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课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1 椭圆的标准方程
1．已知方程 ＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，10) B．(7，10)
C．(4，7) D．(4，＋∞)
2．已知椭圆 ＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
6．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
[能力提升综合练]
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1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A. B.
C. D．4
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
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答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 由题意知解得76＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2. 解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3. 解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4. 解析：选B ∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.
∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5. 解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6. 解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
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7. 解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8. 解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)
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