公式法计算
知识点拨
一、常用公式
1. ( 1)1 2 3 2
n nn ；
2. 2 2 2 2 ( 1) (2 1)1 2 3 6
n n nn ；
3.
2 2
23 3 3 3 ( 1)1 2 3 1 2 3 4
n nn n ；
4. 21 3 5 7 2 1 1 2 3 1 1 3 2 1n n n n n ；
5. 等比数列求和公式： 0 1 1 1
1 1 1
( 1)
1
n
n
n
a qS a q a q a q q
( 1q )；
6. 平方差公式： 2 2a b a b a b ；
7. 完全平方公式： 2 2 22a b a ab b ， 2 2 22a b a ab b ；
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，
两条公式也可以合写在一起： 2 2 22a b a ab b ．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾
平方， 2 倍乘积在中央”．
二、常用技巧
1. 1001abcabc abc ；
2. 10101ababab ab ；
3.
· ·1 0.1428577
，
· ·2 0.2857147
，
· ·3 0.4285717
，
· ·4 0.5714287
，
· ·5 0.7142857
，
· ·6 0.8571427
；
4.
1 1
111 1 111 1 123 321
n n
n
个 个
，其中 9n ．
例题精讲
一、前 n 项和
【例 1】 2 2 2 21 3 5 19
【考点】公式法之求和公式 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】 2 2 2 21 3 5 19
2 2 2 2 2 2 2(1 2 3 19 ) (2 4 18 )
2 2 21 19 20 39 4 1 2 96
（ ）
12470 9 10 196
2470 285 2185
【答案】 2185
【巩固】【巩固】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 2 2 2 2 2 2 2 2(1 2 16 ) (3 6 9 12 15 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 17 33 5 6 11(1 2 16 ) 3 (1 2 3 4 5 ) 96 6
1496 495 1001
【答案】1001
【例 2】 计算： 36 49 64 81 400
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 2 2 2 26 7 8 20
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 20 1 2 3 4 5
1 120 21 41 5 6 116 6
2870 55 2815
【答案】 2815
【例 3】 计算： 3 3 3 3 3 3 3 31 3 5 7 9 11 13 15
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 4 14 15 2 4 14
22
3 3 315 15 1 8 1 2 74
2 257600 2 7 84
8128
【答案】 8128
【巩固】【巩固】计算： 3 3 3 31 3 5 99 ___________．
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】与公式 22
23 3 3 11 2 1 2 4
n nn n
相比， 3 3 3 31 3 5 99 缺少偶数项，所以可以
先补上偶数项．
原式 3 3 3 3 3 3 31 2 3 100 2 4 100
2 2 3 3 3 31 100 101 2 1 2 504
2 2 3 2 21 1100 101 2 50 514 4
2 2 250 101 2 51 12497500
【答案】12497500
【例 4】 计算：
3 3 31 2 3 2006
1 2 3 2006
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】原式 21 2 3 2006
1 2 3 2006
1 2 3 2006 1 2006 2006 12
2013021
【答案】 2013021
【例 5】 计算： 2004 2003 2003 2002 2002 2001 2001 2000 2 1 。
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】原式 2003 2 2001 2 3 2 1 2
2 1 3 5 2001 2003
2 1 2003 1002 2
2008008
其中也可以直接根据公式 21 3 5 7 2 1n n 得出
21 3 5 2001 2003 1002
【答案】 2008008
【例 6】 计算： 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 18 19 19 20
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】分拆 ( 2 1 ) 2 3 22 2 2 ，(3 1 ) 2 3 23 3 3 再用公式
原式 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2(2 2 ) (3 3 ) ...... (20 20 ) (1 2 3 ...... 20 ) (1 2 3 ... ... 20 )
2 21 120 21 20 21 41 412304 6
【答案】 41230
【例 7】 对自然数 a 和 n ，规定 1n na n a a ，例如 23 2 3 3 12 ，那么：
⑴ 1 2 2 2 3 2 99 2 ______________；
⑵ 2 1 2 2 2 3 2 99 ______________．
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】⑴ 原式 2 2 2 991 1 2 2 3 3 99 99
2 2 2 21 2 3 99 1 2 3 99
1 99 100 199 49506
328350 4950 333300
⑵ 原式 1 0 2 1 3 2 99 982 2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 98 1 2 3 992 2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 982 2 2 2 3
992 1 3
993 2 3
【答案】⑴ 333300 ⑵ 993 2 3
