等差数列的认识与公式运用
教学目标
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表
示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
知识点拨
一、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差
数列．
譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列
100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用 1a 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用 na 表示，它也可表示数列的第 n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用 n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用 d 来表示；
和 ：一个数列的前 n 项的和，常用 nS 来表示 ．
二、等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项 首项 (项数 1 ) 公差， 1 1na a n d （ ）
递减数列：末项 首项 (项数 1 ) 公差， 1 1na a n d （ ）
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其
实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
有用的公式： n ma a n m d （ ） ， n m（ ）
② 项数公式：项数 (末项 首项) 公差+1
由通项公式可以得到： 1 1nn a a d （ ） (若 1na a )； 1 1nn a a d （ ） (若 1 na a )．
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ，
分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是 3 ，
那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有 48 4 1 45
项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法．
③ 求和公式：和=(首项 末项) 项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路 1) 1 2 3 98 99 100
1 100 2 99 3 98 50 51
共50个101
（ ）（ ）（ ） （ ） 101 50 5050
(思路 2)这道题目，还可以这样理解：
2 3 4 98 99 100
100 99 98 97 3 2 1
2 101 101 101 101 101 101 101
和 = 1
+ 和
倍和
即 ， 和
(100 1) 100 2 101 50 5050
(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：① 4 8 12 32 36 4 36 9 2 20 9 1800 （ ） ，
题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于 20 9 ；
② 65 63 61 5 3 1 1 65 33 2 33 33 1089 （ ） ，
题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 33 33 ．
例题精讲
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】①是，公差 d=4.
②不是，因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项.
③不是，因为 4-2≠2-1.
④是，公差 d=l.
⑤是，公差 d=0.
⑥不是，因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项。
【答案】①是，公差 d=4.
②不是，因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项.
③不是，因为 4-2≠2-1.
④是，公差 d=l.
⑤是，公差 d=0.
⑥不是，因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项。
【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？
（1）3、4、5、6、……、76、77、78
（2）2、4、6、8、……、96、98、100
（3）1、3、5、7、……、87、89、91
（4）4、7、10、13、……、40、43、46
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】⑴ 连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10…… ，对应的是这个数列的第 1、2、3、4、5、
6、7、8、…… ，发现它的项数比对应数字小 2，所以 78 是第 76 项，那么这个数列就有 76
项．对于连续的自然数列，它们的项数是：末项－首项 +1．
⑵ 如果添上此数列所缺的一些奇数，就变成了 1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、
98、99、100，可知这个数列是 100 项．让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、
8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），奇数在每一组的第 1 位，偶数在第 2 位，而
且每组里偶数比奇数大，同学们一看就知道，共有100 2 50 组，每组把偶数找出来，那么
原数列就有 50 项了．这样的方法我们称为“添数配组法”．
⑶ 利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、
92），1～92 有 92 项，每组 2 项，那么可以得到 92 2 46 组，所以原数列有 46 项．
⑷ 利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、
47、48），注意每两项的差是 3 ，那么每组有 3 个数，数列中的数都在每组的第 1 位，所以
46 应在最后一组第 1 位，4 到 48 有 48 4 1 45 项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原
数列有 15 项．当然，我们还可以有其他的配组方法．
【答案】⑴ 76 ⑵ 50 ⑶ 46 ⑷15
【巩固】【巩固】1，3，5，7，……是从 1 开始的奇数，其中第 2005 个奇数是________。
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 4 题，6 分
【解析】2×2005-1=4009
【答案】 4009
【例 3】 3 12 、6 10 、12 8 、24 6 、48 4 、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式
的计算结果是 。
【考点】等差数列的基本认识 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 3 题，6 分
【解析】规律是，第一个加数是公比为 2 的等比数列，第二个加数是差为 2 的等差数列，所以第六个式子
是 96+2=98
【答案】 98
