比例解行程问题
教学目标
1. 理解行程问题中的各种比例关系.
2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．
知识精讲
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角
色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活
性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于
工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时
间、路程分别用 , ,v v t t s s乙 乙 乙甲 甲 甲，； ； 来表示，大体可分为以下两种情况：
1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就
等于他们的速度之比。
s v t
s v t
甲 甲 甲
乙 乙 乙
，这里因为时间相同，即 t t t 乙甲 ,所以由 s st tv v
甲 乙
乙甲
乙甲
，
得到 s st v v
甲 乙
乙甲
， s v
s v
甲 甲
乙 乙
，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比
2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之
比等于他们速度的反比。
s v t
s v t
甲 甲 甲
乙 乙 乙
，这里因为路程相同，即 s s s 乙甲 ，由 s v t s v t 乙 乙 乙甲 甲 甲，
得 s v t v t 乙 乙甲 甲 ， v t
v t
甲 乙
乙 甲
，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题
【例 1】 甲、乙两车从相距 330 千米的 A、B 两城相向而行，甲车先从 A 城出发，过一段时间后，乙车
才从 B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的 5
6 。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了 30 千米，
则甲车开出 千米，乙车才出发。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5 年级，1 试
【解析】两车相遇时共行驶 330 千米，但是甲多行 30 千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行
驶 180 千米，乙车行驶 150 千米，由甲车速度是乙车速度的 5
6 可以知道，当乙车行驶 150 千米的
时候，甲车实际只行驶了 5150 1256
千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了
180-125=55 千米。
【答案】55 千米
【例 2】 甲乙两地相距 12 千米，上午 10：45 一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司
机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的 1
3
加上未走路程的 2 倍，恰好等
于已走的路程，又知出租车的速度是 30 千米/小时，那么现在的时间是 。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，6 年级，1 试
【解析】可设已走路程为 X 千米，未走路程为（12-X）千米。
列式为：X- 1
3 X=(12-X)×2 解得：X=9
9 30 60 18 分钟，现在时间是11: 03
【答案】11: 03
【例 3】 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的
地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好
是 8 千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4
＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照
这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，
骑行了 4＋12＝16（千米）.少骑行 24-16＝8（千米）.摩托车的速度是 8÷8=1（千米/分），爸爸骑
行 16 千米需要 16 分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是 8 点 32 分。
注意：小明第 2 个 4 千米，也就是从 A 到 B 的过程中，爸爸一共走 12 千米，这一点是本题的关
键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本
题的解答就巧妙地运用了这一点．
【答案】8 点 32 分
【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46
追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速
度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00 赶到学校时，贝贝也恰好到学
校．如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，她调头后速度提高到原来的 2 倍，根据路程一定，时间比
等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到
到达学校用了 20- 6-3- 6 =5 分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了
6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程
贝贝要走 14 ×（6÷ 4）= 21 分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7
点 25 分出发的．
【答案】7 点 25 分
【例 4】 甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地 95 千米处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地 25 千米处相遇．求 A、B 两地间的距离？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲车行了 95 千米，当它
们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千米，即 95×3=285（千米），而这 285
千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【答案】260 千米
【巩固】 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们
第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人
共同完成 3 个全长，一个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图
可知，由 3 倍关系得到：A，B 两站的距离为 800×3－500=1900 米
【答案】1900 米
【巩固】 如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第
一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 80×3=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走
路程比一周少 60 米，说明乙的路程比半周多 60 米，那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米，
周长为 180×2=360 米.
