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课时达标训练（十一）
[即时达标对点练]
题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
2．抛物线y＝－的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2 C．x＝ D．y＝4
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．－
题组2 求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
题组3 抛物线定义的应用
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
7．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为( )
A．(7，±) B．(14，±)
C．(7，±2) D．(－7，±2)
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
题组4 抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，
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求其中最长支柱的长．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
[能力提升综合练]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6 C. D.
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，
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－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2. 解析：选B 由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3. 解析：选B ∵2p＝|a|，∴p＝.∴焦点到准线的距离是.
4. 解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
5. 解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
6. 解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
7. 解析：选C 由y2＝8x，得抛物线的准线方程为x＝－2，因P点到焦点的距离为9，故P点的横坐标为7.由y2＝8×7，得y＝±2，即P(7，±2)．
8. 解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
9. 解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
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依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，
2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10. 解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
能力提升综合练
1. 解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
2. 解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.
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故到焦点的距离最小值为.
3. 解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4. 解析：选C ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5. 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，解得p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
6. 解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．
设P(x0，4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
7. 解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
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∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8. 解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，
∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x
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