小学奥数1-2-2-2 整数裂项.教师版

整数裂项 知识点拨 整数裂项基本公式 (1) 1 2 2 3 3 4 ... ( 1)n n         1 ( 1) ( 1)3 n n n     (2) 11 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 2) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)4n n n n n n n                  例题精讲 【例 1】 1 2 2 3 3 4 49 50        =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 设 S＝1 2 2 3 3 4 49 50        1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S＝49×50×51÷3＝41650 【答案】 41650 【巩固】【巩固】1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10                  ________ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：                1 2 1 1 1 11 1 2 1 13 3 3 n n n n n nn n n n n n n n             ， 所以原式 1 1 1 1 11 2 3 2 3 4 1 2 3 9 10 11 8 9 103 3 3 3 3                               1 9 10 11 3303      另解：由于   21n n n n   ，所以 原式      2 2 21 1 2 2 9 9          2 2 21 2 9 1 2 9         1 19 10 19 9 106 2        330 采用此种方法也可以得到     11 2 2 3 1 1 23n n n n n          这一结论． 【答案】 330 【例 2】 1 4 4 7 7 10 49 52        =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】设 S＝1 4 4 7 7 10 49 52        1×4×9＝1×4×7＋1×4×2 4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………. 49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S＝49×52×55＋1×4×2 S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572 【答案】15572 【例 3】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 11             【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】            1 11 2 1 2 3 1 1 24 4n n n n n n n n n n n          ，所以， 原式 1 1 1 1 11 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 9 10 11 12 8 9 10 114 4 4 4 4                                    1 9 10 11 124      2970 从中还可以看出，        11 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 1 2 34n n n n n n n                  【答案】 2970 【例 4】 计算：1 3 5 3 5 7 17 19 21          ． 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】可以进行整数裂项． 3 5 7 9 1 3 5 73 5 7 8          ， 5 7 9 11 3 5 7 95 7 9 8          ， 17 19 21 23 15 17 19 2117 19 21 8          ， 所以原式 3 5 7 9 1 3 5 7 17 19 21 23 15 17 19 211 3 5 8 8                    17 19 21 23 1 3 5 71 3 5 8           17 19 21 23 1 3 5 8       19503 也可适用公式． 原式            3 2 3 3 2 5 2 5 5 2 19 2 19 19 2                     2 2 2 2 2 23 2 3 5 2 5 19 2 19             3 3 33 5 19 4 3 5 19             3 3 3 31 3 5 19 4 1 3 5 19 3             而    3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 3 5 19 1 2 3 20 2 4 6 20                2 2 2 21 120 21 8 10 114 4        19900 ， 21 3 5 19 10 100      ，所以原式 19900 4 100 3    19503 ． 【答案】19503 【巩固】【巩固】计算：10 16 22 16 22 28 70 76 82 76 82 88            【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】可进行整数裂项： 原式 10 16 22 28 4 10 16 22 16 22 28 34 10 16 22 28= 24 24                           70 76 82 88 64 70 76 82 76 82 88 94 70 76 82 88 24 24                        10 16 22 28 4 10 16 22 16 22 28 34 10 16 22 28= 24 24 24 24                 70 76 82 88 64 70 76 82 76 82 88 94 70 76 82 88 24 24 24 24               76 82 88 94 4 10 16 22= 24 24       76 82 88 94 4 10 16 22= 24        =2147376 【答案】 2147376 【巩固】【巩固】计算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 97 98 99 100                 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算． 记原式为 A ，再设 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9 96 97 98 99B                  ， 则 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 97 98 99 100A B                  1 97 98 99 100 101 19010098805        ， 现在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的值就都可以求出来了． 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 97 98 99 100A B                          4 (1 2 3 3 4 5 5 6 7 ... 97 98 99)              2 2 2 24 2 (2 1) 4 (4 1) 6 (6 1) 98 (98 1)                3 3 3 34 (2 4 6 98 ) 4 (2 4 6 98)             2 21 14 8 49 50 4 100 494 2          48010200 所以，  1901009880 48010200 2 974510040A     ． 【答案】 974510040 【例 5】 2004 2003 2003 2002 2002 2001 2001 2000 2 1          【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 2003 2 2001 2 3 2 1 2          2 1 3 5 2001 2003        2 1 2003 1002 2     2008008 其中也可以直接根据公式   21 3 5 7 2 1n n       得出 21 3 5 2001 2003 1002      【答案】 2008008 【例 6】 1 1! 2 2! 3 3! 2008 2008!         【考点】整数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】【解析】观察发现 2 2! 2 2 1 (3 1) 2 1 3! 2!          ， 3 3! 3 3 2 1 (4 1) 3 2 1 4! 3!            ，…… 2008 2008! 2008 2008 2007 2 1 (2009 1) 2008 2007 2 1 2009! 2008!                   ， 可见，原式 1! (2! 1!) (3! 2!) (2009! 2008!)        2009! 【答案】 2009! 【例 7】 计算： 1 2 3 4 5 6 99 100 2 3 4 5 98 99                 【考点】整数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 【解析】设原式= B A 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100A B                 1 1 2 3 0 1 2 2 3 4 1 2 3 99 100 101 98 99 1003                      1 99 100 101 3333003      1 2 3 2 99 2 50 100 5000B A           333300 5000 3383 333300 5000 3283 B A   【答案】 3383 3283