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小题提速练(六)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{y|y＝lg x，x＞1}，集合B＝{x|y＝}，则A∪(∁RB)＝( )
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．∅
解析：选A.A＝{y|y＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，∁RB＝{x|x＞2或x＜－2}，∴A∪(∁RB)＝{x|x＜－2或x＞0}，故选A.
2．已知m，n∈R，i为虚数单位，若m－1＋ni＝，则m·n＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.m－1＋ni＝＝1＋i，则m－1＝1，n＝1，所以m·n＝2，故选A.
3．已知loga＞1，＞1,2c＝π，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：选D.由loga＞1⇒0＜a＜，＞1⇒b＜0.2c＝π，c＝log2π＞log22＝1，∴c＞a＞b，故选D.
4．已知点A(3,4)，B(－3，－2)，若过点P(2,1)的直线l与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≤3 B.＜k＜3
C．k≥ D．k≥3或k≤
解析：选B.直线PA的斜率k1＝＝3，直线PB的斜率k2＝＝，因此可知直线l的斜率k的取值范围是＜k＜3，故选B.
5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
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A．240＋21π B．208＋15π
C．240＋33π D．196＋33π
解析：选B.由三视图还原后的直观图下面是一个长、宽、高依次为10,4,5的长方体，其表面积为2(10×4＋4×5＋5×10)－6×2＝208，上面是半径为3高为2的半个圆柱，其表面积为π×32＋π×3×2＝15π，故选B.
6．如图是计算S＝1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框内①处，判断框中的②处应填的语句是( )
A．n＝n＋1，i＞13?
B．n＝n＋1，i＝13?
C．n＝n＋3，i＞13?
D．n＝n＋3，i＝13?
解析：选C.由题意S＝1＋＋＋…＋时，恰有n＝40，i＝14，这时输出S，故选C.
7．在△CAB中，P为线段AB上的中点，Q为线段CP的中点，过点Q的直线分别交CA，CB于M，N两点，且＝m，＝n(n＞0，m＞0)，若n＝，则m＝( )
A. B.
C. D.
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解析：选B.由题可知＝(＋)，又＝m，＝n，＝2，所以＝＝＝＋，由M，Q，N三点共线，＋＝1，∵n＝，可知m＝，故选B.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，且acos A＝bcos B，则三角形的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等边三角形或直角三角形
解析：选D.因为A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B，所以B＝.又sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B＝C＝或A＋B＝，故选D.
9．设x，y满足约束条件M＝在M内任取一点P(x，y)，则使得事件x2＋y2≤2发生的概率为( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：选A.如图，由题意知，满足条件的x，y构成的点(x，y)在边长为2的正方形及其内部，其面积为8，事件x2＋y2≤2对应的图形为半径为，圆心在坐标原点的圆及其内部，其面积为2π，故使得x2＋y2≤2发生的概率为P＝＝，故选A.
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，将f(x)的图象向右平移m个单位得到g(x)的图象关于y轴对称，则正数m的最小值为( )
A. B.
C. D.
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解析：选C.由图象可知，A＝1，T＝＝π，故ω＝＝2，由于为五点作图的第二点，
∴2×＋φ＝，解得φ＝，所以
f(x)＝sin，由y＝sin＝－cos 2x＝g(x)，故选C.
11．已知f(x)＝sin2x＋4tcos2＋t3－3t，－1≤t≤1，f(x)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1]和
B.
C.
D.
解析：选C.因为f(x)＝1－cos2x＋2t(1＋cos x)＋t3－3t＝－cos2x＋2tcos x＋t3－t＋1＝－(cos x－t)2＋t3＋t2－t＋1，f(x)的最大值g(t)＝t3＋t2－t＋1.对g(t)求导即得其单调递减区间为，故选C.
12．已知直三棱柱ABCA1B1C1的外接球表面积为100π，且AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，则该三棱柱的体积等于( )
A．30 B．15
C．10 D．5
解析：选A.因为AC⊥BC，所以AB是三角形ABC的外接圆直径，圆心为O1，A1B1是三角形A1B1C1的外接圆直径，圆心为O2，可知球心为O1O2的中点O，三棱柱的高为O1O2.由S＝4πR2＝100π，可得球半径OB＝5，在直角三角形OO1B中，OB2＝O1B2＋，即52＝＋，所以O1O2＝5，V＝×5＝30，故选A.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(2)，则a的取值范围是________．
解析：由偶函数的性质得已知不等式可化为f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(2)，即f(log2a)＋
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f(log2a)≤2f(2)，所以f(log2a)≤f(2)，∴f(|log2a|)≤f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|log2a|≥2，即a的取值范围是∪[4，＋∞)．
答案：∪[4，＋∞)
14．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的最大值为________．
解析：画出约束条件
的可行域(如图)，因为a＞0，b＞0，所以目标函数z＝ax＋by在点A(1,2)处取得最大值4，代入得a＋2b＝4，又因为a＋2b≥2，由4≥2，得ab≤2，当且仅当a＝2b＝2时取等号，所以ab的最大值为2.
答案：2
15．给出下列五个命题：
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②△ABC中，2A＝2B是sin 2A＝sin 2B成立的充要条件；③当x＞0且x≠1时，有ln x＋≥2；④若函数y＝f(x－1)为R上的奇函数，则函数y＝f(x)的图象一定关于点F(1,0)成中心对称；⑤存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b．其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，错误，如a＝3≥1，b＝－2，但a＋b＝1＜2；对于②，在△ABC中，必要条件不成立，还可能有2A＋2B＝π，故错误；对于③，只有x＞1时才成立，故错误；对于④，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位可得到函数y＝f(x)的图象，y＝f(x)的图象关于点M(－1,0)成中心对称，故错误；对于⑤，存在正实数a＝2，b＝2，使得lg(2＋2)＝lg 22＝2lg 2＝lg 2＋lg 2成立，故⑤正确．
答案：①②③④
16．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线的右支上的动点，当最小值取8a时双曲线的离心率的取值范围为________．
解析：由双曲线的定义得|MF1|＝|MF2|＋2a，所以＝＝4a＋|MF2|＋≥4a
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＋2＝8a，当且仅当|MF2|＝2a时等号成立，此时|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，在△MF1F2中，由|MF1|＋|MF2|≥2c有4a＋2a≥2c，即≤3，所以1＜e≤3.
答案：1＜e≤3
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