定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算
规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的
运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子
代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运
算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际
就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两
个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.
在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若 *A B 表示 3A B A B ，求 5*7 的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A＋3B 的结果，再计算 A＋B 的结果，最后两个结果求乘
积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】 312
【巩固】【巩固】定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由 a△b＝（a＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】 7
【巩固】【巩固】设 a △ 2b a a b ，那么，5△ 6 ______，(5△2) △ 3 _____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】 5 6 5 5 2 6 13 △
5 2 5 5 2 2 21 △ ,1 3 21 21 6 435 △
【答案】 435
【巩固】【巩固】 P 、Q 表示数， *P Q 表示
2
P Q ，求 3* (6*8)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】 6 8 3 73*(6*8) 3*( ) 3*7 52 2
【答案】 5
【巩固】【巩固】已知 a,b 是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1, 2a b ab ,那么
4 (6 8) (3 5) .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】原式 4 [(6 8 1) (3 5 2)] 4 [13 13] 4 [13 13 1] 4 25 4 25 2 98
【答案】 98
【巩固】【巩固】 M N 表示 ( ) 2,(2008 2010) 2009M N ____
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】原式 2008 2010 2 *2009 2009*2009 2009 2009 2 2009
【答案】 2009
【巩固】【巩固】规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求 x 的值。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。 将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3
－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故 1＋x＝7，x＝6。
【答案】 6
【例 11】定义新运算为 1aa b b
，⑴求 2 (3 4) 的值；⑵若 4 1.35x 则 x 的值为多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】⑴因为 3 13 4 14
，所以 2 12 (3 4) 2 1 31
⑵ 14 1.354
xx ， 1 4 1.35 5.4, 4.4x x ，所以 x 的值为 4.4.
【答案】⑴ 3 ⑵ 4.4
【巩固】【巩固】对于任意的两个自然数 a 和 b ，规定新运算 ： ( 1)( 2) ( 1)a b a a a a b ，其中 a 、b 表示
自然数.如果 ( 3) 2 3660x ，那么 x 等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．3660 60 61 ，即：602 3660 ，
则 3 60x ； 60 3 4 5 ，即 33 60 ,所以 3x ．
方法二：可以先将（x3）看作一个整体 y ，那么就是 y 2 3660 ，y 2 ( 1) 3660 60 61y y ,
所以 60y ，那么也就有 x3 60 ， 60 3 4 5 ，即 33 60 ，所以 x 3 ．
【答案】 3
【例 12】定义 a b 为 a 与 b 之间（包含 a 、 b ）所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
7 14=(7+9+11+13) 4=10 ，18 10=(18+16+14+12+10) 5=14 ．在算术 (19 99)=80 的方格
中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】19 99=(19+99) 2=59 ，所以方格中填的数一定大于 80．如果填的是个奇数，那么只能是
80 2 59 101 ；如果填的是个偶数，那么这个数与 60 的平均数应该是 80，所以只能是
80 2 60 100 ．因此所填的数可能是 100 和 101．
【答案】100 和101
【巩固】【巩固】如有 a # b 新运算，a # b 表示 a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，
21#2=1.如（21#（21# x ））=5，则 x 可以是________（ x 小于 50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算
【关键词】101 中学，入学测试
【解析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的
方法.
第一步先把（21# x ）看成一个整体 y .对于 21# y 5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则 y
等 于（21-5） 16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数，
这样满足要求的数为 26，47…，即形如 21N+5 这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由 y
所 代表的式子（21# x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必
须 比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都得舍去.现在只剩下 8，与 16.
第二步求：（21# x ） 8 与（21# x ） 16.对于（21# x ） 8 可分别解得，把 21 作被除数时：x 13，
把 21 作除数时为： x 29，50，…形如 21N+8 的整数（N 是正整数）.
