小学奥数5-1-3-3 数阵图（三）.教师版

5-1-3-3.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例 1】 把 0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【考点】数阵图与数论 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题 【解析】【解析】设顶点分别为 A、B、C、D、E，有 45+A+B+C+D+E=55，所以 A+B+C+D+E=10，所以 A、B、C、D、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等差数 列的首项为 a1，公差为 d.利用求和公式 5（a1＋a1+4d）2=55， 得 a1+2d=11，故大于等于 0+1+5=6， 且为奇数，只能取 7、9 或 11，而对应的公差 d 分别为 2、1 和 0.经试验都能填出来所以共有 3 中情 况，公差分别为 2、1、0. 【答案】 2 种可能 【例 2】 将1 ~ 9 填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是 3， 5 ， 7 的倍数． 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】根据题意可知1的两边只能是3与 7 ；2 的两边只能是 6 与9 ；3 的两边只能是 1、5 或 8；4 的两边只 能是 7 与 9．可以先将 3—1—7--写出来，接下来 7 的后面只能是 4，4 的后面只能是 9，9 的后面只 能是 2，2 的后面只能是 6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下 5 和 8 两个数．由于 6 8 14  是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法 符合题意． 【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3 【例 3】 在下面 8 个圆圈中分别填数字 l，2，3，4，5，6，7，8(1 已填出)．从 1 开始顺时针走 1 步进入下 一个圆圈，这个圆圈中若填 n(n≤8)。则从这个圆圈开始顺时针走 n 步进入另一个圆圈．依此下 去，走 7 次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写 8．请给出两种填法． 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分 【解析】按顺时针方向：1,2，5,3，8，7,4，6 或 1,5,2，4，8，6，7,3 或 1,6,2,3，8，5，7，4 或 1,6，4，2，8， 7，5，3 (答对任一种给 6 分，总得分不超过 12)由于无论如何填 8 都是最后一个填写，而填之前，已 经走过了 28 步，因为 28÷8=3 余 4，即 8 永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从 1 到 8 顺序 填写发现可以，此时从 1 顺时针为 1、2、5、3、8、7、4、6；逆推：8 前面的一个填有 2、3、5、6、 7 共 5 种可能。假设为 2，如上图，再往前一个数有 3、4、5、7 共 4 种可能，设为 3，再前推一个 数可能是 4 或 6，设为 4，…依次类并排除错误的选择，可得 1、5、2、 4、 8、6、7、3。 【答案】1、5、2、 4、 8、6、7、3。 【例 4】 在圆的 5 条直径的两端分别写着 1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留 1、10、5、 6 不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。 【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 4 题 【解析】【解析】 共 6 种 【答案】 【例 5】 图中是一个边长为 1 的正六边形，它被分成六个小三角形．将 4、6、8、10、12、14、16 各一个填 入 7 个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成 6 个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加， 填在菱形的中心 A、B、C、D、E、F 位置上（例如： a b g f A    ）．已知 A、B、C、D、E、 F 依次分别能被 2、3、4、5、6、7 整除，那么 a g d   ___________． 【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 12 题 【解析】【解析】 先考虑菱形顶点的和为 3、6 的倍数，7 个数被 3 除的余数分别为 1、0、2、1、0、2、1，可以得到 中间数 g8 或 14，同样分析 5 的倍数，7 的倍数，得到具体的填法（如图），agd4810320 评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。 【答案】 320 【例 6】 在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被 3 整除。请问这 样的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 18 题，10 分 【解析】图中共有 4 个不同的数，每个数除以 3 的余数只可能有 0、1、2 三种，根据抽屉原理可知，这 4 个 数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为 3 的倍数，故不存在这样的填法。 【答案】不存在这样的填法 【例 7】 如图 ABC 被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：(1)任 何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如：2 3 和 3 2 是互为倒数)；(2)四个小三角形里的数字的 乘积等于 225。 则中问小三角形里的数是 【考点】数阵图与数论 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 3 题，6 分 【解析】四个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是 1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是 1,但 其中中间的数被乘了 3 次,如果只乘 1 次那么积为 225，所以中间的数是 1 15 . 【答案】 1 15 【例 8】 （2010 年第 8 届走美杯 3 年级初赛第 8 题） 2010 年是虎年，请把1~11这11个数不重复的填入虎 额上的“王”字中，使三行，一列的和都等于18 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】三个答案均可 三个交叉点数的和是：  1 2 11 4 18 6      ，只能是 6 1 2 3   。