分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1
a b
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，
那么有 1 1 1 1( )a b b a a b
(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
( 1) ( 2)n n n
， 1
( 1) ( 2) ( 3)n n n n
形式的，我们有：
1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n
1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3)n n n n n n n n n n
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x
提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） 1 1a b a b
a b a b a b b a
（2）
2 2 2 2a b a b a b
a b a b a b b a
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
。
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 5
1 2 2 3 5 6 1 6 6
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 7 9
，计算过程就要变为：
1 1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 7 9 1 9 2
．
【答案】 5
6
【巩固】【巩固】 1 1 1......10 11 11 12 59 60
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( )10 11 11 12 59 60 10 60 12
【答案】 1
12
【巩固】【巩固】 2 2 2 2
10 9 9 8 5 4 4 3
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 12 9 10 8 9 4 5 3 4
1 12 3 10
7
15
【答案】 7
15
【例 2】 1 1 1 1
1 1 2 1 2 3 1 2 100
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
代入有 1 1 2
(1 1) 11 1 2
2
， 1 1 2
(1 2) 21 2 2 3
2
，……，
原式 2 2 2 2 1 200 992 (1 ) 11 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101
【答案】 991101
【例 3】 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 99 101
例题精讲
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50(11 3 3 5 5 7 99 101 2 3 3 5 99 101 101
… ）
【答案】 50
101
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 125 1 3 3 5 5 7 23 25
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 125 12 3 3 5 23 25
1 125 12 25
25 24
2 25
12
【答案】12
【巩固】【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16 2000 2004 2004 2008
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】【解析】原式 251 1 1 1 1 1
16 1 2 2 3 3 4 500 501 501 502
251 1 1 1 1 1 1 1116 2 2 3 3 4 501 502
251 501 501 211516 502 32 32
【答案】 2115 32
【巩固】【巩固】计算： 3 2 4 5 6 7 1
2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29
1
2
【答案】 1
2
【例 4】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1288 24 48 80 120 168 224 288
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】101 中学
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1282 4 4 6 6 8 16 18
（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1282 2 4 4 6 16 18
（ ）
1 1 642 18
（ ）
428 9
【答案】 428 9
【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 56 72 90
_______
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】【解析】根据裂项性质进行拆分为：
1 1 1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 2= =2 10 5
【答案】 2
5
【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 11 3 6 10 15 21 28
【考点】分数裂项 【难度】6 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6 年级，决赛
【解析】原式 1 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
2 2 21 2 3 3 4 7 8
1 1 1 1 1 1 12 2 2 3 3 4 7 8
12 1 8
7
4
【答案】 7
4
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 42 56 72 90
＝
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6 年级，决赛
【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 1 1 1 1 1( )2 2 3 3 4 9 10
1 1 1( )2 2 10
1
10
【答案】 1
10
【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1
10 40 88 154 238
。
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17
1 1 1 5
3 2 17 34
【答案】 5
34
【例 5】 计算： 1 1 1 1
1 3 5 3 5 7 5 7 9 2001 2003 2005
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1
4 1 3 3 5 3 5 5 7 2001 2003 2003 2005
1 1 1 1004003
4 1 3 2003 2005 12048045
【答案】 1004003
12048045
【例 6】
7 4.5 0.16 1 1 1 118
1 3 15 35 6313 3.75 3.23
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】【解析】原式
7 9 16 1
1 1 1 118 2 90
1 1 3 3 5 5 7 7 913 3 1.25 4 0.83
7 1
1 1 1 1 1 14 6 11 2 3 3 5 7 913 123
46 3 1 8
24 4 2 9
23= 36
【答案】 23
36
【例 7】 计算： 1 1 1 1 11 2 3 4 202 6 12 20 420
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 11 2 3 20 2 6 12 20 420
1 1 1 1 1210 1 2 2 3 3 4 4 5 20 21
1 1 1 1 1 1 1210 1 2 2 3 3 4 20 21
1 20210 1 21021 21
【答案】 20210 21
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 12008 2009 2010 2011 201218 54 108 180 270
= 。
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 12008 2009 2010 2011 2012 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18
1 1 1 1 1 1 12010 5 9 1 2 2 3 5 6
510050 54