【例 4】 把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项数为 21.则 101+（21-1）×2=141
【答案】141
【巩固】【巩固】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62
【答案】 62
【例 5】 已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多
少？
【考点】等差数列的基本认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191
【答案】191
【巩固】【巩固】一个数列共有 13 项，每一项都比它的前一项多 7，并且末项为 125，求首项是多少？
【考点】等差数列的基本认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】把数列列出来：125,118,111,104,97,90,83,76,69,62,55,48,41
【答案】 41
【巩固】【巩固】在下面12 个方框中各填入一个数，使这12 个数从左到右构成等差数列，其中10 、16 已经填好，
这12 个数的和为 。
16 10
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，3 年级
【解析】【解析】由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10 和16 知：公差为 2 ，那么第一个
方格填 26 ，最后一个方格是 4 ，由等差数列求和公式知和为： (4 26) 12 2 180 。
【答案】180
【例 6】 从 1 开始的奇数：1，3，5，7，……其中第 100 个奇数是_____。
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】略
【答案】199
【例 7】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91 排列的规律，推知 a =________ 。
【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19+18=37，37+18=55，所以 a=55+18=73
【答案】 73
等差数列公式的简单运用
【例 8】 2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是 320，求它们中最小
的一个．
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数
的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为 320 5 64 ，因相邻偶数相差 2，故这五个
偶数依次是 60、62、64、66、68，其中最小的是 60．
方法二：5 个连续偶数求和，我们不妨可以把这 5 个数用字母表示记作： 4x 、 2x 、x 、 2x 、
4x ．那么这 5 个数的和是 5 320x ， 64x ，进而可得这五个偶数依次是 60、62、64、
66、68，其中最小的是 60．请教师引导学生体会把中间数表示为 x 的便利，如果我们把
最大或最小的数看成 x ，那么会怎样呢？
【答案】 60
【巩固】【巩固】1、3、5、7、9、11、 是个奇数列，如果其中 8 个连续奇数的和是 256，那么这 8 个奇数中最
大的数是多少？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为 y ，那么这 8 个数为： 6y ， 4y ， 2y ，y ， 2y ， 4y ，
6y ， 8y ，根据题意可得： 8 8 256y ，所以 31y ，最大的奇数是 8 39y ．
【答案】 39
【巩固】【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列中，有 6 个连续数字的和是 159，那么这 6 个数中最小的是几？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】设这个数为： 6x ， 3x ， x ， 3x ， 6x ， 9x ，它们的和是 6 9 159x ，所以 25x ，那
么最小数为 19．
【答案】19
【例 9】 在等差数列 6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是 1994．
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】每个数比前一个数大 7，根据求通项 1 ( 1)na a n d 的公式得 1( ) 1nn a a d ，列式得：
(1994 6) 7 284
284 1 285
即第 285 个数是 1994．
【答案】 285
【巩固】【巩固】5、8、11、14、17、20、 ，这个数列有多少项？它的第 201 项是多少？65 是其中的第几项？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第 n 项 首项 公差 1n （ ），所以，第 201 项
5 3 201 1 605 （ ） ，对于数列 5，8，11， ，65，一共有： 65 5 3 1 21n （ ） ，即 65 是
第 21 项．
【答案】无限多项；第 201项是 605 ； 65 是第 21 项
【巩固】【巩固】对于数列 4、7、10、13、16、19……，第 10 项是多少？49 是这个数列的第几项？第 100 项与第
50 项的差是多少？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】可以观察出这个数列是公差为 3 的等差数列．根据刚刚学过的公式：
第 n 项 首项 公差 1n （ ），项数 (末项 首项) 公差 1 ，第 n 项 第 m 项 公差 n m （ ）
第 10 项为： 4 3 10 1 4 27 31 （ ） ，49 在数列中的项数为： 49 4 3 1 16 （ ）
第 100 项与第 50 项的差： 3 100 50 150 （ ） ．
【答案】第10 项是 31； 49 是第16 项；第100 项与第 50 项的差事150
【巩固】【巩固】已知数列 0、4、8、12、16、20、…… ，它的第 43 项是多少？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】第 43 项 0 4 43 1 168 （ ） ．
【答案】168
【巩固】【巩固】聪明的小朋友们， PK 一下吧．
⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第 102 项是多少？
⑵0、4、8、12、16、20、…… ，它的第 43 项是多少？
⑶已知等差数列 2、5、8、11、14 …… ，问 47 是其中第几项？
⑷已知等差数列 9、13、17、21、25、 …… ，问 93 是其中第几项？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】⑴它是一个无限数列，所以项数有无限多项．
第 n 项 首项 公差 1n （ ），所以，第 102 项 3 2 102 1 205 （ ） ；
⑵第 43 项 0 4 (43 1) 168 ．
⑶首项 2 ，公差 3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 … 、47 ，那么这个数列有：
47 2 3 1 16n （ ） ，(熟练后，此步可省略)，即 47 是第 16 项 ．其实求项数公式，也就是
求第几项的公式．
⑷ 93 9 4 1 22n （ ） ．
【答案】⑴无限多项； 205 ⑵168 ⑶16 ⑷ 22
【例 10】⑴如果一个等差数列的第 4 项为 21，第 6 项为 33，求它的第 8 项.