【答案】360 米
【例 5】 甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A 出发，在
甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲
每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟
走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】如图所示：
假设乙、丙在 C 处相遇，然后丙返回，并在 D 处与甲相遇，此时乙则从走C 处到 E 处．根据题意
可知 210DE 米．由于丙的速度是甲的速度的 6 倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的
6 倍，也就是从 A 到 C 再到 D 的长度是 AD 的 6 倍，那么 (6 ) 2 2.5CD AD AD AD ，
3.5AC AD ，可见 5
7CD AC ．那么丙从 C 到 D 所用的时间是从 A 到 C 所用时间的 5
7
，那么这
段时间内乙、丙所走的路程之和( CD 加CE )是前一段时间内乙、丙所走的路程之和( AC 加 BC ，
即全程)的 5
7
，所以 5490 3507CD CE ，而 210CD CE DE ，可得 280CD ， 70CE ．
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的 280 70 4 倍，所以丙的速度是乙的速度的 4 倍，那么乙
的速度为 240 4 60 (米/分)，即乙每分钟走 60 米．
当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离
改变了，变为原来的 210 3
490 7
，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么
当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的 3
7
，为 3210 907
米．
【答案】 90 米
【巩固】 甲、乙两车同时从 A 地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，
并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全
程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段．由于两次的总行程相等，所
以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇
之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC :
2 BC 2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍．
【答案】2 倍
【巩固】 甲、乙两人同时 A 地出发，在 A 、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次
到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 AB 之间行走方向不会改变，已知
两人第一次相遇的地点距离 B 地1800 米，第三次的相遇点距离 B 地 800 米，那么第二次相遇的
地点距离 B 地 。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4 年级
【解析】设甲、乙两人的速度分别为 1v 、 2v ，全程为 s ，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米。
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，
这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为 1 2
1
1 2 1 2
2 v vsv s sv v v v
，那
么第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为 1 2
1 2
v v
v v
；
两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前
相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到 B 地的距离，即1800 米。根据上面的分析
可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相遇的地点到 B 地的距离的比为 1 2
1 2
v v
v v
；类
似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为
1 2
1 2
v v
v v
；那么， 800
1800
x
x
，得到 1200x ，故第二次相遇的地点距离 B 地1200 米。
【答案】1200
【例 6】 甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲
每次到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会
改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地 1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800 米，那么第二
次相遇的地点距离 B 地多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲、乙两人的速度分别为 1v 、 2v ，全程为 s，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米．
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，这
时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为 1 2
1
1 2 1 2
2 v vsv s sv v v v
，那么第
一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为 1 2
1 2
v v
v v
；两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙
则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点
到 B 地的距离，即 1800 米．根据上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相
遇的地点到 B 地的距离的比为 1 2
1 2
v v
v v
；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二
次相遇的地点到 B 地的距离的比为 1 2
1 2
v v
v v
；那么 800
1800
x
x
，得到 1200x ，故第二次相遇的
地点距离 B 地 1200 米．
【答案】1200 米
【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途
中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每
分钟 70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的
路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早
出门 770 ÷70 =11 分钟．
【答案】11 分钟
