小学奥数3-2-4 环形跑道问题.学生版

环形跑道问题 教学目标 1、 掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题 知识精讲 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点 直径两端 同向：路程差 nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S 模块一、常规的环形跑道问题 【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走 66 米，麻雀每 分钟走 59 米．经过几分钟才能相遇? 【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。 已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【例 2】 上海小学有一长 300 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 6 米，小 胖每秒钟跑 4 米， (1) 小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？ (2) 小亚第二次追上小胖两人 各跑了多少圈？ 【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步．小王的速度是 200 米/分．⑴小张 和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张 和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【巩固】 幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑 6 米， 晶晶每秒钟跑 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各跑 了多少圈？ 【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是 400 米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们 比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果 10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学 们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑 140 米，那么如果小明第 3次从背后追上小刚时， 小刚一共跑了 米． 【巩固】 如图 1，有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每 秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了 圈。 【例 3】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时 同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【巩固】 两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行， 45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多 少分钟两人相遇 【巩固】 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【例 4】 在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背 向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而 行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【例 5】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。 已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【巩固】 在周长为 200 米的圆形跑道—条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/秒，5 米/秒的骑车速度同 时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【巩固】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔 4 分钟相遇一次；如果两人从同处 同向同时跑，每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是 多少？ 【例 6】 甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后 6 分 甲第一次超过乙，22 分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面 多少米？ 【例 7】 在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发， 按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。 那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【例 8】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人 改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 【例 9】 有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同 时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道 上同一处? 【例 10】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【例 11】林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米， 那么她的后一半路程跑了多少秒？ 【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米， 则他后一半路程跑了多少秒？ 【例 12】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米， 乙速 度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇， 在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 【例 13】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当 乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的 周长？ 【巩固】 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第 一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长. 【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 A 与 C 同时出发，绕圆周相 向而行．它们第一 次相遇在离 A 点 8 厘米处的 B 点，第二次相遇在离 C 点处 6 厘米的 D 点，问，这个圆周的长是 多少? 【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇， 在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？ 【例 14】两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米．甲、乙两车同时分 别从相距 90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B 点时，甲车过 B 点后恰好又回到 A 点．此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续行驶），再过多少 分与乙车相遇？ 【巩固】 周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人分别从 A，B 两点同时相 背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B．如果以后甲、 乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【巩固】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到 达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？ 【例 15】如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是 0.5 千米，A、B、C 三位运动员同时从交点 O 出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时 4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米。 问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？ 【例 16】甲、乙两车同时从同一点 A 出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行 驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面 追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米？ 【巩固】 二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们同时同地 同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击 掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 【例 17】下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形．甲、乙两人分别从 两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多少时间 甲才能看到乙？ 【巩固】 如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟 行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙? 【例 18】下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲逆时针每分行 75 米，乙顺时 针每分行 45 米．两人第一次在 CD 边（不包括 C，D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 【例 19】如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A，B 两地顺时针方向沿长方 形 ABCD 的边走向 D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D 向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米? 【例 20】甲、乙两人从周长为 1600 米的正方形水池 ABCD 相对的两个顶点 A，C 同时出发绕池边沿 A→B→C→D→A 的方向行走。甲每分行 50 米，乙每分行 46 米，甲、乙第一次在同一边上行 走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？ 【例 21】如图，长方形 ABCD 中 AB∶BC=5∶4。位于 A 点的第一只蚂蚁按 A→B→C→D→A 的方向，位 于 C 点的第二只蚂蚁按 C→B→A→D→C 的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两 只蚂蚁第一次在 B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。 (A)AB (B)BC (C)CD 【例 22】在一个周长 90 厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B，C 三个爬虫分别在这三点上，它 们每秒依次爬行 10 厘米、5 厘米、3 厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么 它们第一次到达同一位置需多长时间？ 模块二、环形跑道——变道问题 【例 23】如图 2，一个边长为 50 米的正方形围墙，甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发，沿闹墙按顺 时针方向运动，已知甲每秒走 5 米，乙每秒走 3 米，则至少经过 秒甲、乙走到正方 形的同一条边上。 【例 24】如图是一个跑道的示意图，沿 ACBEA 走一圈是 400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275米，其中 A 到 B 的直线距离是 75 米．甲、乙二人同时从 A 点出发练习长跑，甲沿 ACBDA 的小圈跑，每100 米 用 24 秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑，每100 米用 21 秒，问： ⑴ 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ ⑵ 发多长时间甲、乙再次在 A 相遇？ E C D B A 【例 25】如图所示，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿直线跑。父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一 次与父亲相遇？ B A 【例 26】如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重．甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑 道的交点 A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 【例 27】有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑 道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器 人同时从 A 点出发，那么当两个机器人在跑道上第 3 次迎面相遇时，机器人甲距离出发点 A 点 多少厘米? 200 200 100 A 【例 28】下图是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米， 大圈轨道的周长是 3 米. 开始时，A 连接 C，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动， 同时变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回 到 A 点时用了 秒钟. 【例 29】下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两 只甲虫首次相距最远？ 【例 30】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从 A 、 B 两地按 箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道 作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、 乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 3 2 1 B A 【巩固】 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 A ，B ，C 分别在这 3 个点上．它 们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行． A 的速度是 10 厘米/秒， B 的速度是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 【例 31】如图所示，甲沿长为 400 米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动 路线的次序：1 2 3 4 1     ）。如果甲、乙两人同时从 A 点出发，且甲、乙二人的速度分 别是每秒 3 米和 5 米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。 【例 32】如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为 600 米，小圆环的周长为 400 米。甲的速度为每秒 6 米，乙的速度为每秒 4 米。甲、乙二人同时由 A 点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈， 就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。 问：甲、乙可能相遇的位置距离 A 点的路程是多少？(路程按甲跑的计算) 模块三、环形跑道——变速问题 【例 33】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后 甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。 求甲原来的速度。 【例 34】环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分 跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？ 【例 35】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米． 【例 36】如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点 还有 米。 A 【例 37】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【例 38】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P,同时反向各 发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇．如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点 N 相遇．问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少? 【例 39】一条环形道路，周长为 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周．现有自行 车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已 知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每 小时 20 千米．请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点．那么环行 2 周最少要用多少 分钟?