⑵如果一个等差数列的第 3 项为 16，第 11 项为 72，求它的第 6 项.
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】⑴要求第 8 项，必须知道首项和公差．第 6 项 第 4 项 6 4 （ ） 公差 ，所以 ，
公差 6 ；第 4 项 首项 3 公差 ， 21 首项 3 6 ，所以，首项 3 ；
第 8 项 首项 7 公差 45 ．
⑵公差 7 ，首项 2 ，第 6 项 37 ．
【答案】⑴ 45 ⑵ 37
【巩固】【巩固】已知一个等差数列第 8 项等于 50，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是多少？
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】71-50=21。21÷（15-8）=3（公差）。50=首项+（8-1）×3。所以首项=29
【答案】 29
【巩固】【巩固】如果一等差数列的第 4 项为 21，第 10 项为 57，求它的第 16 项．
【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】要求第 16 项，必须知道首项和公差．第 10 项－第 4 项 10 4 （ ） 公差，所以，公差 6 ；
第 4 项 首项 3 公差 ，21 首项 3 6 ，所以，首项 3 ；第 16 项 首项 15 公差 93 ．
【答案】 93
等差数列的求和
【例 11】一个等差数列 2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？
【考点】等差数列的求和 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】根据中项定理，这个数列一共有 7 项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8 7 56 ．
【答案】 56
【巩固】【巩固】有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3．这 20 个数相加，和是多少？
【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】末项是： 9 20 1 3 66 （ ） ，和是： 9 66 20 2 750 （ ）
【答案】 750
【巩固】【巩固】求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和．
【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】末项是：13 5 30 1 158 （ ） ，和是： 13 158) 30 2 2565 （
【答案】 2565
【例 12】15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？
【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】由中项定理，中间的数即第 8 个数为：1995 15 133 ，所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是：
133 2 15 8 147 （ ）
【答案】147
【巩固】【巩固】把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么，
第 1 个数与第 6 个数分别是多少？
【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】由题可知：由 210 拆成的 7 个数一定构成等差数列，则中间一个数为 210 7 30 ，所以，这 7
个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40.
【答案】 40
【例 13】小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数的和时，他少算了其中的
一个数，但他仍按 2006 个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎求和时漏掉
的数是 。
【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】少的这个数应该给每一个数都补上 1，才能使结果正确，共要补上 2006，因此这个漏掉的数是
2006。
【答案】 2006
模块二、等差数列的运用（提高篇）
【例 14】已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7， ，问 2009 是这个数列的第多少项？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，
奇数项的排列规律是：2、4、6、8，
方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于 2009 是奇
数，所以在偶数项数列中，它的项数是： 2009 1 2 1005 （ ） ，所以在整个数列中，2009 的项数
是1005 2 2010 ，所以 2009 是这个数列的第 2010 项．
方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数 1 ，偶数的项数是该数 2 ，所以
2009 是这个数列的第 2009 1 2010 项．
【答案】 2010
【巩固】【巩固】已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、 ，问:这个数列中第 2000 个数是多少？第 2003 个数是
多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8，
偶数项的排列规律是：3、6、9、12，
可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第 2000
个数在偶数项等差数列中是第 2000 2 1000 个数，第 2003 个数在奇数项等差数列中是第
2003 1 2 1002 （ ） 个 数 ， 所 以 第 2000 个 数 是 3 1000 1 3 3000 （ ） ， 第 2003 个 数 是
2 1002 1 2 2004 （ ） ．
【答案】 2004
【例 15】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、 ，试问：
⑴ 15 是这样的数列中的第几个到第几个数？
⑵ 这个数列中第 100 个数是几？
⑶ 这个数列前 100 个数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】分析可得下表： 数 ：1 2 3 4 5 6 7 14 15 16
个数：2 4 6 8 10 12 14 28 30 32
⑴ 2 4 6 28 210 ，所以 15 是第 211 个到 240 个
⑵ 在这个数列中前 9 组的个数是： 2 4 6 18 90 (个)
这个数列前 10 组的个数是： 2 4 6 20 110 (个)
而 90 100 110 ，所以第 100 个数是第 10 组中的数，是 10
⑶这个数列中前 100 个数的和是：1 2 2 4 3 6 9 18 10 10 670
【答案】⑴第 211 个到 240 个 ⑵10 ⑶ 670
【例 16】有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37， ，问这列数第 1001 个数是多少?