【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是 3∶2，甲、乙分别由 A，B 两地同时出发，若相向而行，则 1 时后
相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】5 时。解：设甲、乙速度分别为 3x 千米／时和 2x 千米／时。由题意可知 A，B 两地相距（3x＋
2x）×1＝5x（千米）。追及时间为 5x÷（3x－2x）=5（时）。
【答案】5 时
【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽
车的速度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的 1
5
，小汽车需倒车的路程是大卡
车需倒车的路程的 4 倍．如果小汽车的速度是每小时 50 千米，那么要通过这段狭路最少用多少
小时?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】
如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒
车的车可立即通过．
小汽车倒车的路程为 9 4 7.24 1
千米，大卡车倒车的路程为 9 1 1.84 1
千米．
小汽车倒车的路程为 150 105
千米／小时，大卡车倒车的速度为 1 1 1050 3 5 3
千米/小时
当 小 汽 车 倒 车 时 ， 倒 车 需 7.2÷10=O.72 小 时 ， 而 行 驶 过 狭 路 需 9÷50=0.18 小 时 ， 共 需
0.72 0.18 0.9 小时；
当 大 卡 车 倒 车 时 ， 倒 车 需 101.8 0.543
小 时 ， 而 行 驶 过 狭 路 需 509 0.543
小 时 ， 共
0.54 0.54 1.08 小时．
显然当小轿车倒车时所需时间最少，需 0.9 小时．
【答案】0.9 小时
【例 10】一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。已知装满货物每时行 50 千米，空车
每时行 70 千米。不计装卸货物时间，9 时往返五次。求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】52.5 千米。解：因为满车与空车的速度比为 50∶70＝5∶7，所以 9 时中满车行的时间为的时间为
7 219 5 7 4
（时），两地距离为 2150 5 52.54
（千米）。
【答案】 52.5 千米
【例 11】甲、乙两车往返于 A，B 两地之间。甲车去时的速度为 60 千米／时，返回时的速度为 40 千米
／时；乙车往返的速度都是 50 千米／时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】25∶24。提示：设 A，B 两地相距 600 千米。
【答案】25∶24
【例 12】甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 5 分，出发后 45 分追上丙；甲比乙晚
出发 15 分，出发后 1 时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】75 分。提示：行驶相同路程所需时间之比为： 45 9
50 10
乙
甲
， 60 3
80 4
甲
丙
。
【答案】75 分
【例 13】甲火车 4 分行进的路程等于乙火车 5 分行进的路程。乙火车上午 8：00 从 B 站开往 A 站，开出
若干分后，甲火车从 A 站出发开往 B 站。上午 9：00 两列火车相遇，相遇的地点离 A，B 两站
的距离的比是 15∶16。甲火车从 A 站发车的时间是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】8 点 15 分。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为 5∶4＝15∶12，而相遇点距 A，
B 两 站 的 距 离 的 比 是 15∶16 ， 说 明 相 遇 前 乙 车 所 走 路 程 等 于 乙 火 车 1 时 所 走 路 程 的
116 12 16 4
，也就是说已走了 1
4
时。所以甲火车发车时间是8点15 分。
【答案】8 点 15 分
【例 14】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1∶2∶3，某人走这三段路所用
的时间之比是 4∶5∶6。已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为 20 千米。此人走完全程
需多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】20.5 时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。
【答案】20.5 时
【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 2∶3∶5，某人骑车走这三段路所
用的时间之比是 6∶5∶4。已知他走平路时速度为 4.5 千米／时，全程用了 5 时。问：全程多少
千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】21.25 千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。
【答案】21.25 千米
【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是 5∶4。乙车先从 B 站开往 A 站，当走到离 B 站 72 千米的地方时，
甲车从 A 站发车开往 B 站。如果两列火车相遇的地方离 A，B 两站距离的比是 3∶4，那么 A，B
两站之间的距离为多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】315 千米。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为 5∶4＝15∶12，而相遇点距 A，
B 两站的距离之比是 3∶4＝15∶20，说明相遇前乙车走的 72 千米占全程的 20 12 8
15 20 35
，所以全
程为 872 31535
（千米）
【答案】315 千米
【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为 4∶5，两车开出后 60 分相遇，
并继续前进。 问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】27 分。解：大客车还需 560 754
（分）、小客车还需 460 485
（分）。大客车比小客车晚到
75 48 27 （分）
【答案】27 分
【例 15】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的 2
3
。一辆汽车上山速度是下山速度的一
半，从甲地到乙地共行 7 时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】8 时 。 解 ： 根 据 题 意 ， 上 山 与 下 山 的 路 程 比 为 2∶3 ， 速 度 比 为 1: 2 ， 所 用 时 间 比 为
32 1 : 3 2 2: 4:32
。因为从甲地到乙地共行 7 时，所以上山用 4 时，下山用 3 时。
如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的 2 倍，所以从乙到丙用 3×2＝6（时），
从丙到甲用 4÷2＝2（时），共用 6＋2＝8（时）。
【答案】8 时
【例 16】甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分后
乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米，
丙车每分钟走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】680 米。提示：先求长跑运动员的速度。
