通项归纳
例题精讲
【例 1】 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ________ 。
【考点】通项归纳 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】方法一：令 1 2 4 8 1024a ，则 2 2 4 8 16 1024 2048a ，两式相减，得
2048 1 2047a 。
方法二：找规律计算得到1024 2 1=2047
【答案】 2047
【例 2】 在一列数： 1 3 5 7 9
3 5 7 9 11 ，，，， ， 中，从哪一个数开始，1 与每个数之差都小于 1
1000
？
【考点】通项归纳 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】这列数的特点是每个数的分母比分子大 2，分子为奇数列，要 1－ 2 1
2 1
n
n
＜ 1
1000
，解出 n＞999.5，
从 n＝1000 开始，即从 1999
2001
开始，满足条件
【答案】 1999
2001
【例 3】 计算： 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 2007
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】先找通项公式 1 2 1 12( )1 2 ( 1) 1na n n n n n
原式 1 1 11 2 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1)
2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 2007 2008
20072 2008
2007
1004
【答案】 2007
1004
【巩固】【巩固】 1 1 1 1
3 3 5 3 5 7 3 5 7 21
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】先找通项：
1 1 1
13 5 2 1 22 1 32
na n n nn n
原式 1 1 1 1 1 1
1 3 2 4 3 5 4 6 9 11 10 12
1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12
1 1 1 1 1 1
2 1 11 2 2 12
175
264
【答案】 175
264
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 12
【考点】通项归纳 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】南京市，兴趣杯，决赛
【解析】先通项归纳：
1 1 1
12 4 2 12 22
na n n nn n
，
原式 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 611 2 2 3 3 4 6 7 7 7
【答案】 6
7
【例 4】
1 11
3 19992
1 1 1 1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 3 2 3 1999
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】
1 1
2 1 11 1 2 ( )1 1 1 2 ( 1)( 2) 1 2(1 ) (1 ) (1 )2 3 1 2
n n
n n n n n
n
原式＝ 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 4 4 5 1999 2000
＝
1000
999
1000
11
【答案】 999
1000
【例 5】 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】（法 1）：可先找通项
2
2 2
1 11 11 1 ( 1) ( 1)n
na n n n n
原式 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1 5 55 (1 ) 5 52 11 11 11
（法 2）：原式 2 8 8 18 18 32 32 50 50(2 ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 5 7 7 9 9 11
6 10 14 18 50 6 52 10 4 53 5 7 9 11 11 11
【答案】 5511
【巩固】【巩固】 2 2 2
1 1 11 1 12 1 3 1 99 1
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】
2 2
2 2
1 ( 1) ( 1)1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 2)n
n na n n n n
原式 2 2 3 3 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 4913 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50
【答案】 49150
【巩固】【巩固】 计算：
2 2 2
2 2 2
2 3 99
2 1 3 1 99 1
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】通项公式：
2 21 1
1 1 1 1 2n
n na n n n n
，
原式 2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) ( 99 1)
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99
3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
1 3 2 4 3 5 97 99 98 100
2 99 99
1 100 50
【答案】 99
50
【例 6】 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50
2 2 3 2 3 4 2 3 50
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】找通项
(1 )
( 1)2
(1 ) ( 1) 212
n
n n
n na n n n n
原式 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6
4 10 18 28 1 4 2 5 3 6 4 7
，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式 2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 51
1 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52
3 50 2321 52 26
【答案】 232 26
【例 7】 计算： 1 1 1 1
1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 9 10
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】由于 11 2 2 3 1 1 23n n n n n ，则
1 3
1 2 2 3 1 1 2n n n n n
，
原式 3 3 3 3
1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 11