【考点】等差数列的公式运用 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】从题目中可以看出第二个数与第一个数差 1，第三个数与第二个数相差 2，第四个数与第三个数
相差 3， ，依此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加 1，因此有以下规律：
第 1 个数：1 1 ，
第 2 个数： 2 1 1 ，
第 3 个数： 4 2 2 1 1 2 ，
第 4 个数： 7 3 4 1 1 2 3 ，
第 5 个数：11 4 7 4 1 1 2 3 1 1 2 3 4 ，
第 6 个数：16 5 11 5 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 ，
第 n 个数：1 1 2 3 4 5 ( 1)n ．
第 1001 个数为：1 1 2 3 4 5 (1001 1) 1 1 2 3 4 5 1000
1 500500 5005001
【答案】 5005001
【例 17】已知等差数列 15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】公差=19-15=4
项数=（443-15）÷4+1=108
倒数第二项=443-4=439
奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为 8，和为（15+439）×54÷2=12258
偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为 8，和为（19+443）×54÷2=12474
差为 12474-12258=216
【答案】 216
【巩固】【巩固】求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】解法 1：可以看出，2，4，6，…，2000 是一个公差为 2 的等差数列，1，3，5，…，1999 也是一
个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000
解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000 项就差了 1000
个 1，即原式=1000×1=1000
【答案】1000
【例 18】100 个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个…第 99 个，
再把剩下的 50 个数相加，得多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】 (方法一)要求和，我们可以先把这 50 个数算出来.100 个连续自然数构成等差数列，且和为 8450，
根据等差数列的和 （首项 末项 ) 项数 2 ，则：首项 末项 8450 2 100 169 ，又因为末项
比首项大 99，所以，首项 169 99 2 35 （ ） .因此，剩下的 50 个数为：36，38，40，42，44，
46…134.这些数构成等差数列，和为 36 134 50 2 4250 （ ） .
（方法二)我们考虑这 100 个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且
剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1，因此，剩下的数的总和比取走的数
的总和大 50，又因为它们相加的和为 8450.所以，剩下的数的总和为 8450 50 2 4250 （ ） .
【答案】 4250
【巩固】【巩固】 有 20 个数，第 1 个数是 9，以后每个数都比前一个数大 3．这 20 个数相加，和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】末项是： 9 20 1 3 66 （ ） ，和是： 9 66 20 2 750 （ ）
【答案】 750
【例 19】把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】平均数：248÷8=31，第 4 个数：31-1=30。第 1 个数：30-6=24，末项：24+（8-1）×2=38。即：
最大的数为 38。
【答案】 38
【巩固】【巩固】把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么，
第 1 个数与第 6 个数分别是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】由题可知：由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列，则中间一个数为 210÷7=30，所以，这 7 个数
分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40。
【答案】 40
【例 20】在1~100 这一百个自然数中，所有能被 9 整除的数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】每 9 个连续数中必有一个数是 9 的倍数，在1~100 中，我们很容易知道能被 9 整除的最小的数是
9 9 1 ，最大的数是 99 9 11 ，这些数构成公差为 9 的等差数列，这个数列一共有：11 1 1 11
项，所以，所求数的和是： 9 18 27 99 9 99 11 2 594 （ ） ．
也可以从找规律角度分析．
【答案】 594
【巩固】【巩固】在1~100 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】先计算1~100 的自然数和，再减去能被 9 整除的自然数和，就是所有不能被 9 整除的自然数和
了．1 2 100 1 100 100 2 5050 （ ） ，9 18 27 99 9 99 11 2 594 （ ） ，所有不