【答案】680 米
【例 17】甲、乙两人都从 A 地经 B 地到 C 地。甲 8 点出发，乙 8 点 45 分出发。乙 9 点 45 分到达 B 地时，
甲已经离开 B 地 20 分。两人刚好同时到达 C 地。问：到达 C 地时是什么时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】10 点 33 分。解：到达 B 地甲用 85 分，乙用 60 分，也就是说，甲走 85 分的路程，乙至少走 25
分。由此推知，乙要比甲少走 45 分，甲要走 4585 15325
（分）= 2 时 33 分。所以两人同时到 C
地的时间为 10 点 33 分。
【答案】10 点 33 分
【例 18】甲、乙两车先后以相同的速度从 A 站开出，10 点整甲车距 A 站的距离是乙车距 A 站距离的三倍，
10 点 10 分甲车距 A 站的距离是乙车距 A 站距离的二倍。问：甲车是何时从 A 站出发的？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】9 点 30 分。提示：因为两车速度相同，故甲、乙两车距 A 站的距离之比等于甲、乙两车行驶的
时间之比。设 10 点时乙车行驶了 x 分，用车行驶了 3x 分，据题意有 2（x＋10）=3x＋10。
【答案】9 点 30 分
【例 19】某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10
分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了 10 分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车
的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】7 倍。提示：汽车行 10 分的路程，等于步行 10 分与骑车 20 分行的路程之和。
【答案】7 倍
【例 20】兄弟两人骑马进城，全程 51 千米。马每时行 12 千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行 5 千
米，弟弟每时步行 4 千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马
的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨 6 点动身，则
何时能同时到达城里？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】下午 1 点 45 分。解：设哥哥步行了 x 千米，则骑马行了（51－x）千米。而弟弟正好相反，步行
了（51－x）千米，骑马行 x 千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程
解得 x=30（千米）。所以两人用的时间同为 51 51
5 12 4 12
x x x x .早晨 6 点动身，下午 1 点 45
分到达。
【答案】下午 1 点 45 分
模块二：时间相同速度比等于路程比
【例 21】A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相
遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度
比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3．乙的速度提高 3 倍
后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了
全程的 3 3
3 2 5
．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分
钟，所以甲的速度为 3 36000 ( ) 9 1505 8
(米/分)．
【答案】150 米/分
【例 22】甲、乙分别从 A，B 两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是 a∶b。从相遇算起，
甲到达 B 地与乙到达 A 地所用的时间比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】b2∶a2。解：因为甲、乙的速度比是 a∶b，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是 b∶a，还要用的
时间比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2。
【答案】b2∶a2
【巩固】 甲、乙两辆车分别同时从 A， B 两地相向而行，相遇后甲又经过 15 分到达 B 地，乙又经过 1
时到达 A 地，甲车速度是乙车速度的几倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】2 倍。解： 60∶15＝22∶12，所以甲车速度是乙车的 2 倍。
【答案】2 倍
【巩固】 A，B 两地相距 1800 米，甲、乙二人分别从 A，B 两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了 8
分到达 B 地，乙又走了 18 分到达 A 地。甲、乙二人每分钟各走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】每分甲走 90 米，乙走 60 米。解： 18∶8＝32∶22，所以甲的速度是乙的 3÷2＝1.5（倍）。相遇时
乙走了 1800÷（1＋1.5）＝720（米）。推知，甲每分走 720÷8＝90（米），乙每分走 90÷1.5＝60（米）。
【答案】60 米
【例 23】甲、乙两人分别从 A B、 两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是 3：2，相遇后，
甲的速度提高 20%，乙的速度提高 1
3 ，这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 41 千米，那么 A B、
两地相遇__________千米。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,一试
【解析】
相遇前 : :V V 3 2甲 乙
相遇后 : : :V V 5 43 2 27 206 3甲 乙
∴ km4141 135125 如图！
即 kmAB 135
【答案】 km135
【例 24】甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后
继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第
一次相遇的地点 30 千米，则 A、 B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路
程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三
个全程中甲走了 4 53 17 7
个全程，与第一次相遇地点的距离为 5 4 2(1 )7 7 7
个全程．所以 A、 B
两地相距 230 1057
(千米)．
【答案】105 千米
【巩固】 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速
度的 3
7
，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇
的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，
第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×
（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.
