小学奥数1-3-5 换元法.教师版

换元法 教学目标 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合， 更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的 小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元， 要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换 元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 例题精讲 【例 1】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )2 4 2 4 6 2 4 6 2 4            【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】令 1 1 11 2 4 6 a    ， 1 1 1 2 4 6 b   ，则： 原式 1 1( ) ( )6 6a b a b      1 1 6 6ab b ab a    1 ( )6 a b  1 116 6    【答案】 1 6 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 1 1 1 2 3 4a    ，则原式化简为： 1 1 11 (15 5 5a a a a( + )( + )- + )= 【答案】 1 5 【巩固】【巩固】计算： 621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947                                 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】令 621 739 458 126 358 947 a   ； 739 458 358 947 b  ， 原式 378 378 207 207a b a b                 378 621 378 9207 126 207a b      【答案】 9 【巩固】【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321   ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321   )  ( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321    ) ( 0.21 0.321 0.4321  ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 0.21 0.321 0.4321x    ， 0.21 0.321 0.4321 0.54321y     ， 原式  ( 0.1 x ) y  ( 0.1 y ) 0.1x   ( y x ) 0.054321 【答案】 0.054321 【巩固】【巩固】计算下面的算式 ( 7.88 6.77 5.66  ) ( 9.31 10.98 10  )  ( 7.88 6.77 5.66 10   ) ( 9.31 10.98 ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2 试 【解析】换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 7.88 6.77 5.66a    ， 9.31 10.98b   ， 则 原 式 a  ( 10b  )  ( 10a  ) b  ( 10ab a )  ( 10ab b ) 10 10 10ab a ab b      ( a b ) 10  ( 7.88 6.77 5.66 9.31 10.98    ) 10 0.02 0.2   【答案】 0.2 【巩固】【巩固】 (1 0.12 0.23) (0.12 0.23 0.34) (1 0.12 0.23 0.34) (0.12 0.23)            ____ 。 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】设 0.12 0.23 a  ， 0.12 0.23 0.34 b   原式    1 1 0.34a b b a b a         【答案】 0.34 【巩固】【巩固】计算：⑴ (1 0.45 0.56  ) ( 0.45 0.56 0.67  )  (1 0.45 0.56 0.67   ) ( 0.45 0.56 ) ⑵ 621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207                          739 458 358 947     【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 0.45 0.56a   ， 0.45 0.56 0.67b    ， 有原式  (1 a ) b  (1 b ) 0.67a b ab a ab b a        ⑵ 设 621 739 458 126 358 947a       ， 739 458 358 947b      原式 378 378 378 621 378( ) 9207 207 207 126 207a b a b a b                     【答案】⑴ 0.67 ⑵ 9 【巩固】【巩固】计算： 5 7 3 7 3 4 5 7 3 4 7 3( )12 32 17 32 17 13 12 32 17 13 32 17                           = 。 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】设 5 7 3 12 32 17a    、 7 3 32 17b   ，则有 4 4 13 13 4 4 4 ( )13 13 13 4 5 5 13 12 39 a b a b a b a b                       原式 【答案】 5 39 【例 2】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007                                        【考点】换元法 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】令 1 1 1 2 3 2007a     ， 1 1 1 2 3 2008b     ， 原式     11 1 2008a b b a b ab a ab b a             【答案】 1 2008 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41                                     【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 1 1 1 1 11 21 31 41 a    ， 1 1 1 21 31 41 b   ， 原式 1 1 51 51a b a b               1 1 51 51ab a ab b    1 ( )51 a b  1 1 1 51 11 561    【答案】 1 561 【巩固】【巩固】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ) ( )5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11               （ ） （ 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】 【解析】设 1 1 1 1 5 7 9 11 A    ， 1 1 1 7 9 11 B   ， 原式 1 1 13 13A B A B               1 1 13 13A B A A B B       1 13 A B  1 1 1 13 5 65    【答案】 1 65 【巩固】【巩固】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                                         【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 1 1 1 11 2 3 4 5 A     ， 1 1 1 1 2 3 4 5 B    原式  1 1 6 6A B A B               1 1 6 6A B A A B B        1 1 6 6A B   1 6   ( A B ) 1 6  【答案】 1 6 【例 3】 计算： 21 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 912 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10                                            【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】设 1 2 3 9 2 3 4 10t      ，则有 2 2 21 1 1 1 1(1 )2 2 2 2 2 2 tt t t t t t t t                     【答案】 【例 4】 计算 1 1 1 12 11 13 11 14 31 14 12009 2009             【考点】换元法 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】设 3N   1 14 1 2009   . 原式= 1 12 N  + 1 11 11 N   = 1 2 1N N  + 1 1 1 N N   = 1 12 1 2 1 N N N N    . 【答案】1 【例 5】 计算： 22 2 2 2 8 11 8 11 8 11 1 1111 8 11 8 11 8 8 11                                     【考点】换元法 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 (法一)设 8 11x  ，则原式 2 2 1 1 881 1 11 2 88 x xx x x xx x                     ． (法二)设 8 11 11 8x   ，那么 2 2 2 2 2 8 11 211 8x    ，所以 2 2 2 2 2 8 11 211 8 x   ． 而 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 8 11 8 11 1 1 12 28 11 8 11 8 11 8 11 88 88x x                             ． 这样原式转化为    2 2 2 2 2 88 881 21 2 88 x x x x x xx x          ． 在这里需要老师对于        a b c d a b c a b d ac bc ad bd             的计算进行简单的 说明. 【答案】88 【例 6】 计算： 22010 2009 2011 1  【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 a  2009, 原式 2 2 2 1) 2 1 1+2 1 2 1 a a a a a a a        （ （ ） 【答案】1 【巩固】【巩固】计算 2008 2009 2007 2008 2009 1     （4 级） 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】设 2008a  原式 ( 1)( 1) ( 1) 1 a a a a a      2 2 1 1 1 a a a a      【答案】1