【答案】 510050 54
【巩固】【巩固】计算： 1 1 2 2 4
2 6 15 35 77
____。
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6 年级
【解析】原式 1 3 2 5 3 7 5 11 7
2 6 15 35 77
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 5 5 7 7 11
1 101 11 11
【答案】 10
11
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1
3 15 35 63 99 143 195
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： 23 2 1 1 3 ， 215 4 1 3 5 ，……，
2195 14 1 13 15 ，
所以原式 1 1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 3 5 2 13 15
1 1 1
2 1 15
7
15
【答案】 7
15
【巩固】【巩固】计算： 1 5 11 19 29 9701 9899
2 6 12 20 30 9702 9900
．
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】四中
【解析】【解析】原式 1 1 1 11 1 1 12 6 12 9900
1 1 199 1 2 2 3 99 100
1 1 1 1 199 1 2 2 3 99 100
199 1 100
198100
【答案】 198100
【例 8】 1 1 1
1 2 3 2 3 4 7 8 9
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】首先分析出
1 11 1 1 1
1 1 2 1 1 2 1 1
n n
n n n n n n n n n n
原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 3 2 3 3 4 6 7 7 8 7 8 8 9
1 1 1
2 1 2 8 9
35
144
【答案】 35
144
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1
1 2 3 2 3 4 98 99 100
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 98 99 99 100
1 1 1 1 4949 4949( )2 1 2 99 100 2 9900 19800
【答案】 4949
19800
【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1
1 3 5 2 4 6 3 5 7 20 22 24
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式＝ 1
1 3 5
＋ 1
3 5 7
＋…+ 1
19 21 23
+ 1
2 4 6
+…+ 1
20 22 24
＝ 1
4
( 1
1 3
－ 1
21 23
)＋ 1
4
( 1
2 4
－ 1
22 24
)
＝ 40
483
＋ 65
2112
＝ 28160
340032
＋ 10465
340032
＝ 38625
340032
【答案】 38625
340032
【巩固】【巩固】 4 4 4 4......1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( ) ( )1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 99
1 1
1 3 97 99
3200
9603
【答案】 3200
9603
【巩固】【巩固】 99 98 97 1
1 2 3 2 3 4 3 4 5 99 100 101
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 99
1 2 3
＝ 100 1
1 2 3
＝ 100
1 2 3
－ 1
2 3
＝ 100
1 2 3
－ 1
2 3
98
2 3 4
＝ 100 2
2 3 4
＝ 100
2 3 4
－ 2
2 3 4
＝ 100
2 3 4
－ 1
3 4
97
3 4 5
＝ 100 3
3 4 5
＝ 100
3 4 5
－ 3
3 4 5
＝ 100
3 4 5
－ 1
4 5
……
1
99 100 101
＝ 100 99
99 100 101
＝ 100
99 100 101
－ 99
99 100 101
＝ 100
99 100 101
－ 1
100 101
原式 100 100 100 100 1 1 1... ( ... )1 2 3 2 3 4 3 4 5 99 100 101 2 3 3 4 100 101
1 1 1 1 1 51100 ( ) ( ) 242 2 10100 2 101 101
【答案】 5124101
【例 9】 1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10
1 1 1
3 1 2 3 8 9 10
119
2160
【答案】 119
2160
【巩固】【巩固】 3 3 3......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 13 [ ( ... )]3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1 3 19 20 1 1139
1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840
【答案】 1139
6840
【例 10】计算： 5 7 19
1 2 3 2 3 4 8 9 10
．
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2，4，6，……这一公差为 2 的等差数
列(该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算．
原式 3 2 3 4 3 16
1 2 3 2 3 4 8 9 10
1 1 1 1 2 83 21 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 22 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10
3 1 1 1 1 1 1 1 122 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10
3 1 1 1 122 2 90 2 10
7 1 1
4 60 5
23
15
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 2 3n ，所以
2 3 2 3
1 2 1 2 1 2
n
n n n n n n n n
， 再 将 每 一 项 的
2
1 2n n
与
3
1 2n n n
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【答案】 23
15
【巩固】【巩固】计算： 5 7 17 191155 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
（ ）
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】【解析】本题的重点在于计算括号内的算式： 5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
．这个算式不同
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知 5 2 3 ， 7 3 4 ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
2 3 3 4 9 10
2 3 4 3 4 5 9 10 11
1 1 1 1 1 1
3 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11
1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11
1 1 1 1 1 1 1
3 11 2 2 10 3 11
8 1 2 8
33 2 5 33
31
55
所以原式 311155 65155
．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为 a nd ，其中 d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将 a 与 nd 分开，每一项都
变成两个分数，接下来就可以裂项了．
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
1 2 2 1 3 2 1 8 2 1 9 2
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
1 2 2 1 3 2 1 8 2 1 9 2
2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 8 9 10 8 9 10 9 10 11 9 10 11
1 1 1 1 2 2 2 2