【答案】300 米
【例 25】B 地在 A，C 两地之间．甲从 B 地到 A 地去送信，甲出发 10 分后，乙从 B 地出发到 C 地去送另
一封信，乙出发后 10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从 B 地出发骑车去追赶
甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的 3 倍，丙从出发
到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
因为丙的速度是甲、乙的 3 倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的 3 倍，比乙多走两倍乙走需要 10 分钟，所
以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
当丙再回到 B 点用 5 分钟，此时甲已经距 B 地有 10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追
及时间为 30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距 B 地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟
所以共需要时间为 5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为 120 分钟
【答案】90 分钟
【例 26】甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 60 米，出发一段时间后，
两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟，两人将在距中点的 D 处
相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】甲、乙两人速度比为80:60 4:3 ，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了
全程的 4
7
，乙走了全程的 3
7
．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，
所以第二次乙行了全程的 4
7
，甲行了全程的 3
7
．由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路
程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了 3 3
7 4
，所以甲停留期间乙行了 4 3 3 1
7 7 4 4
，所以 A、
B 两点的距离为 160 7 16804
(米)．
【答案】1680 米
【例 27】如图 3，甲、乙二人分别在 A、B 两地同时相向而行，于 E 处相遇后，甲继续向 B 地行走，乙
则休息了 14 分钟，再继续向 A 地行走。甲和乙到达 B 和 A 后立即折返，仍在 E 处相遇，已知
甲分钟行走 60 米，乙每分钟行走 80 米，则 A 和 B 两地相（ ）米。
图 3
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】1680 米
【答案】1680 米
【例 28】甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相
遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千
米．那么 A、B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】两车相遇时甲走了全程的 5
9
，乙走了全程的 4
9
，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，
此时甲、乙的速度比为 5 (1 20%) : 4 (1 20%) 5:6 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了
4 6 8
9 5 15
，距离 A 地 5 8 1
9 15 45
，所以 A、 B 两地的距离为 110 45045
(千米)．
【答案】 450 千米
【例 29】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点
时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小
王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，
两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小
张 15 千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就
可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45 千
米，故小张的速度是 45 ÷3 =15 千米/时，小王的速度是 15 ＋30 =45 千米/时．全程是 45 ×3 =135
千米，小张走完全程用了 135 ＋15= 9 小时，所以他是上午 10 点出发的。
【答案】10 点
【例 30】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡
路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，
第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路
比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】⑴由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用 3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路
程不需要 1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了 1 小
时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，
由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程，而这个
路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一
小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小
时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时
走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的
少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上
坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走 25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米．所以第
二小时内用在走平路上的时间为 525 30 6
小时，其余的 1
6
小时在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了 15 千米，而 1
6
小时的下坡路比上坡路要多走 130 15 7.56
千
米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为 115 7.5 15 2
小时，所以在第一小时中，有
1 1 2
2 6 3
小时是在下坡路上走的，剩余的 1
3
小时是在平路上走的．
因此，陈明走下坡路用了 2
3
小时，走平路用了 1 5 7
3 6 6
小时，走上坡路用了 1 71 6 6
小时．
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是 2 7: 4:73 6
．那么下坡路的
速度为 730 15 1057 4
千米/时，平路的速度是每小时105 15 90 千米，上坡路的速度是每
小时 90 30 60 千米．
那么甲、乙两地相距 2 7 7105 90 60 2453 6 6
(千米)．
【答案】 245千米
【例 31】甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为
了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某
地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学
生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7 倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接
乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图．
我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校 l 处，甲班已乘车至距学校 7l 处．此时甲班下车
步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．
汽车、乙班的距离为 7l-l=6l，两者的速度和为 7+1=8，所需时间为 6l÷8=0.75l，这段时间乙班
学生又步行 0.75l 的路程，所以乙班学生共步行 l+0.75l=1.75l 后乘车而行．
应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行 1.75l
路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为 7l+1.75l=8.75 l，应为全程．
所以有 7l=24÷8.75×7=19.2 千米，即在距学校 19.2 千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机
场 24-19.2=4.8 千米．
即汽车应在距飞机场 4.8 千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场．
【答案】4.8 千米
【巩固】 小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的 4
3
倍，营地有一辆摩托车，
只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的 16 倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明
和小光需要步行的距离之比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】11∶15。解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至 B 点，小光下车步行，车调头去接小明；车
到 A 点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。
由题中条件，车速是小明速度的 16 倍，是小光速度的 12 倍。
设从营地到 A 点的距离为 a。当车接到小明时，小明走了 a，车行了 16a，因为车开到 B 后又
返回到 A，所以 A 到 B 的距离为 7.5a。
车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行 15a。由于车速是小光的12 倍，所以小光走的
距离是车追上距离的 1
11
，即 15
11 a 。小明和小光步行的距离之比是 15: 11:1511a a
【答案】11:15
【例 32】自行车队出发 12 分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点 9 千米处追上了自行车队，然
后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点 18 千米。自行
车队和摩托车每分各行多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】自行车每分行 0.5 千米，摩托车每分行 1.5 千米。提示：摩托车在 4 个相等的时间里走了 36 千米，
自行车在其中三个相等时间里走了 9 千米，故摩托车的速度是自行车的 3 倍。自行车出发 12 分
后，摩托车需 6 分追上，所以摩托车每分行 9÷6＝1.5（千米）。
【答案】1.5 千米
【例 33】B 地在 A，C 两地之间。甲从 B 地到 A 地去，甲出发后 1 时乙从 B 地出发到 C 地，乙出发后 1
时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从 B 地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的
速度相等，丙的速度是甲、乙速度的 3 倍，为使丙从 B 地出发到最终赶回 B 地所用时间最少，
丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】先追乙。解：若先追甲，甲已走了 2 时，则追上甲需 1 时，返回 B 地又用 1 时，此时乙已走了 3
时，再追上乙需 1.5 时，返回 B 地再用 1.5 时。共用 5 时。若先追乙，乙已走了 1 时，则追上乙
需 0.5 时，返回 B 地又用 0.5 时，此时甲已走了 3 时，再追上甲需 1.5 时，返回 B 地再用 1.5 时。
共用 4 时。
【答案】4 时
【例 34】甲、乙两车分别从 A，B 两地同时相向开出，4 时后两车相遇，然后各自继续行驶 3 时，此时甲
车距 B 地 10 千米，乙车距 A 地 80 千米。问：甲车到达 B 地时，乙车还要经过多少时间才能到
达 A 地？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】1 时 48 分。解：由 4 时两车相遇知，4 时两车共行 A，B 间的一个单程。相遇后又行 3 时，剩下
的路程之和 10＋80＝90（千米）应是两车共行 4－3＝1（时）的路程。所以 A，B 两地的距离是
（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
因为 7 时甲车比乙车共多行 80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），
又因为两车每时共行 90 千米，所以每时甲车行 50 千米，乙车行 40 千米。行一个单程，乙车比甲
车多用
360÷40－360÷50＝9－7.2＝1.8（时）＝1 时 48 分。
【答案】1 时 48 分
【例 35】甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，甲车的速度是 50 千米/时，乙车的速度是 40 千米/
时，当甲车驶过 A、B 距离的 1
3
多 50 千米时,与乙车相遇.A、B 两地相距______千米。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】AB 距离的 1
3
多 50 千米即是 AB 距离的 5 5
4 5 9
，所以 50 千米的距离相当于全程的 5 1 2
9 3 9
，
全程的距离为 250 2259
（千米）.
【答案】 225千米
模块三：路程相同速度比等于时间的反比
【例 36】明明每天早上 7：00 从家出发上学，7：30 到校。有一天，明明 6：50 就从家出发，他想：“我
今天出门早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走 lO 米，结果他到校时比往常迟到了 5 分
钟。明明家离学校________米。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】平时明明用 30 分钟，今天用了 45 分钟，时间比为 2:3,则速度比为 3:2，那么可知平时速度为 30
米/分钟，所以明明家离学校 900 米。
【答案】900 米
【巩固】 小红从家步行去学校．如果每分钟走 120 米，那么将比预定时间早到 5 分钟：如果每分钟走 90
米，则比预定时间迟到 3 分钟，那么小红家离学校有多远？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】两次的速度比为120:90 4:3 ，路程不变，所有时间比应该是 3:4 ，两次所有时间相差 8分钟，所
以应该分别用了 24 分钟和32 分钟，120 24 2880 米
【答案】 2880 米
【例 37】甲、乙、丙三只蚂蚁从 A、B、C 三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴 B、C、A 爬行，同时
到达后，继续向洞穴 C、A、B 爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行
的路径相同，爬行的总距离都是 7.3 米，所用时间分别是 6 分钟、7 分钟和 8 分钟，蚂蚁乙从洞
穴 B 到达洞穴 C 时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴 C 到达洞穴 A 时爬行了（ ）米。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】2.4；2.1
【答案】2.4；2.1
【例 38】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到
达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以
甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.