能被 9 整除的自然数和： 5050 594 4456 ．如果直接计算不能被 9 整除的自然数和，是很麻烦
的，所以先计算所有1~100 的自然数和，再排除掉能被 9 整除的自然数和，这样计算过程变得简
便多了．
【答案】 4456
【巩固】【巩固】在1~ 200 这二百个自然数中，所有能被 4 整除或能被 11 整除的数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】先求出能被 4 整除的自然数和，再求出能被 11 整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的
不是题目需要的和，因为 44，88 等数在两个数列中都存在，也就是说能被 44 整除的数列被计算
了两次，所以我们还应该减去能被 44 整除的数列和．
4 8 12 200 11 22 33 198 44 88 132 176 （ ）（ ）（ ）
4 200 50 2 11 198 18 2 44 176 4 2 6541 （ ） （ ） （ ） ．
【答案】 6541
【巩固】【巩固】在 11～45 这 35 个数中，所有不被 3 整除的数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】先求被 3 整除的数的和；11～45 中能被 3 整除的数有 12，15，…，45，和为：
12 15 42 45 12 45 12 2 342 （ ） ；于是，满足要求的数的和为：
11 45 342 980 342 638 （ ） ．
【答案】 638
【例 21】求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和．
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】100 以内除以 3 余 2 的数为 2、5、8、11、 、98 公差为 3 的等差数列，首先求出一共有多少项，
98 2 3 1 33 （ ） ，再利用公式求和 2 98 33 2 1650 （ ） ．
【答案】1650
【巩固】【巩固】从 401 到 1000 的所有整数中，被 8 除余数为 1 的数有_____个？
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】因为被 8 除余数为 1 的整数组成公差是 8 的等差数列，最小的是 401，最大的是 993，
于是项数 993 401 8 1 75 （ ） ．
【答案】 75
【例 22】从正整数 1～N 中去掉一个数，剩下的(N 一 1)个数的平均值是 15.9，去掉的数是_____。
【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，5 年级，决赛
【解析】【解析】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是 15．9”，所以(N-1)是 10 的倍数，且 N 在 15．9×2 31．8 左右，
推知 N=31.去掉的数是
(1+2+3+…+31)-15.9×30 496-477 19。
【答案】19
等差数列找规律
找规律计算
【例 23】1 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿；
2 只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿；
……
只青蛙 张嘴，32 只眼睛 条腿。
【考点】找规律计算 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】【解析】32÷(2÷1)=16；32÷(2÷1)=16；32×（4÷2）=64.
【答案】16 ；16 ； 64
【例 24】如图 2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当 N=5 时，按这种方式摆下去，
当 N=5 时，共需要火柴棍 根。
【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】找规律 3，3+6，3+6+9…,N=5 时，需要火柴棍 3+6+9+12+15=45
【答案】 45
【例 25】观察下面的序号和等式，填括号．
序号 等式
1 1 2 3 6
3 3 5 7 15
5 5 8 11 24
7 7 11 15 33
（ ） 7983 （ ）（ ） （ ）
【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯
【解析】【解析】可以这样想：
⑴ 表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)
⑵ 表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，
即各自的项数．
第一个括号： 7983 3 4 1 1996 （ ） ，1 1996 1 2 3991 （ ） ；
第二个括号：1 1996 1 2 3991 （ ） ；
第三个括号：根据等差数列通项公式： 2 1996 1 3 5987 （ ） 或 3991 1996 5987 ；
第四个括号：根据等差数列通项公式： 6 1996 1 9 17961 （ ） 或 5987 3 17961
【答案】 3991； 3991 ； 5987 ；17961
【巩固】【巩固】有许多等式:
2 4 6 1 3 5 3 ；
8 10 12 14 7 9 11 13 4 ；
16 18 20 22 24 15 17 19 21 23 5 ；
那么第 10 个等式的和是_______
【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】前九个等式左边的数共有 3 4 11 3 11 9 2 63 （ ） （个）数，那么第十个等式左边第一