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 3 4 4 5 9 10 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 2 3 3 4 3 4 4 5 9 10 10 11 3 4 4 5 10 11
1 1 1 1 122 2 3 10 11 3 11
1 1 2 2 3 41 31
12 220 3 11 4 220 55
，
所以原式 311155 65155
．
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
5 1 1 7 1 1 17 1 1 19 1 1
2 2 3 3 4 2 3 4 4 5 2 8 9 9 10 2 9 10 10 11
5 1 7 5 1 9 7 1 19 17 1 19 1
2 2 3 2 2 3 4 2 2 4 5 2 2 9 10 2 10 11
5 1 1 1 1 19 1
2 2 3 3 4 4 5 9 10 2 10 11
5 1 1 19 31
12 3 10 220 55
所以原式 311155 65155
．
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2 1
( 1)( 2)n
na n n n
（ 2n ，3，……，9）
如果将分子 2 1n 分成 2n 和 1，就是上面的法二；如果将分子分成 n 和 1n ，就是上面的法一．
【答案】 651
【巩固】【巩固】计算： 3 4 5 12
1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式
2 2 2 23 4 5 12
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式： 23 1 5 4 ， 24 2 6 4 ， 25 3 7 4 ……
原式
2 2 2 23 4 5 12
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
1 1 1 1
2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13
4 4 4 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14
1 1 1 1 1
2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14
1 1 1 1
12 2 12 13 24 11 12 13 14
1 77 1
8 11 12 13 14
1 1
8 2 11 14
1 1 75
8 308 616
【答案】 75
616
【例 11】 1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
2 1 3 1 4 1 10 1
2 2 3 2 3 4 2 3 4 10
1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10
1 36287991 2 3 4 9 10 3628800
【答案】 3628799
3628800
【例 12】 1 2 3 4 5 6
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1
1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7
11 5040
5039
5040
【答案】 5039
5040
【巩固】【巩固】计算： 2 3 99
3! 4! 100!
.
【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式 2 3 99
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
3 1 4 1 100 1
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 99 1 2 3 100
1 1
1 2 1 2 3 100
1 1
2 100!
【答案】 1 1
2 100!
【例 13】 2 3 4 50
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 50)
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式＝ 2
1 3
＋ 3
3 6
＋ 4
6 10
＋ 5
10 15
＋…＋ 50
1225 1275
＝（ 1
1
1
3
）＋（ 1
3
1
6
）＋（ 1
6
1
10
）＋（ 1
1225
1
1275
）＝ 1274
1275
【答案】 1274
1275
【巩固】【巩固】 2 3 4 100
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 2 1 1
1 (1 2) 1 1 2
， 3 1 1
(1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3
，……，
100 1 1
(1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100
，所以
原式 11 1 2 100
1 50491 5050 5050
【答案】 5049
5050
【巩固】【巩固】 2 3 101 1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)
（ ）
【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 2 3 4 101 ( )1 3 3 6 6 10 45 55
1 1 1 1 1 1 11 1 3 3 6 6 10 45 55
11 1 55
1
55
【答案】 1
55
【例 14】 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1
.
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： 2 2 ( ) ( )a b a b a b ，
原式 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2
1 1 1 3( )2 14 2 14
【答案】 3
14
【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 5 48 49
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 2
1 1 1 1 31 (1 ) (1 )2 2 2 2 2
， 2
1 1 1 2 41 (1 ) (1 )3 3 3 3 3
，……所以，
原式 1 3 2 4 48 50
2 2 3 3 49 49
1 50 25
2 49 49
【答案】 25
49
【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 15
1 2 2 3 3 4 7 8
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 8 7
1 2 2 3 3 4 7 8
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 7 8
2
11 8
63
64
【答案】 63
64
【巩固】【巩固】计算：
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
．
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 2 2 2 2 2
2 2 2 2 21 1 1 1 13 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
2 2 2997 2 4 4 6 1994 1996
1 1 1 1 1 1997 2 4 4 6 1994 1996
1 1997 2 1996
9979971996
【答案】 9979971996
【巩固】【巩固】计算：
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 3 5 98 100
2 1 3 1 4 1 99 1
．
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】
2 2
2
1 3 10
2 1 3
，
2 2
2
2 4 20
3 1 8
，
2 2
2
3 5 34
4 1 15
，……由于 10 423 3
， 20 428 8
， 34 4215 15
，
可见原式 2 2 2 2
4 4 4 42 2 2 22 1 3 1 4 1 99 1
1 1 1 12 98 4 1 3 2 4 3 5 98 100
1 1 1 1 1 1 1 1196 4 12 3 2 4 3 5 98 100
1 1 1196 2 1 2 99 100
199196 3 2 9900
4751198 4950
【答案】 4751198 4950
【巩固】【巩固】计算：
2 2 2 21 2 3 50
1 3 3 5 5 7 99 101
．
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
22 1 ， 24 1 ， 26 1 ，……， 2100 1 ，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，