【答案】30 分
【例 39】上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；
相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目
的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，
根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 10× 3= 30 分钟，
所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30
分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时
是 8 点 5 分．
【答案】8 点 5 分
【例 40】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上
学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么上坡的速度是平路速
度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是 1．由于下坡路与一半平路的长度相
同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 51 1.6 8
，因此，走上坡路
需要的时间是 5 112 8 8
，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 111: 8:118
，
所以，上坡速度是平路速度的 8
11
倍．
【答案】 8
11
倍
【例 41】一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3
4
前进，最终到达目的地晚 1.5 小
时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3
4
前进，则到
达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3
4
前进，最终到达目的地晚 1.5 小时，
所以后面以原速的 3
4
前进的时间比原定时间多用1.5 0.5 1 小时，
而速度为原来的 3
4
，所用时间为原来的 4
3
，
所以后面的一段路程原定时间为 41 ( 1) 33
小时，原定全程为 4 小时；
出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3
4
前进，则到达目的地
仅晚 1 小时，所以后面以原速的 3
4
前进的时间比原定时间多用1 0.5 0.5 小时
所以后面的一段路程原定时间为 40.5 ( 1) 1.53
小时，
类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：3 1.5 1.5 小时
而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 90 1.5 4 240 公里．
【答案】 240 公里
【巩固】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小
时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分
到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划
的 1÷10/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 1/10，原计划
时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为
原来的 7/6，则此后所用时间为原计划的 1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用 1/7 的时间，所以 1 小
时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千
米后余下的时间为：
5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15=
1260(千米)．
【答案】1260 千米
【巩固】 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20％，那么可以比原定时间提前 1 时到达；如果以原
速行驶 100 千米后再将车速提高 30％，那么也比原定时间提前 1 时到达。求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 360 千米。解：时间与速度成反比，车速提高 20% ，所用时间为原来的 5
6
，原来需要 51 1 66
（时）。同理，车速提高了 30% ，所用时间是原来的10
13
。因为提前1小时到达，所以车速提高后
的这段路原来用 10 131 1 13 3
（时）。甲、乙两地相距 13100 6 6 3603
（千米）
【答案】 360 千米
【巩固】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达．如果按原速行驶一段距离
后，再将速度提高 30% ，也可以提前 1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】车速提高 20%，即为原速度的 6/5，那么所用时间为原来的 5/6，所以原定时间为 51 (1 ) 66
小
时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的 13/10，所用时间为原来的
10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 10 11 (1 ) 413 3
小时．所以前面按原速度行使的
时间为 1 56 4 3 3
小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的 5 563 18
【答案】 5
18
【巩固】 一辆汽车按计划行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的 3
5
继续行驶，到达目的地的时间比计划
的时间迟了 2 时。如果按计划速度行驶的路程再增加 60 千米，那么到达目的地的时间比计划时
间只迟 1 时。问：计划速度是多少？全程有多远？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】40 千米／时；160 千米。提示：按计划速度多行驶 60 千米可以少迟到 1 时，那么按计划速度多
行驶 120 千米就可以按时到达，即行驶 1 时后还剩 120 千米。设计划速度为 x 千米/时，则有
120 1202 3
5
x x
。
【答案】40 千米／时
模块四、比例综合题
【例 42】自行车轮胎安装在前轮上行驶 5000 千米后报废，若安装在后轮上只能行驶 3000 千米。为行驶
尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车
上的一对轮胎最多可行驶多少千米?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛
【解析】由题目可知，后轮与前轮的磨损比为 5000∶3000＝5∶3，所以当车行到 3000× 5
3 5
＝ 9000
8
时，
将前后轮调换，还可以再行驶同样的行程，两轮同时报废.即一对轮胎最多可行驶 3000× 5
