小学奥数2-2-1 一元一次方程解法综合.教师版

教学目标 1、认识了解方程及方程命名 2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解 3、运用等式性质解方程 4、会解简单的方程 知识点拨 一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有 传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了 246 个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程” 是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求 解三元一次方程组。 古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二 程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必 须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。 《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常 宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！ 二、方程的重要性 方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用 字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮 助。 三、相关名词解释 1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式 2、等式：表示相等关系的式子 3、方程：含有未知数的等式 4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元 a 次方程就是含有 n 个未知数，且含未知数项最 高次数是 a 的方程 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是 1 的方程； 如： 3 7x   ， 7 15 39q   ， 2 22 4 68m  （ ） ， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如： 4x  是方程 3 7x   的解， 3q  是方程8 15 39q   的解， 5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程 开始，也就是开始“解方程”。 6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解 四、解方程的步骤 1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为 1。 2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改 一元一次方程解法综合 变原来的符号。我们常说“移项变号”。 3、移项的目的：是为了把含有 x 的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而 求出方程的解。 4、怎样检验方程的解的正确性？ 判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。 例题精讲 模块一、简单的一元一次方程 【例 1】 解下列一元一次方程：⑴ 3 8x   ；⑵ 8 3x  ；⑶ 3 9x   ；⑷ 3 9x  ． 【考点】一元一次方程 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】⑴ 3 8x   3 3 8 3x     （根据等式基本性质 1，方程两边同时减 3） 8 3x   （移项，变号） 5x  把方程左边（或右边）的项移到方程的右边（或左边），叫做移项．移项的目的是把未知项和已 知项分别集中在等号的两边，移项的依据是等式基本性质 1．学生掌握熟练后，第一步可省略直 接移项即可．移项最重要的是“变号”，我们可以形象地把等号看作“桥”，无论是未知项还是已知 项，都要“过桥变号”，也就是“移项变号”． ⑵ 8 3x  8 3x x x    （根据等式基本性质 1，方程两边同时加 x） 8 3 x  （移项，变号） 3 8x  3 3 8 3x    （根据等式基本性质 1，方程两边同时减 3） 5x  需要注意的是把“8 3 x  ”转换成“ 3 8x  ”是把等式两边互换位置，不是移项，不需要变号． ⑶ 3 9x   3 3 9 3x     （根据等式基本性质 2，方程两边同时乘以 3） 9 3x   27x  ⑷ 3 9x  3 3 9 3x    （根据等式基本性质 2，方程两边同时除以 3） 9 3x   3x  化未知数系数为 1 时，千万不要只化未知项，漏作已知项．通常解方程时未知项在左边，已知项在 右边． 【答案】⑴ 5x  ⑵ 5x  ⑶ 27x  ⑷ 3x  【巩固】 （1）解方程： 3 8x   （2）解方程：9 6x  （3）解方程：3 9x  （4）解方程 4 2x   【考点】一元一次方程 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】（1） 3 8x   3 3 8 3x     （两边同时-3） 8 3x   5x  （2）解方程：9 6x  9 6x  9 6x x x    （两边同时 x ） 9 6 x  9 6 6 6x    （两边同时-6） 9 6 x  3 x 3x  （3）解方程：3 9x  3 9x  3 3 9 3x    （两边同时 3 ） 3x  （4）解方程 4 2x   4 2x   4 4 2 4x     （两边同时 4） 8x  【答案】⑴ 5x  ⑵ 3x  ⑶ 3x  ⑷ 8x  【例 2】 解方程： 4 3 3 8x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 4 3 3 8x x   4 3 8 3x x   5x  【答案】 5x  【巩固】 解方程：13 8 14 2x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 13 8 14 2x x   8 2 14 13x x   6 x 6x  【答案】 6x  【例 3】 解方程： 4 6 3 1x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 4 6 3 1x x   4 1 3 6x x   4 3 6 1x x   5x  【答案】 5x  【巩固】 解方程：12 4 3 2x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】12 4 3 2x x   12 2 3 4x x   14 7x 2x  【答案】 2x  【例 4】 解下列一元一次方程：⑴ 4 15 6 3x x   ；⑵ 12 3 7 18x x   ． 