剩下通过整数分拆即可得到如图 的三种实质不同的答案 【答案】 【例 9】 将 1～9 这 9 个数字填入下图的 9 个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可 得到 12 个不同的和）。 【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 4 题，8 分 【解析】答案不唯一。例如： 【答案】 【例 10】在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。右图中 A 有 3 个相邻的方格，而 B 有 8 个相 邻的方格。图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如 3 表示相邻的方格中有 3 个偶 数），每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数（如 4 表示相邻的方格中有 4 个奇数）。请在下 面的 4×4 的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求。 【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 12 题，12 分 【解析】如右图 【答案】答案不唯一 【例 11】在右图所示的 5 5 方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和 都是 30。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的 2 倍。 【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 12 题，12 分 【解析】提示：设填入的较小的数为 a，则较大的数为 2a。第一行要填的两数之和为 16，最后一列要填的两 数之和为 8，由此知第一行填入了两个较大的数，第一列填入了两个较小的数。较大的数为 16÷2=8， 较小的数为 8÷2  4。得到下图。 其余数容易填入。 【答案】 【例 12】请在右图所示 4×4 的正方形的每个格子中填入 l 或 2 或 3，使得每个 2×2 的正方形中所填 4 个数的 和各不相同。 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 10 题，12 分 【解析】 【答案】答案不唯一 【例 13】请在 8×8 表格的每个格子中填人 1 或 2 或 3，使得每行、每列所填数的和各不相同。 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 12 题，10 分 【解析】 答案不唯一 【答案】 【例 14】在 8×8 表格的每格中各填入一个数，使得任何一个 5×5 正方形中 25 个数的平均数都大于 3，而整 个 8×8 表格中 64 个数的平均数都小于 2． 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分 【解析】如图所示，根据题意，在任何一个任何一个 5×5 正方形中的总和应该大于 75，而整个的数之和要小 于 128，其中粗线格部分的在所有的 5×5 的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边 的尽可能的小，则外面的 60 个方格最小和为 60，中间四个方格，应该小于 68。在每一个 5×5 的正 方形内除去这 4 个，所有之和为 21，则中间四个数之和应该大于 54，即只要中间四个数的和在 54 到 68 之间即可。如 14+14+14+14.其他方格里均填写 1. 【答案】答案不唯一可以在粗线格里添14 ，其余方格添1 【例 15】将最小的10 个合数填到图中所示表格的10 个空格中，要求满足以下条件： （1）填入的数能被它所在列的第一个数整除 （2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中 5 个数的和最小是 【考点】数阵图与数论 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】最小的10 个合数分别是 4 ， 6 ， 8， 9 ，10 ，12 ，14 ，15 ，16 ，18 ．这10 个合数当中10 和15 一 定是在 5 的下面，其中 15 在最后一行；4 、8、14 、16 一定是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2 的下 面；剩下的 6 、 9 、12 、18 在 3或 6 下面，其中 9 一定在 3的下面，对 2 和 4 所在的列和 3和 6 所在 的列分别讨论． 4 、8、14 、16 ，这四个数中最大的数16 一定在最后一行，最小的数 4 一定在第二 行，所以 2 和 4 所在的列中最后一行的数的和最小是16 8 24  ，当14 、16 在 2 下面， 4 和8在 4 下 面时成立； 6 、9 、12 、18 ，这四个数中最大的数18 一定在最后一行，最小的数 6 一定在第二行， 所以 3和 6 所在的列中最后一行的数的和最小是18 9 27  ，当12 和18 在 6 下面， 6 和 9 在 3下面时 成立．所以最后一行的 5 个数的和最小是 24 15 27 66   。 【答案】 24 15 27 66   【例 16】老师给前来参加“迎春晚会”的 31 位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘 积 是 他 们 编 号 和 的 倍 数 ， 则 称 这 两 位 同 学 是 “ 好 朋 友 ” ． 从 这 31 位 同 学 中 至 少 需 要 选 出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”． 【考点】数阵图与数论 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，15 题 【解析】如果 a b，  a b 两个编号的同学是“好朋友”，那么 ab ka kb  ，则 2ka kb k   ． 2k  时满足条件的  a b， 有 3 6， ； 3k  时满足条件的  a b， 有 4 12， ； 4k  时满足条件的  a b， 有 5 20， 、  6 12， ； 5k  时满足条件的  a b， 有 6 30， ； 6k  时满足条件的  a b， 有 8 24， 、  5 20， 、 5 20， ； 8k  时满足条件的  a b， 有 12 24， ； 10k  时满足条件的  a b， 有  15 30， ； 12k  时满足条件的  a b， 有  20 30， 、 21 28， ； 则全部同学相互之间的关系网如图(其余 31 15 16  名学生未列)： 10 15 5 20 30 6 3 4 12 24 8 28 21 18 9 关系网图可分为不关联的 3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出 6 名互不是“好朋友”的同学， 包含 2 个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的 16 人，所以31人中最 多可以选出16 6 1 1 24    人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两 位同学是“好朋友”，所以至少应该选出 25 人． 小结：本题容易忽略掉 21 和 28 这一对“好朋友”． 【答案】 25 人