个数是 63 1 2 128 （ ） ，所以第十个等式的和是128 130 150 128 150 12 2 1668 （ ） ．
【答案】1668
【巩固】【巩固】观察下列算式：
2＋4＝6＝2×3，
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。
【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100 以内的偶数有 50 个，所以 2＋4＋6＋……＋
100＝50×51＝2550
【答案】 2550
【例 26】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有 6 个小圈，第 2 个图形中有 10
个小圈，第 3 个图形中有 16 个小圈，第 4 个图形中有 24 个小圈，…，依此规律，第 6 个图形
有___________个小圈。
【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】除周围 4 个小圆外，中间小圆的规律是 1×2，2×3，3×4，……，
第 6 个图有 6×7＋4＝46 个小圆。
【答案】 46
【例 27】观察下列四个算式：20
1 =20，20
2 =10，10
4 =5
2
，
5
2
8
= 5
16
。从中找出规律，写出第五个算
式： 。
【考点】找规律计算 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】发现规律，第 5 个算式为 5
16 ÷16= 5
256
。
【答案】 5
256
规律计数
【例 28】从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，去两数相加，使其和大于 50．有多少种不同的取法？
【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】设满足条件的两数为 a 、b ，且 a b＜ ，则有
若 1a ，则 50b ，共 1 种．
若 2a ，则 49b ，50，共 2 种．
若 25a ，则 26b ，27， 50，共 25 种．
若 26a ，则 27b ，28， 50，共 24 种．（ 26a ， 25b 的情况与 25a ， 26b 的情况相同，
舍去）
若 27a ，则 28b ，29， 50，共 23 种．
若 49a ，则 50b ，共 1 种．
所以，所有不同的取法种数为
1 2 3 25 24 23 22 1 2 1 2 3 24 25 625 （ ）
【答案】 625
【巩固】【巩固】从 1 到 100 的 100 个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过 100．有几种不同
的取法？
【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】1 至 100 的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过 100 的和共有 101～199 共 99 种取法．
和是 199 的取法：100+99 ．
和是 198 的取法：100 98 ．
和是 197 的取法：100 97 ， 99 98 ．
和是 196 的取法：100 96 ， 99 97 ．
和是 195 的取法：100 95 ， 99 96 ， 98 97 ．
和是 194 的取法：100 94 ， 99 95 ， 98 96 ．
……
以此规律作进一步推想：和为 193 的取法有 4 种，和为 192 的取法也有 4 种；和为 191 的取法有
5 种，和为 190 的取法也有 5 种；……，和为 103 的取法有 49 种，和为 102 的取法也是 49 种；
和为 101 的取法有 50 种．
和超过 100 的取法种数总和是：1 1 2 2 3 3 49 49 50 1 2 3 49 2 50 （ ）
1 49 49 2 2 50 50 49 50 50 50 2500 （ ） (种)
【答案】 2500
【例 29】有多少组正整数 a 、 b 、 c 满足 2009a b c ．
【考点】找规律计算 【难度】5 星 【题型】填空
【解析】【解析】若 2007a ，则 2b c ，有 1
1
b
c
，1 组．
若 2006a ，则 3b c ，有 1
2
b
c
或 2
1
b
c
，2 组．
若 2005a ，则 4b c ，有 1
3
b
c
2
2
b
c
3
1
b
c
，3 组．
若 2a ，则 2007b c ，2006 组．
若 1a ，则 2008b c ，2007 组．
显然，a 不能等于 2007，2008．
所以，有1 2 3 2007 1 2007 2007 2 2015028 （ ） ．
【答案】 2015028
数阵中的等差数列
【例 30】如下图所示的表中有 55 个数，那么它们的和等于多少？
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63
4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比
较慢，这里不写具体过程）
方法二：先算出 1 到 65 的自然数和，再减去数列 6，12，18， ，60 的和：
1 65 65 2 6 60 10 2 2145 330 1815 （ ） （ ）
方法三：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和 中间项 项数．
⑴ 第 6 列作为中间项，求和再乘以项数： 31 32 33 34 35 11 1815 （ ）
⑵ 第 3 行为中间数列，求和再乘以项数：
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 5 1815 （ ）
方法四：因为数表中数关于中心对称，所以，和 中间数 个数 1 65 2 55 33 55 1815 （ ） ．
【答案】1815