3 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 3 2 3 3 4 9 10 10 11
3 1 1 81
2 2 110 110
【答案】 81
110
【例 8】 计算：
2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 2004 2005 2005 2006
1 2 2 3 2004 2005 2005 2006
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】（法 1）：可先来分析一下它的通项情况，
2 2 2 2( 1) ( 1) 1
( 1) ( 1) ( 1) 1n
n n n n n na n n n n n n n n
原式= 2 1 3 2 4 3 5 4 2005 2004 2006 2005( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4 5 2004 2005 2005 2006
2005 20052005 2 40102006 2006
（法 2）：
2 2 2
2 2
( 1) 2 2 1 1 12 2( 1) ( 1)n
n n n na n n n n n n n n
【答案】 20054010 2006
【例 9】 1 2 3 8 9(1 ) (2 ) (3 ) (8 ) (9 )2 3 4 9 10
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】通项为：
2( 1)
1 1 1n
n n n n na n n n n
，
原式
2 2 2 2 21 2 3 4 8 9 3 4 6 7 8 9 362882 3 4 5 9 10
【答案】 36288
【例 10】
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】
2 2 2
2 23 3 3
( 1) (2 1)
1 2 2 2 1 2 1 16 ( )( 1)1 2 3 ( 1) 3 1
4
n
n n n
n na n nn n n n n
原式= 2 1 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( ) ( )]3 1 2 2 3 3 4 26 27
= 2 1 52(1 )3 27 81
【答案】 52
81
【例 11】
222222 1021
1
21
1
1
1
2120
1
54
1
32
124
【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】虽然很容易看出
32
1
＝
3
1
2
1 ，
54
1
＝
5
1
4
1 ……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不
象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式
2 2 2 2 11 2 3 ... ( 1) (2 1)6n n n n
，
于是我们又有
)12()1(
6
321
1
2222 nnnn
＝
．．
减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”
呢？
222222 1021
1
21
1
1
1
2120
1
54
1
32
124
＝
211110
1
532
1
321
162120
1
54
1
32
124
＝
212220
1
564
1
342
1242120
1
54
1
32
124
＝
212220
1
2120
1
564
1
54
1
342
1
32
124
＝
2220
1
64
1
42
124 ＝
1110
1
32
1
21
16
＝
11
116 ＝
11
60 ．
【答案】 60
11
【例 12】计算：
2 2 2
2 2 2
1 2 99
1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000
．
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】本 题 的 通 项 公 式 为
2
2 100 5000
n
n n
， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 ． 注 意 到 分 母
2 100 5000 5000 100 5000 100 100 100n n n n n n ，可以看出如果把 n 换成
100 n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个
2
2
50
50 5000 5000
．
将项数和为 100 的两项相加，得
2 222 2
22 2 2
100 100 2 200 10000 2100 5000 100 5000 100 5000100 100 100 5000
n n nn n n
n n n n n nn n
，
所以原式 2 49 1 99 ．（或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式 1 99 99 ）
【答案】 99
【例 13】计算：
2 2 2 2
2 2 2 2
2 4 6 1998
3 1 5 1 7 1 1999 1
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】通项归纳：
2
2
2 2 2
2 2 2 12 1 1
n n n n
n n nn
原式= 1 2 3 999 1
2 3 4 1000 1000
【答案】 1
1000
【例 14】计算：
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 3 4 8 9 10
3 3 5 3 5 17
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 3 2 3 4 8 9 10
2 1 3 1 9 1
通项归纳， 2 22 2
2 2 2
1 1 3 2 5 5 1 13 31 1 1 2 1 1
n n n n
n n n n n
原式 5 1 1 13 8 12 2 9 10
29 224 279 9
【答案】 227 9
【例 15】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 21
1 1 2 1 2 3 1 2 10
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】通项归纳， 2 2 2
2 1 2 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1
n n
n n n n n n n n
原式 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 10 11
1 101 11 11
【答案】 10
11
【例 16】计算： 23 23
23 3
（共 2010 条分数线）
【考点】通项归纳 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】
3
2
2 7 2 13 3 3 2 1
4
3
2 6 15 2 13 32 7 7 2 13 3
5
4
2 14 31 2 13 32 15 15 2 13 23 3
………………
2
1
2 2 13 2 2 13
23 3
n
n
，所以 2010 条分数线的话，答案应该为
2012
2011
2 1
2 1
【答案】
2012
2011
2 1
2 1
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