所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了．
原式
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 4 6 100
4 2 1 4 1 6 1 100 1
2 2 2 2
1 1 1 1 11 1 1 14 2 1 4 1 6 1 100 1
1 1 1 1 1504 1 3 3 5 5 7 99 101
1 1 1 1 1 1 1 1 150 14 2 3 3 5 5 7 99 101
1 1 150 14 2 101
1 50504 101
6312101
【答案】 6312101
【例 15】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ... ( )5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 6 7 9 10 5 10 10
【答案】 3
10
【巩固】【巩固】 3 6 5 7 9 11 13
5 7 6 12 20 30 42
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
【解析】【解析】原式= 3 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 3 6 1 1 1 1 1 1...5 7 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 5 7 2 3 3 4 6 7
= 4
【答案】 4
【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19
3 4 5 7 8 20 21 24 35
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 3 2 5 7 1 1 1 1 1 1 2 1
3 4 5 7 8 4 5 3 7 3 8 5 7
1 1 1 1 1 5
【答案】 5
【巩固】【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25
3 5 7 12 20 28 30 42
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3
3 5 7 3 4 4 5 4 7 5 6 6 7
1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 1 1
3 3 6 6 5 5 5 7 7 7 4 4 4
33 4
【答案】 33 4
【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27
2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 30 31 41 3 17 7 17 4 30 3 41 4 31
1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 7 4 3 4
12 7
【答案】 12 7
【巩固】【巩固】 35 49 63 77 91 105 3 116 12 20 30 42 56 8 8
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 5 7 9 11 13 15 37 1 86 12 20 30 42 56 8
1 1 1 1 1 1 117 82 3 3 4 7 8 8
1 1 117 8 82 8 8
21 11 10
【答案】10
【巩固】【巩固】计算： 5 7 9 11 13 15 17 191 6 12 20 30 42 56 72 90
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 31 2 10 5
【答案】 3
5
【巩固】【巩固】 1 1 7 9 8 17 5
4 5 12 20 15 30 12
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
4 5 3 4 4 5 3 5 5 6 4 6
1 1 1 12 4 5 23 4 5 6
3
【答案】 3
【例 16】
2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20
1 2 2 3 18 19 19 20
【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式 1 2 3 2 3 4 19 18 19 20 2 19 19... 2 17 362 1 2 3 4 3 18 19 20 19 1 20 20
【答案】 1936 20
【巩固】【巩固】 1 1 1 1 2007 1 1 1( ...... ) ( ...... )1 2007 2 2006 2006 2 2007 1 2008 1 2006 2 2005 2006 1
【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】原式= 2008 1 1 1 2007 1 1( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1
= 2008 1 1 1 2007 1 1( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1
= 1 2008 2008 2008 1 2007 2007( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ... ) ( ... )]2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ... ) ( ... )]2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1
= 1 1 1 1( )2008 2007 2007 2015028
【答案】 1
2015028
【例 17】计算： 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 98 99 51 52 99
【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算
【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 98 3 5 99 51 52 99
1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 50 3 5 49 52 54 98
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 50 3 5 49 26 27 49
1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 24 3 5 25 26 28 48 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 24 3 5 25 13 14 24 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 12 3 5 11 14 16 24 50 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 12 3 5 11 7 8 12 50 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 6 3 5 8 10 12 50 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 6 3 5 4 5 6 50 25
1 1 491 50 25 50
【答案】 49
50
【例 18】计算： 2 4 6 12
3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 11
【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】原式 3 1 5 1 7 1 13 1
3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 11 13
1 1 1 1 1 11 3 3 5 3 5 7 9 11 3 3 5 3 5 7 9 11 13
11 3 5 7 9 11 13
135134
135135
【答案】 135134
135135
【例 19】计算：
2 8 3 4 111 2 2 2 2 2 2
1 3 3 5 5 7 17 19 1 3 5 3 5 7 17 19 21
【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算
【解析】
3 4 11 9 92 2 2 2 2 4 4 2 2
1 3 5 3 5 7 17 19 21 1 3 3 5 3 5 5 7 17 19 19 21
8 92 2 4 2 2
1 3 3 5 5 7 17 19 19 21
所以原式
8 8 91 2 2 2 2 4 2 2
1 3 3 5 17 19 1 3 3 5 5 7 17 19 19 21
92 1 512 133 379
19 21 1 3 399 399
【答案】 379
399
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