【巩固】【巩固】下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？
11 12 13 19 20
12 13 14 20 21
13 14 15 21 22
20 21 22 28 29
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比
较慢，这里不再写具体过程）
方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和 中间项 项数．
先看行，因为是偶数行没有中间项，首项 11 12 20 11 20 10 2 155 （ ） ，末
项 20 21 29 20 29 10 2 245 （ ） 或者 155 10 1 10 245 （ ） ．这 100 个数
之和 155 245 10 2 2000 （ ） ．按列算同上．
方法三：从右上到左下的对角线上的数都是 20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是 40，
所以这 100 个数的平均数是 20，这 100 个数之和 20 100 2000 ．
【答案】 2000
【巩固】【巩固】下面方阵中所有数的和是多少？
1901 1902 1903 1904 1950
1902 1903 1904 1905 1951
1903 1904 1905 1906 1952
1948 1949 1950 1951 1997
1949 1950 1951 1952 1998
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，通过观察，每一列的相邻两个数都相差 1，
由于每一行都有 50 个数字，所以每行的和构成公差为 50 的等差数列．
第一行的和我们可以求出，为： 1901 1950 50 2 96275 （ ）
一共有 1949 1901 1 （ ）行，每行的和构成首项为 96275，公差为 50，项数为 49 的等差数列，那
么最后一行的和为： 96275 50 49 1 98675 （ ） ，所以，方阵中所有数的总和为
96275 98675 49 2 4776275 （ ） ．
【答案】 4776275
【例 31】把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 1 列为 1；第 2 列为 2，3，4；第 3 列为 5，6，7，
8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以 1 开头的行”是这个三角阵的对称轴，
如图．则在以1开头的行中，第 2008 个数是多少．
5
2 6
1 3 7
4 8
9
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】方法一：2008 行第一个数字为 2007 1 1 2006 2 2 1 4028050 （ ）
2008 行最后一个数字为 2008 1 1 2007 2 2 4032064 （ ）
所以，2008 行中间的数字为 4028050 4032064 2 4030057 （ ） ．
方法二：观察以 1 开头的行的数列：1，3，7，13 得出规律，后一个数比前一个数多 2，4，6
所以，第 2008 个数为1 2 4 6 2007 2 1 2 2007 2 2007 2 4030057 （ ） ．
【答案】 4030057
【巩固】【巩固】将自然数按下图的方式排列，求第 10 行的第一个数字是几？
1 3 6 10 15 21
2 5 9 14 20
4 8 13 19
7 12 18
11 17
16
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】将图中数字按顺时针方向转 45 ，成为下图的样子：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
那么在第 10 行的第 1 个数之前共有 9 行数，计算出这 9 行共有多少数字，就可以知道第 10 行的
第一个数是多少．前 9 行共有数字1 2 3 9 1 9 9 2 45 （ ） （个），所以第 10 行的第 1
数是 46．
【答案】 46
【巩固】【巩固】自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47 49
... ... ... ...
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】从两个方面考虑：
⑴ 先看组成这张表的数：1，3，5，7，9， ．这是一个公差为 2 的等差数列．第 60 行第 5 个
数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第 60 行第 5 个数是数列中的第几项即可求解．而
这个项数就是排列第 60 行第 5 个数时所用去数的个数．
⑵ 从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7， ．第 60 行第 5 个数也就是
排完 59 行后又排 5 个数．59 行所排数的个数就是 1，3，5，7， ，中的第 59 项．
所以，第 59 行所用数的个数为：
1 2 59 1 117 （ ） (个)，
从第一行排到第 59 行所用数的总个数为：
1 117 59 2 3481 （ ） (个)，
到第 60 行第 5 数共用去数的个数为：
3481 5 3486 (个)，
第 60 行第 5 个数是数列 1，3，5，7， 中第 3486 项，为：
1 2 3486 1 6971 （ ）
【答案】1671
【例 32】把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197 排在第几行的第几个数？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】197 是奇数中的第 99 个数.