【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ 4 15 6 3x x   ⑵ 12 3 7 18x x   15 3 6 4x x   12 18 7 3x x   12 2x 30 10x 6x  3x  【答案】⑴ 6x  ⑵ 3x  【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 20 4 32 2x x   ；⑵ 15 3 19 4x x   ． 【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ 20 4 32 2x x   ⑵ 15 3 19 4x x   4 2 32 20x x   4 3 19 15x x   6 12x  4x  2x  【答案】⑴ 2x  ⑵ 4x  【例 5】 解方程：  6 3 18x  【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】  6 3 18x  6 3 6 18x   6 18 18x   0x  【答案】 0x  【巩固】 解方程：1 2(3 ) 7x x    【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 1 2(3 ) 7x x    1 6 2 7x x    3 0x  0x  【答案】 0x  【巩固】 解方程：    2 3 3 1x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】    2 3 3 1x x   2 2 3 3 3 1x x     2 6 3 3x x   6 3 3 2x x   3 x 3x  【答案】 3x  【巩固】 解方程 3(2 1) 4(3 )x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】去括号得 6 3 12 4x x   等式两边同时加上 4x 得， 4 6 3 12x x   等式两边同时加上 3得， 4 6 12 3x x   解得， 1.5x  【答案】 1.5x  【例 6】 解方程：  12 3 4x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】  12 3 4x x   12 3 4x x   12 4 3x x   16 4x 4x  【答案】 4x  【巩固】 解方程：  15 30 6 39x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】  15 30 6 39x x   15 30 6 39x x   15 6 39 30x x   9 9x  1x  【答案】 1x  【例 7】 解方程：  15 2 3 3x x   【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】  15 2 3 3x x    15 2 2 3 3x x    15 2 6 3x x   15 6 3 2x x   21 5x 4.8x  【答案】 4.8x  【巩固】 解方程：  2 3 26 92x x    【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】  2 3 26 92x x     2 3 3 26 92x x      2 3 78 92x x    3 92 78 2x x    4 168x  42x  【答案】 42x  【巩固】 解方程1 2(3 ) 7x x    【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】拆括号 1 6 2 7x x    移项、合并同类项 3 0x  将系数化为 1 0x  【答案】 42x  【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 6 3 24x （ ） ； ⑵ 18 3 6x x  （ ） ． 【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ 6 3 24x （ ） 18 6 24x  （根据去括号法则） 6 24 18x   6 6x  1x  去括号法则：去掉括号时，括号前面的数要和括号里面的每一项相乘，再把所得的积相加．如果括 号前面是“+”，去掉括号，括号里面的每一项都不变号；如果括号前面是“-”，去掉括号，括号里 面的每一项都要变号． ⑵ 18 3 6x x  （ ） 18 3 6x x   18 6 3x x   24 4x 6x  注意括号前面是“-”，去掉括号，括号里面的每一项都要变号．原来“  ”变“  ”，原来“  ”变“  ”． 【答案】⑴ 1x  ⑵ 6x  【例 8】 解方程：    4 1 3 1 2 3x x x     【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】    4 1 3 1 2 3x x x        4 4 1 3 3 1 2 3x x x          4 4 3 3 2 3x x x     4 4 3 3 2 3x x x     4 3 2 3 3x x x     4 3 3 2 3 4x x x     4 x 4x  【答案】 4x  【例 9】 解方程13 2(2 3) 5 ( 2)x x     【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】去括号得 13 4 6 5 2x x     等式两边同时加上 4x 得， 4 6 3 12x x   等式两边同时加上 3得， 4 6 12 3x x   解得， 4x  【答案】 4x  【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 3 2 2 1x x  （ ） ；⑵ 6 4 17x x  （ ） ． 