【巩固】【巩固】看规律 3 21 1 ， 3 3 21 2 3 ， 3 3 3 21 2 3 6 ……，试求 3 3. 36 7 14
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】人大附中
【解析】原式 3 3. 3 3 3. 31 2 14 1 2 5 2 21 2 3 14 1 2 3 4 5
2 2105 15 105 15 105 15 90 120 10800
【答案】10800
【例 8】 计算： 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】法一：利用等比数列求和公式。
原式
711 1 3
11 3
71 3 2641 13 2 729
法二：错位相减法．
设 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3S
则 2 3 4 5
1 1 1 1 13 3 1 3 3 3 3 3S ， 6
13 3 3S S ，整理可得 3641729S ．
法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所
以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项
的分子变得也都与公比差 1．由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最
后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值．
由题设， 2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 22 2 3 3 3 3 3 3S ，则运用“借来还去”的方法可得到 6
12 33S ，
整理得到 3641729S ．
【答案】 3641729
【例 9】 计算 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 72 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 的值。（已知 73 2187 ， 83 6561 ，
93 19683 ， 103 59049 ， 72 128 ， 82 256 ， 92 512 ， 102 1024 ）
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数 2 的指数减少1，3的指数增加1.
所以每一个加数是前一个加数的 3
2
倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为 3
2
的
等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。
记 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 72 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3S ,
8
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 73 32 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 32 2S
8
73 3 22 2 2
SS S ，那么 8 83 2 6561 256 6305S ，即原式的值为 6305 .
【答案】 6305
【例 10】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 5 7 9 11 13 15 17 192 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
．
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
10
10
1 112 21 1 19 10 12 1 2
1 1023100 1 1002 1024
【答案】 10231001024
【解析】【解析】计算： 3 3 3 3 3 3
4 16 64 256 1024 4096
．
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】原式 2 3 4 5 6 6 6
3 3 3 3 3 3 1 1( )4 4 4 4 4 4 4 4
2 3 4 5 5 6
3 3 3 3 3 1 1( )4 4 4 4 4 4 4
6
3 1 1 4095( )4 4 4 4096
【答案】 4095
4096
【解析】【解析】 3 3 3 32 4 16 _______2 4 8 512
【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】原式 3 3 3 32 4 6 16 2 4 8 512
1 1 12 1 2 3 8 3 2 4 512
1 50972 3 1 74512 512
【答案】 50974 512
【例 11】计算： 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 71 3 3 3 3 3 3
【考点】公式法之求和公式 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】设算式的值为 S ，那么 2 3 4 5
3 4 5 6 73 3 2 3 3 3 3 3S ，
2 3 4 5 6
3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 73 3 2 1 3 3 3 3 3 3S S ，
即 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 72 4 3 3 3 3 3 3S ，
故 6 1 2 3 4 5
14 2 2 2 2 24 8 3 3 3 3 3 3S ，则 5 6
1 144 8 13 3S ，
所以 6 6 6
14 3 174 9 93 3 3S ，
6
9 17 1636
4 4 3 729S
．
【答案】 1636
729
二、平方差与完全平方公式
【例 12】⑴ 231415926 31415925 31415927 ________；
⑵ 2 21234 8766 2468 8766 ________．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
【解析】⑴ 观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 31415926a ，
原式 2 2 21 1 1 1a a a a a
⑵ 原式 2 21234 8766 2 1234 8766
2 21234 8766 10000
100000000