对于（21# x ） 16 ，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x 37，58……所有形如 21N+16
这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是 13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例 13】已知 x 、y 满足 [ ] 2009x y ，{ } 20.09y y ；其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，{ }x 表示 x 的
小数部分，即{ } [ ]x x x ，那么 x 。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6 年级，第 3 题
【解析】根 据 题 意 ， [ ]y 是 整 数 ， 所 以 2009 [ ]x y 也 是 整 数 ， 那 么 { } [ ] 0x x x ， 由 此 可 得
20.09 { } 20.09 0 20.09y x ，所以[ ] 20y ， 2009 [ ] 2009 20 1989x y 。
【答案】1989
【例 14】规定：A○B 表示 A、B 中较大的数，A△B 表示 A、B 中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+
A△3 ） ＝ 96 ， 且 A 、 B 均 为 大 于 0 的 自 然 数 ， A×B 的 所 有 取 值
为 ．（8 级）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6 年级，决赛
【解析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于 A 或者 B 有 3
类不同的范围，A 小于 3，A 大于等于 3，小于 5，A 大于等于 5。对于 B 也有类似，两者合起来
共有 3×3=9 种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当 A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当 3≤A＜5，B＜3 时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3) 当 A≥5，B＜3 时，则有（A+B）×（5+3）=96，则 A+B=12.
所以有 A=10，B=2，此时乘积为 20 或者 A=11,B=1,此时乘积为 11。
4) 当 A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当 3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当 A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则 A=9.此时 B=3 后者 B=4。则他们乘积有 27 与
36 两种；
7) 当 A＜3，B≥5 时，有（5+3）×（B+A）=96。此时 A+B=12。A 与 B 的乘积有 11 与 20 两种；
8) 当 3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有 B=9.不符；
9) 当 A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则 A=5,B=9，乘积为 45。
所以 A 与 B 的乘积有 11,20,27，36,45 共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例 15】如果 1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】通过观察发现：a※b 中的 b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由 a 组成，都由一个数位，
依次增加到 b 个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】 3075
【巩固】【巩固】规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】 86415
【例 16】有一个数学运算符号 ，使下列算式成立：
2 4 8 ， 5 3 13 ， 3 5 11 ， 9 7 25 ，求 7 3 ?
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】通 过 对 2 4 8 ， 5 3 13 ， 3 5 11 ， 9 7 25 这 几 个 算 式 的 观 察 ， 找 到 规 律 ：
，因此
【答案】17
【巩固】【巩固】规定 a △ b ( 2) ( 1)a a a b , 计算：（2△1） （11△10） ______.
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和．但是我们注意到要求
的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 b＝a－1，所以，我们不妨把 b＝a－1
代入原定义．
a△b ( 2) ( 1)a a a b 就变成了 a△b ( 2) ( 1) ( 1)a a a a 2a ．所以 2△1 22 ，
3△2 23 ，……，3△2 211 ，则原式 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋…＋ 211 11 12 23 1 5056
．
这里需要补充一个公式： 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 4 6
n n nn ．
【答案】 505
【例 17】一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为 S n ，为偶数的那些数字的和记为 E n ，例如
134 1 3 4S ， 134 4E ．
1 2 (100)S S S ； (1) (2) 100E E E ＝ ．
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】走美杯，5 年级，决赛
【解析】可以换个方向考虑。数字 1 在个位出现 10 次，在十位出现 10 次，在百位出现 1 次，共 21 次。
数字 2 到 9 中的每一个在个位出现 10 次，在十位也出现 10 次，共 20 次。
所以，1 到 100 中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】 400
模块四、综合型题目
【例 18】已知：10△3=14， 8△7=2，
4
3 △ 14
1 ，根据这几个算式找规律，如果
8
5 △ x =1，那么 x = .