数表中，第 1 行有 1 个数.第 2 行有 3 个数.第 3 行有 5 个数…第几行有 2×行数-l 个数
因此，前 n 行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×行数-1）=［1+（2×行数-1）〕×行数÷2=行数×行数
因为 9×9＜99＜10×10.所以，第 99 个数位于数表的第 10 行的倒数第 2 个数，即第 18 个数，即 197
位于第 10 行第 18 个数。
【答案】第 10 行第 18 个数
【巩固】【巩固】将自然数按下面的形式排列
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
问：第 10 行最左边的数是几？第 10 行所有数的和是多少？
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】第 10 行最左边的数是 82，最右边的数是 100，第 10 行所有数的和 82 100 19 2 1729 （ ） ．
【答案】1729
【例 33】将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2 在第1个拐角处， 3在第 2 个
拐 角 处 ， 5 在 第 3 个 拐 角 处 ， 7 在 第 4 个 拐 角 处 ， …… ． 那 么 在 第 100 个 拐 角 处 的 数
是 ．
22
20
21
19
18
17
16
14
15
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【考点】数阵中的等差数列 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】我们可列表观察拐角处的数有什么特征
第 0 个拐角：1
第1个拐角： 2 1 1
第 2 个拐角： 3 2 1 1 1 1
第 3个拐角： 5 3 2 1 1 1 2
第 4 个拐角： 7 5 2 1 1 1 2 2
第 5 个拐角：10 7 3 1 1 1 2 2 3
第 6 个拐角：13 10 3 1 1 1 2 2 3 3
第 7 个拐角：17 13 4 1 1 1 2 2 3 3 4
第8个拐角： 21 17 4 1 1 1 2 2 3 3 4 4
……
由此可知，第 n 个拐角处的数等于
⑴ 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2
n n n （ n 为奇数时）
⑵1 1 1 2 2 2 2
n n （ n 为偶数时）
所以第 100 个拐角处的数为 1 1 1 2 2 50 50 1 2 1 2 3 50 2551 .
【答案】 2551
【巩固】【巩固】一列自然数： 0 ，1， 2 ， 3，……， 2024 ，第一个数是 0 ，从第二个数开始，每一个都比它前
一个大1，最后一个是 2024 ．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则 2005
在数表中位于第________行第________列。
【考点】数阵中的等差数列 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】观 察 可 知 第 n 行 的 第 1 个 数 是 21n ， 第 n 列 的 第 1 个 数 是 2 1n ． 由 于
2 244 1936 2005 2025 45 ， 所 以 第 45 行 的 第 1 个 数 是 1936 ， 第 45 列 的 第 1 个 数 是
2025 1 2024 ．由于 2024 2005 1 20 ，所以 2005 在第 20 行第 45 列．
【答案】第 20 行第 45 列
【例 34】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的
第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如 A 格应填的数是10 13 130 ，求表中除第一行
和第一列外其它各个格上的数之和？
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】第二行上除去第一列的数的和为 8 9 11 13 15 3 19
第三行上除去第一列的数的和为 12 9 11 13 15 3 19 ，
……
最后一行除去第一列后所有数的和为 16 9 11 13 15 3 19 ．
将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为：
8 12 14 10 16 9 11 13 15 3 19 4200 ．
【答案】 4200
【例 35】如图的数阵是由 77 个偶数排成的，其中 20 ， 22 ，24 ，36 ，38 ， 40 这六个数由一个平行四边
形围住，它们的和是180 ．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另
外六个数，如果这六个数的和是 660 ．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数
是 ？
142
144
146
148
150
152
154
…
…
…
…
…
…
…
30
32
34
36
38
40
42
28
26
24
22
20
18
16
8
14
12
10
6
4
2
【考点】数阵中的等差数列 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的 6 个数与原来的 6 个数相比，每个数都增加
了同样的大小．由于六个数一共增加了 660 180 480 ，所以每个数增加了 480 6 80 ，那么第
一个数就变为 20 80 100 。
【答案】100
【例 36】若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减
小数），如对于 a，差为 7-5=2，所有差的总和为 。
【考点】数阵中的等差数列 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为 0，和为 0
第二行第一个圈为 1，第二个圈为 0，和为 1
第三行第一个圈为 2，第二个圈为 1，第三个圈为 0 和为1 2 3
第四行第一个圈为 3，第二个圈为 2，第三个圈为 1，第四个圈为 0，和为1+2+3=6
……
所以这些差有 7 个 1，6 个 2，5 个 3，4 个 4，3 个 5，2 个 6，1 个 7
和为 7 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 7
=7+12+15+16+15+12+7
=84
【答案】84
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