【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ 3 2 2 1x x  （ ） ⑵ 6 4 17x x  （ ） 3 4 2 1x x   6 4 17x x   5x  7 17 4x   7 21x  3x  【答案】⑴ 5x  ⑵ 3x  【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 7 3 2 22x x  （ ） ；⑵ 5 5 10 3x x  （ ）． 【考点】一元一次方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴ 7 3 2 22x x   ⑵ 5 5 10 3x x   0 4 22 2x   3 5 10 5x x  0 4 24x  5 35x  6x  7x  【答案】⑴ 6x  ⑵ 7x  模块二、含有分数的一元一次方程 【例 10】解方程 2 2 240 ( 40) 565 5 5x x x x       【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 2 2 240 ( 40) 565 5 5x x x x       合并同类项 2 3 240 ( 40) 565 5 5x x x      去括号 2 640 16 565 25x x x     合并同类项 16 8025 x x  移项合并 9 8025 x  2000 9x  【答案】 2000 9x  【例 11】解下列一元一次方程：⑴ 3 16 7 2 7 3 2 1x x x      （ ） （ ） ；⑵ 5 34 2 3 9 6 8x x x     （ ） （ ） 【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴ 3 16 7 2 7 3 2 1x x x      （ ） （ ） 3 3 16 7 2 7 21 2 1x x x    （ ） （ ） （ ）（方程两边同乘以 21） 9 14 48 49 42 21 23 97 42 21 76 19 4 x x x x x x x           ⑵ 5 34 2 3 9 6 8x x x     （ ） （ ） 4 5 34 24 9 6x x x   （ ） （方程两边同乘以 8） 20 136 9 6 24x x x    （不够减，先移到右边） 130 13x 10x  【答案】⑴ 4x  ⑵ 10x  【例 12】解方程： 2 1 314 8 y y   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 2 1 314 8 y y   去分母    2 2 1 8 3y y    去括号 4 2 8 3y y    移项合并同类项 3 7y  7 3y  【答案】 7 3y  【巩固】 解方程 100 1002 550 60 x x    【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】去分母    6 100 600 5 100 1500x x     去括号 6 600 600 5 500 1500x x     移项合并同类项 2200x  【答案】 2200x  【巩固】 解方程 2 4 7 6 2 3 x x  【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方程两边同时乘以[2,3] 6 ，得 3(2 4) 2(7 6)x x   去括号得， 6 12 14 12x x   等式两边同时减去 6x 得 12 14 6 12x x   等式两边同时加上12 得 12 12 14 6x x   解得 3x  【答案】 3x  【例 13】解方程 0.3 0.6 0.03 0.02 10.1 0.02 x x   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 0.3 0.6 0.03 0.02 10.1 0.02 x x   3 6 1.5 1 1x x    1.5 6x  4x  【答案】 4x  【例 14】解方程 1 3 7 5 x x   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 1 3 7 5 x x   交叉相乘 5(1 ) 3(7 )x x   去括号 5 5 21 3x x   移项合并同类项 2 16x  8x  【答案】 8x  【例 15】解方程 (3 2) :(2 3) 4:7x x   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据比例性质得， 7(3 2) 4(2 3)x x   去括号得， 21 14 8 12x x   等式两边同时减去8x 得， 21 14 8 12x x   等式两边同时加14 得， 21 8 12 14x x   解得 2x  由 3: 4 6:8 ，可以得到 3 8 4 6   因此由 : :a b c d 可以得到 ad bc 【答案】 2x  【巩固】 解方程: (3 0.5) :(4 3) 4:9x x   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 9(3 0.5) 4(4 3)x x   27 4.5 16 12x x   11 16.5x  1.5x  【答案】 1.5x  【例 16】解方程 3 2 12 7 5x   【考点】一元一次方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 3 2 12 7 5x   移项合并同类项 3 3 2 7 5x  交叉相乘 3(2 7) 15x   去括号 6 21 15x   6 36x  6x  【答案】 6x 