【答案】⑴1 ⑵100000000
【巩固】【巩固】 2009 2009 2008 2008
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】方法一：原式 2009 2008 1 2009 1 2008
2009 2008 2009 2009 2008 2008
2009 2008 4017
方法二：原式 2 2=2009 2008
= 2009+2008 2009 2008
=4017 1
=4017
【答案】 4017
【巩固】【巩固】 37 37 2 63 37 63 63
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】原式 2 237 63 100 10000
【答案】10000
【巩固】【巩固】计算：314 31.4 628 68.6 68.6 686 ＝ 。
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6 年级，决赛
【解析】题目分析：答案为 100000。记原式为 X，则
10X=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=(314+686)2=1000000，所以，X=100000。
【答案】100000
【例 13】有一串数1， 4 ，9 ，16 ， 25 ，36 ……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990 个数与第1991
个数相差多少？
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】这串数中第1990 个数是 21990 ，而第1991个数是 21991 ，它们相差
2 21991 1990 (1991 1990) (1991 1990) 1991 1990 3981
【答案】 3981
【巩固】【巩固】 a b、 代表任意数字，若 ( ) ( )a b a b a a b b ，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公
式，你来巧算下列各题吧．
⑴ 98 102 ⑵ 67 73 ⑶ 64 28 ⑷ 2 29 3 31
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们
就依据公式 ( ) ( )a b a b a a b b 来进行下面的计算:
⑴98 102 (100 2) (100 2) 100 100 2 2 10000 4 9996
⑵ 67 73 (70 3) (70 3) 70 70 3 3 4900 9 4891
⑶ 64 28 2 32 28 2 (30 2) (30 2) 2 (30 30 2 2) 1792
⑷ 2 29 3 31 2 3 (30 1) (30 1) 6 (900 1) 5400 6 5394
【答案】⑴ 9996 ⑵ 4891 ⑶1792 ⑷ 5394
【例 14】计算：11 19 12 18 13 17 14 16 ．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，决赛
【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式 2 2 2 2 2 2 2 215 4 15 3 15 2 15 1
2 2 2 2 215 4 1 2 3 4
900 30 870
其中 2 2 2 21 2 3 4 可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
2 2 2 11 2 1 2 16n n n n 进行计算．
【答案】870
【例 15】 2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3 ．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】原式 2007 8.5 1.5 8.5 1.5 10 160 0.3 2007 10 8.5 1.5 10 160 0.3
2007 7 160 0.3 12.5 0.3 12.2
【答案】12.2
三、公式综合运用
【例 16】计算：1 4 3 7 5 10 99 151 ．
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为 1，3，5，……，99，
乘数依次为 4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为 2 1n ，乘数可以
表示为 3 1n ，所以通项公式为 22 1 3 1 6 1n n n n ．所以，
原式 2 2 26 1 1 1 6 2 2 1 6 50 50 1
2 2 26 1 2 50 1 2 50 50
150 51 101 50 51 502
256225
另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变
为相等再进行计算．
原式 1 3 8 9 14 15 20 297 3026
1 3 3 5 9 9 5 15 15 5 297 297 56
2 2 2 21 3 3 5 9 9 5 15 15 5 297 297 56
2 2 2 21 3 9 15 297 5 3 9 15 2976
2 2 2 21 9 1 3 5 99 5 3 1 3 5 996
2 2 2 23 51 3 5 99 1 3 5 992 2
而 2 2 2 21 3 5 99 和1 3 5 99 都是我们非常熟悉的．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 5 99 1 2 3 100 2 4 6 100
1 1100 101 201 4 50 51 1016 6
1 100 101 201 1026
1 99 100 1016
166650 ，
21 3 5 99 50 2500 ，
所以原式 3 5166650 2500 2562252 2
小 结 ： 从 上 面 的 计 算 过 程 中 可 以 看 出 ， 2 2 2 2 11 3 5 99 99 100 1016
， 而
11 2 2 3 99 100 99 100 1013
，
所以有 2 2 2 21 3 5 99 2 1 2 2 3 99 100
【答案】 256225
【例 17】计算： 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 124 2 3 4 5 20 21 1 1 2 1 2 10
．
【考点】公式法之综合运用 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】 2 2 2
1 6 24
