小学奥数3-1-2 相遇与追及问题.教师版

相遇与追及问题 教学目标 1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题 3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力 知识精讲 一、相遇 甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,B 之间 这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即 = tS V和 和 二、追及 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计 算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即 = tS V差 差 例如：假设甲乙两人站在 100 米的跑道上，甲位于起点(0 米)处，乙位于中间 5 米处，经过时间 t 后甲乙同 时到达终点，甲乙的速度分别为 v甲 和 v乙 ，那么我们可以看到经过时间 t 后，甲比乙多跑了 5 米，或者可以 说，在时间 t 内甲的路程比乙的路程多 5 米，甲用了时间 t 追了乙 5 米 三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件： (1)在整个被研究的运动过程中，2 个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2 个物体所走的是同一路径。                      路程=速度和 相遇 相遇 速度和= 路程 相遇 相遇 = 路程 速度和 追及 =追及路程 速度差 追及 追及路程=速度差 追及 速度差=追及路程 追及 例题精讲 模块一、直线上的相遇问题 【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 46 千米，货车每小时行 48 千米。3.5 小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48） ×3.5=94×3.5=329（千米）． 【答案】329 千米 【巩固】 两地间的路程有 255 千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时 行 40 千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135 （千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）. 【答案】甲走的路程为 135 千米，乙走的路程为 120 千米 【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走 20 米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快 42 米，经过 20 分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一：由题意知聪聪的速度是： 20 42 62  (米/分)，两家的距离  明明走过的路程  聪聪走 过的路程 20 20 62 20 400 1240 1640       (米)，请教师画图帮助学生理解分析． 注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S v t和 和 ．对于刚刚学习奥数的孩子， 注意引导他们认识、理解及应用公式． 方法二：直接利用公式： S v t和 和 20 62 20 1640   （ ） (米)． 【答案】1640 米 【例 2】 大头儿子的家距离学校 3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家， 他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24 米，50 分钟后两人相遇，那么大头儿子的 速度是每分钟走多少米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000 50 60  (米/分钟)，小头爸爸的速度： 60 24 2 42  （ ） (米 /分钟)，大头儿子的速度： 60 42 18  (米/分钟)． 【答案】大头儿子的速度为18 米/分钟 【例 3】 A 、 B 两地相距 90 米，包子从 A 地到 B 地需要 30 秒，菠萝从 B 地到 A 地需要15 秒，现在包子 和菠萝从 A 、 B 两地同时相对而行，相遇时包子与 B 地的距离是多少米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】包 子 的 速 度 ： 90 30 3  ( 米 ／ 秒 ) ， 菠 萝 的 速 度 ： 90 15 6  ( 米 ／ 秒 ) ， 相 遇 的 时 间 ： 90 (3 6) 10   (秒)，包子距 B 地的距离：90 3 10 60   (米)． 【答案】包子距 B 地的距离是 60 米 【巩固】 甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A 、B 两城同时出发，相对而行，已知甲车到达 B 城需 4 小时， 乙车到达 A 城需12 小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是 360 4 90  （千米／时），乙 车的速度是 360 12 30  （千米／时），则相遇时间是 360 (90 30) 3   （小时）． 【答案】相遇时间是 3小时 【例 4】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行 48 千米，乙 车每小时行 50 千米，5 小时相遇，求 A 、 B 两地间的距离． 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这题不同的是两车不“同时”． （法1）求 A 、 B 两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、 乙车所行的路程，再把两部分合起来． 48 (1 5) 288   （千米）， 50 5 250  （千米）， 288 250 538  （千米）． （法 2 ）还可以先求出甲、乙两车 5 小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程． (48 50) 5 490   （千米）， 490 48 538  （千米）． 【答案】 538 千米 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 41 千米， 乙车先出发 2 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时 所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程， 再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程： 41 2 82  (千米)，甲、 乙两车同时相对而行路程：770 82 688  (千米)，甲、乙两车速度和：45 41 86  (千米／时)， 甲 车行的时间： 688 86 8  (小时)． 【答案】 8小时 【巩固】 甲、乙两列火车从相距144 千米的两地相向而行，甲车每小时行 28 千米，乙车每小时行 22 千米， 乙车先出发 2 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时 所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程， 再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程： 22 2 44  (千米)，甲、 乙两车同时相对而行路：144 44 100  (千米)，甲、乙两车速度和： 28 22 50  (千米)，与乙车 相遇时甲车行的时间为：100 50 2  (小时)． 【答案】 2 小时 【巩固】 妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走 75 米．妈妈走了 3分钟后，小红从学校出发，小 红每分钟走 60 米．