3 5 ×2
＝3750（千米）。
【关键词】3750 千米
【例 43】1998 年夏天长江洪水居高下不，8 月 22 日武汉关水位高达 2932 米，已知武汉离长江入海口 1125
千米，而九江离武汉关 269 千米。假设从武汉到入海口的长江江面搬相同，请计算当天九江的
水位是多少米。(取二位小数)
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】当天九江水位是 29.32×1125 269
1125
≈22.31(米)。
【答案】22.31 米
【例 44】甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，
此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】甲、乙两个人同时从 A 地到 B 地，所经过的路程是固定
所需要的时间为：甲 3 个小时，乙 4 个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行 35 千米时，相当与甲走 4 份，已走 3 份，
所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B 两地间距离为 20 千米
【答案】20 千米
【例 45】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，
就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。
两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下
山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
【答案】1.5 小时
【例 46】如图 5，甲、乙两地相距 360 千米，一辆卡车载有 6 箱药品，从甲地开往乙地，同时，一辆摩
托车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车速度是 40 千米/小时，摩托车速度是 80 千米/小时。摩
托车与卡车相遇后，从卡车上卸下 2 箱药品运回乙港。摩托车到达乙地卸下药品后，又立即掉
头…摩托车每次与卡车相遇，都从卡车上卸下 2 箱药品运回乙地，那么将全部的 6 箱药品都运
送到乙地至少需要多少时间？这时摩托车一共行驶了多少路程？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5 年级，2 试
【解析】由于摩托车是卡车速度的 2 倍，因此，每次相遇过程汽车走全程的 1/3，
摩托车掉头后走到终点时，汽车再走全程的 1/3，
也就是说摩托车每完成一次运输，汽车都要走全程的 2/3，从而，
第一次汽车走了 2360 2403
，剩余360 240 120
第二次汽车走了 2120 803
，剩余120 80 40
第三次汽车走了 2 8040 3 3
，最后剩余 80 4040 3 3
可见汽车共走了 40 2360 40 83 3
（ ） 小时。
而摩托车共走了 2 18 80 6933 3
千米。
【答案】 16933
千米
【例 47】A，B 两地相距 125 千米，甲、乙二人骑自行车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行．丙骑摩
托车以每小时 63 千米的速度，与甲同时从 A 出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返
回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时 9 千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同
时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距 45 千米．问：当甲、乙二人相距 20 千
米时，甲与丙相距多少千米?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】我们设乙的速度为 9x，即甲的 x 倍．
当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1”，则乙走了“x”，丙走了“7”，所以有“7”+“x”=125，于
是“1” 125
7 x
，此时甲、丙相距“7”-“1”=“6”．这样丙第一次回到甲时，甲又向前行
63 9
“6” ×9= 3
4
“ ”,
丙又行了“6”- 3 21
4 4
“ ”“ ”，乙又行了 3 3
4 4x x “ ” “ ”所以，甲、乙此时相距
21 3 3 3 125 3 7(7 ) (7 ) 1254 4 4 4 7 4 7
xx x xx x
“ ”“ ”“ ” 千米.
有丙第二次回到甲处的时，125 千米的路程相当于百 3 7 1254 7
x
x
千米，即甲、乙相距
2
3 7 125 454 7
x
x
，所以
27 16
7 25
x
x
, 7 4
7 5
x
x
,解得 7
9x 所以乙的速度为 79 9 79x
千米／小时．
当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距 3 7 3 4 345 45 45 274 7 4 5 5
x
x
千米．
当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距 3 81275 5
千米，而题中甲、乙相距 20 千米，此时应在甲、
丙第三次和第四次相遇的某个时刻．
有 81 1920 5 5
千米，而甲、乙的速度比为 9：7，所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退19 9 171
5 9 7 80
千米即可．
又因为丙的速度是甲的 7 倍，所以丙倒退的路程应为甲的 7 倍，于是甲、丙相距
171 171(7 1) 17.180 10
千米
当甲、乙二人相距 20 千米时,甲与丙相距 17.1 千米.
评注：甲从 A 地往 B 地出发，乙从 B 地往 C 出发，丙从 A 地开始在甲乙之间来回往返跑动．
当甲丙第 1 次相遇时所需的时间为 t，(甲、丙同时出发时，算第 0 次相遇)
则甲丙第 2 次相遇时还所需的时间为 v v v v tv v v v
乙丙 甲 丙
乙丙 甲 丙
则甲丙第 3 次相遇时还所需的时间为
2
v v v v tv v v v
乙丙 甲 丙
乙丙 甲 丙
则甲丙第 n 次相遇时还所需的时间为
1n
v v v v tv v v v
乙丙 甲 丙
乙丙 甲 丙
由此可知,丙在相邻的 2 次相遇之间所走路程为等比数列.
【答案】17.1 千米
【例 48】一座石台的下底面是边长为 10 米的正方形，它的一个顶点 A 处有一个虫子巢穴，虫甲每分爬 6
厘米，虫乙每分爬 10 厘米，甲沿正方形的边由 A→B→C→D→A 不停的爬行，甲先爬行 2 厘米
后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬
行过的路线追赶甲……在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 213 分。解：见下表，其中“乙下次要比甲多爬行的路程”＝“甲已爬行路程”×2。
由上表看出，第 6 次追上时，甲已爬行一圈多了，所以最后一次是第 5 次追上，此时，乙共
爬行 0.5＋2.5＋10＋40＋160＝213（分）。
【答案】213 分
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