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】规律是 a△b=(a－b)×2, 所以
8
5 △x= 128
5
x ，即
8
1x
【答案】 1
8
【例 19】如果 a 、 b 、 c 是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴ a b b a ；⑵ ( ) ( )a b c a b c 。
现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：
( , )*( , ) ( , )a b c d a c b d a c b d 。
例： (4,3)*(7,5) (4 7 3 5,4 7 3 5) (43,13)
请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)
(2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】 “*”满足交换律
“*”不满足结合律
【例 20】用 a 表 示 a 的 小 数 部 分 ， a 表 示 不 超 过 a 的 最 大 整 数 。 例 如 ：
0.3 0.3, 0.3 0; 4.5 0.5, 4.5 4 记 2( ) 2 1
xf x x
， 请 计 算
1 1, ; 1 , 13 3f f f f
的值。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】代入计算结果分别为：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1
【例 21】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连
的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每
一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图 A 表示：2+3， B 表示 2+3×2
－ 1 。 图 C 中 表 示 的 式 子 的 运 算 结 果 是 ________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 “教研龙”认为第 2 个图最上面的圆圈应该有个 2，原题却没有。第 3 个图从上到下第 3 行第 3 个
圈为 2，第四个圈为 42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】 2
【例 22】 64 2 2 2 2 2 2 表示成 64 6f ; 243 3 3 3 3 3 表示成 243 5g .
试求下列的值:
(1) 128f
(2) (16) ( )f g
(3) ( ) (27) 6f g ;
(4)如果 x, y 分别表示若干个 2 的数的乘积,试证明: ( ) ( ) ( )f x y f x f y .
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】(1) 7(128) 2 7f f ;
(2) 4 4(16) 2 4 3 (81)f f g g ;
(3)因为 3 36 (27) 6 3 6 3 3 2 (8)g g f f ,所以 (8) (27) 6f g ;
(4)略
【答案】(1) 7 (2)81 (3)8
(4) 令 2 , 2 ,m nx y 则 ( ) , ( )f x m f y n .
( ) 2 2 2 ( ) ( )m n m nf x y f f m n f x f y .
【例 23】对于任意有理数 x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y= ax by cxy ,其中的 , ,a b c 表示已知数,等式
右边是通常的加、减、乘运算.又知道 1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则 m 的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】由题设的等式 x※y= ax by cxy 及 x※m=x(m≠0),得 0 0 0a bm c m , 所以 bm=0,又 m≠0,
故 b=0.因此 x※y=ax-cxy. 由 1※2=3,2※3=4,得 2 3
2 6 4
a c
a c
解得 a=5,c=1. 所以 x※y=5x-xy,令 x=1,y=m 得 5-m=1,故 m=4.
【答案】 4
【巩固】【巩固】x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k 均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3 的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】 x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k 均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3 的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3 的值，首先我们要计算 1△2，
根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值.k 值求出后，
l△2 的值也就计算出来了，我们设 1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计算 a*3 的值.因此
要计算（1△2）* 3 的值，我们就要先求出 k、m、n 的值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值，
通过（2*3）△4=64 求出 k 的值.
因为 1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出：
1
2
m
n
，
2
2
3
m
n
（舍去） 3
1
m
n
①当 m=1，n=2 时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有 32k=64，解出 k=2.
②当 m=3，n=1 时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有 36k=64，解出 719k ，这与 k 是自然数矛盾，因此 m=3，n=1， 719k 这组值应舍去。
所以 m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】10
【例 24】对于任意的两个自然数 a 和 b ，规定新运算 ： a b ( 1) ( 2) ( 1)a a a a b ，其
中 a 、b 表示自然数.⑴求 1100 的值；⑵已知 x 10 75，求 x 为多少？⑶如果（ x 3）2 121，
那么 x 等于几？
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】⑴1100 1 2 3 4 (1 100 1) 5050
⑵x10 ( 1) ( 2) ( 3) ( 10 1) 10 45x x x x x x 75,解得 x 3
⑶方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数．121 60 61 ，即：602 121，
则 x3 60； 60 19 20 21 ，即 193 60,所以 x 19．
方法二：可以先将（x3）看作一个整体 y，那么就是 y2 121，y2 ( 1) 121y y ,121 60 61
所以 y 60，那么也就有 x3 60， 60 19 20 21 ，即 193 60，所以 x 19．
【答案】19
【巩固】【巩固】两个不等的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 a☉b,比如 5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8
级）
(1)求 1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知 11☉x=2,而 x 小于 20,求 x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而 x 小于 50,求 x.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】(1)1991☉2000=9;
由 5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由 19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道 11 和 x 哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x
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