小学奥数3-3-2 行程综合问题.学生版

行程综合问题 教学目标 1. 运用各种方法解决行程内综合问题。 2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。 知识精讲 行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们 大致可以分为两类： 一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合 题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。 二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合 在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。 本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是 很受“偏爱”的。所以很重要。 模块一、行程内综合 【例 1】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下坡路。 他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返 回，邮递员什么时候可以回到邮局? 【例 2】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是 上山速度的1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？ 【例 3】 已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着 周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后 甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。 求甲原来的速度。 【例 5】 环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分 跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？ 【例 6】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米． 【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点 还有 米。 A 【例 8】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【例 9】 如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P,同时反向各 发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇．如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点 N 相遇．问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少? 【例 10】一条环形道路，周长为 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周．现有自行 车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已 知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每 小时 20 千米．请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点．那么环行 2 周最少要用多少 分钟? 【例 11】甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速 度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速 度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速 度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【例 12】某人乘坐观光游船沿河流方向从 A 港前行．发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船，每 隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过．已知 A 、B 两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静 水中速度相同，均是水速的 7 倍．那么货船的发出间隔是____________分钟． 模块二、学科内综合 【例 13】甲、乙两辆车从 A 城开往 B 城，速度是 55 于米／小时，上午 10 点，甲车已行的路程是乙车已 行的路程的 5 倍：中午 12 点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍．问乙车比甲车晚出发 多少小时？ 【例 14】张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1 千米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米，……（连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中 点相遇。甲、乙两地相距多少千米? 【巩固】 甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行 5 厘米，乙车第一秒行 1 厘米， 第二秒行 2 厘米，第三秒行 3 厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长_____厘 米。 【巩固】 龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米．乌龟不停地跑；但兔 子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后 玩 15 分钟，……．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 【例 15】科技小组演示自制机器人，若机器人从点 A 向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向南行 走 1.8 米，再向东行走 2 米，最后又向南行走 1 米到达 B 点，则 B 点与 A 点的距离是（ ） 米。 （A）3 （B）4 （C）5 （D）7 【例 16】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙 同时出发 10 分后，两人与十字路口的距离相等，出发后 100 分，两人与十字路口的距离再次相 等，此时他们距十字路口多少米？ 【例 17】如图 6，迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙），甲的边长和 乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（☆） 处的是 。 【例 18】A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处．甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发， 相向而行，甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来路线返航．水速为 2 米/秒，且两船 在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距 20 千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒． 【例 19】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同 向行走，小龙每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时 雪地上只留下 60 个脚印。那么这条小路长 。 【例 20】甲、乙两地相距 100 千米，张山骑摩托车从甲地出发，1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发， 二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时 50 千米，中途减为每小时 40 千米；汽车 的速度是每小时 80 千米，并在途中停留 10 分钟。那么，张山骑摩托车在出发 分 钟后减速. 【例 21】甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米；当 乙游到甲现在的位置时，甲已离起点 98 米．问：甲现在离起点多少米? 【例 22】某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙 地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地，问：全程骑 摩托车需要几小时到达乙地？ 【例 23】甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距 2.5 千米时 ，甲走了全程 的 2 3 ，乙走了全程的 3 4 。两地相距多少千米？ 【例 24】甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需 48 分，出发后 30 分 两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？ 【例 25】甲、乙两站相距不到 500 千米，A，B 两列火车从甲、乙两站相对开出，A 车行至 210 千米处停 车，B 车行至 270 千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的 1 9 。甲乙两站的距离 是多少？ 【例 26】客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 10 时，货车行完全程需 15 时。两车 在中途相遇后，客车又行了 90 千米，这时客车行完了全程的 80％，求甲、乙两地的距离。 【例 27】小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要 60 分，小李走完全程要 40 分。出发后 5 分， 小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了 5 分，小李再出发后多长时间两人相遇？ 【例 28】两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要 8 时，比快车从异地到甲地所需时间 多 1 3 。一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行 48 千米，求甲、乙两地的距离。 【例 29】甲、乙二人在环形自行车赛场上训练，已知两人骑一圈分别需要 23 秒和 27 秒。如果两人同时 从起点出发，背向而行，那么他们再次相遇需要多长时间？如果是同向行，那么甲超过乙需要 多长时间？ 【例 30】甲、乙两汽车先后从 A 地出发到 B 地去，当甲车到达 A，B 两地中点时，乙车走了全程的 1 5 ； 当甲车到达 B 地时，乙车走了全程的 2 3 。求甲、乙两车车速之比。 【例 31】大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走 1.5 时，小轿车出发 4 时后追上 了大货车。如果小轿车每小时多行 5 千米，那么出发后 3 时就可追上大货车。问：小轿车实际 上每时行多少千米？ 【例 32】星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走 5 分，哥哥出发后 25 分追上了弟弟。如果 哥哥每分多走 5 米，那么出发后 20 分就可以追上弟弟。弟弟每分走多少米？ 【例 33】四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒 的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行比赛时 间的一半.你认为这两个方案哪个好？ 【例 34】一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从 A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁 路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道. 因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多 少分钟? 【例 35】一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉 4 根，线路上每两根电线杆间距离为 50 米，共运了两次，装卸结束后返回原地共用 3 时。其中装一次车用 30 分，卸一根电线杆用 5 分， 汽车运行时的平均速度是 24 千米／时，求第一根电线杆离出发点的距离。 【例 36】在一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油．现有甲、乙两辆 汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙 车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的 最远距离．