2 时出发，以 10 千米／时的速度骑行，行至离学校 2.4 千 米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平常提前 5 分 24 秒到校。他遇到李 强后每时骑行多少千米？ 【例 43】甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每时行 5 千米，而乙第 1 时行 1 千米，第 2 时 行 2 千米，以后每时都比前 1 时多行 1 千米。问：经过多长时间乙追上甲？ 【例 44】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山 速度的 2 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 400 米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山 脚到山顶的距离。 【例 45】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山 速度的 2 倍。开始后 1 时，甲与乙在离山顶 400 米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山 腰。问：乙比甲晚多少时间回到山脚？ 【例 46】甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时 间平均每分钟行 60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？ 【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间 平均每分钟行 70 米．问他走后一半路程用了多少分钟？ 【例 47】游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行 400 米，下坡每分行 600 米。已知从 A 点到 B 点 需 3.7 分，从 B 点到 A 点只需 2.5 分。问：AC 比 BC 长多少米？