再经过 20 分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】妈妈先走了 3分钟，就是先走了 75 3 225  （米）． 20 分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和 小红共同走了 20 分钟，这一段的路程为： (75 60) 20 2700    （米），这样妈妈先走的那一段 路 程 ， 加 上 后 来 妈 妈 和 小 红 走 的 这 一 段 路 程 ， 就 是 小 红 家 到 学 校 的 距 离 ． 即 (75 3) (75 60) 20 2925     （米）． 【答案】 2925 米 【巩固】 甲乙两座城市相距 530 千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行 50 千米， 客车每小时行 70 千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇 时客车、货车各行驶多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如 果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再 求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以 分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：(530 50) (50 70) 480 120 4      （小 时）相遇时客车行驶的路程: 70 4 280  (千米)相遇时货车行驶的路程：50 (4 1) 250   （千米）． 【答案】 250 千米 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 366 千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 37 千米，乙列火车每 小时行 36 千米，甲列火车先开出 2 小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火 车相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 366 37 2 37 36 4    （ ）（ ） (小时)． 【答案】 4 小时 【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相向而行，甲车先行 3 小时后乙车从 B 地出发，乙车出 发 5 小时后两车还相距15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．求 A 、 B 两地 间相距多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】题目中写的“还”相距15 千米指的就是最简单的情况。画线段图如下： 由图中可以看出，甲行驶了 3 5 8  (小时)，行驶距离为： 48 8 384  (千米)；乙行驶了5 小时， 行驶距离为：50 5 250  (千米)，此时两车还相距15 千米，所以 A 、B 两地间相距：384 250 15  649 (千米) 也可以这样做：两车 5 小时一共行驶： 48 50 5 490  （ ） (千米)，A 、B 两地间相距：490 48 3  15 649  (千米)，所以， A 、 B 两地间相距 649 千米． 【答案】 A 、 B 两地间相距 649 千米 【巩固】 甲、乙两辆汽车从 A、B 两地同时相向开出，出发后 2 小时，两车相距 141 公里；出发后 5 小时， 两车相遇。A、B 两地相距______ 公里。 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】5-2=3 小时，两车合走 141 千米，速度和=141÷3=47 千米/小时，故 AB 相距 47×5=235 千米。 【答案】 A 、 B 两地间相距 235 千米 【例 6】 甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发 2 小时后，两人相距 54 千米；出发 5 小 时后，两人还相距 27 千米．问出发多少小时后两人相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据 2 小时后相距 54 千米， 5 小时后相距 27 千米，可以求出甲、乙二人 3 小时行的路程和为 (54 27)  千米，即可求出两人的速度和：(54 27) (5 2) 9    （千米），根据相遇问题的解题规 律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行 27 千米需要：5 27 9 5 3 8     （小时）． 【答案】 8小时 【例 7】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40 千米，另一列城铁每小时走 45 千米，在途 中每列车先后各停车 4 次，每次停车15 分钟，经过 7 小时两车相遇，求两城的距离？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】每列车停车时间：15 4 60  （分）=1（小时），两列车停车时间共2 小时，共同行驶时间：7 1 6  小 时，速度和： 40 45 85  （千米），两城距离：85 6 510  （千米）． 【答案】 510 千米 【例 8】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 s 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车 同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为 50 千米/时，60 千米/时，那么北辙先生出发 5 小 时他们相距多少千米?． 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）． 【答案】550 千米 【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车 同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为 50 千米/时， 60 千米/时，那么北辙先生出发 3小 时他们相距多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程， (50 60) 3 330   （千米）． 【答案】 330 千米 【巩固】 两列火车从相距 80 千米的两城背向而行，甲列车每小时行 40 千米，乙列车每小时行 42 千米， 5 小时后，甲、乙两车相距多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为是背向而行，所以每过 1 小时,两车就多相距 40 42 82  (千米),则 5 小时后两车相距是： (40 42) 5 80 490    （千米）． 【答案】 490 千米 【巩固】 两列火车从相距 40 千米的两城背向而行，甲列车每小时行 35 千米，乙列车每小时行 40 千米， 5 小时后，甲、乙两车相距多少千米？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为是背向而行，所以两车 5 小时后的距离是： (35 40) 5 40 415    （千米）。 【答案】 415千米 【例 9】 两地相距 3300 米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行 82 米，乙每分钟行 83 米，已 经行了 15 分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意列综合算式得到：  3300 82 83 15 5    （分钟），所以两个人还需要 5 分钟相遇。 【答案】5 分钟 【巩固】 两地相距 400 千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时比甲车 多行 5 千米，4 小时后两车相遇了吗？为什么？ 【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 40 5 45  (千米)， 40 45 4 340  （ ） (千米)，340 千米