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2n n n n n n n
1 112 2 2 1 2 1 2 2n n n n
，
所以， 2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 2 1 2 10
1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 4 5 5 6 20 21 21 22
，
所以原式
1 1 1 1 1 1 1 1 124 122 3 4 5 20 21 2 3 3 4 4 5 5 6 20 21 21 22
1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 4 5 5 6 20 21 21 22
1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 21 22
1 112 2 22
66 11
5511
【答案】 5511
【例 18】计算： 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2005 2006 2007
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】，入学测试
【解析】原式 2 2 2 2 2 2 22007 2006 5 4 3 2 1
(2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004) (3 2) (3 2) 1
2007 2006 2005 2004 3 2 1
1 2007 1 2007 20150282
【答案】 2015028
【巩固】【巩固】计算 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 ... 17 18 19
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】这个题目重新整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 (3 2 ) (5 4 ) (7 6 )... (19 18 )
1 (3 2)(3 2) (5 4)(5 4) ... (19 18)(19 18)
1 3 2 5 4 ... 19 18
1 2 3 4 ... 17 18 19
20 9 10 190
【答案】190
【巩固】【巩固】计算： 20 20 19 19 18 18 17 17 2 2 1 1 ．
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，
利 用 平 方 差 公 式 ： 20 20 19 19 (20 19)(20 19) 20 19 ， 18 18 17 17 18 17 ， ，
2 2 1 1 2 1 ．
于是，原式 20 19 18 17 2 1
20 1 20 2 210 （ ）
【答案】 210
【例 19】 1 3 2 4 3 5 9 11
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1
2 2 22 1 3 1 10 1
2 2 2
2 2 2 2
2 3 10 9
1 2 3 10 10
10 11 21 10 3756
【答案】 375
【例 20】计算：11 29 12 28 19 21 ．
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】原式 2 2 2 2 2 220 9 20 8 20 1
2 2 2 220 9 1 2 9
13600 9 10 19 33156
【答案】 3315
【巩固】【巩固】计算：1 99 2 98 3 97 49 51 ．
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式 50 49 50 49 50 48 50 48 50 1 50 1
2 2 2 2 2 250 49 50 48 50 1
2 2 2 250 49 1 2 49
2 2 2 250 49 1 2 49
2 150 49 49 50 996
250 49 49 25 33
49 25 100 33
49 25 67 82075
【答案】 82075
【巩固】【巩固】 50 50 49 51 48 52 47 53 46 54 _________
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4 年级
【解析】原式 250 50 1 50 1 50 2 50 2 50 3 50 3 50 4 50 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 250 50 1 50 1 50 2 50 3 50 4
5 2500 1 4 9 16
12500 30 12470
【答案】12470
【例 21】计算：1 99 2 97 3 95 50 1
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 (99 97 3 1) (97 3 1) (3 1) 1
2 2 2 250 49 2 1 1 50 51 101 429256
【答案】 42925
【巩固】【巩固】计算：1 49 2 47 3 45 25 1 ．
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】原式 49 47 1 47 45 1 3 1 1
2 2 2 225 24 2 1
1 25 26 516
5525
【答案】 5525
【例 22】计算：1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 2 2 2 22 2 1 3 3 1 4 4 1 9 9 1
3 3 3 32 3 4 9 2 3 4 9
21 2 3 9 1 2 3 4 9
245 45 1980
【答案】1980
【例 23】计算：
2 2 2 2 2 2 2 2(2 4 6 100 ) (1 3 5 99 )
1 2 3 9 10 9 8 3 2 1
【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2
(2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 )
10
(2 1) (2 1) (4 3) (4 3) (6 5) (6 5) (100 99) (100 99)
100
1 2 3 4 99 100 5050 150100 100 2
【答案】 150 2
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