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小题提速练(四)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：选D.因为a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
2．若全集U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x－1＞0}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
解析：选A.A＝{x|1＜2x＜4}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，则∁UB＝{x|x≤1}，则A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．
3．已知命题p：∀x≥0,2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧﹁q
C．﹁p∧﹁q D．﹁p∨q
解析：选B.命题p：∀x≥0,2x≥1为真命题，命题q：若x＞y，则x2＞y2为假命题(如x＝0，y＝－3)，故﹁q为真命题，则p∧﹁q为真命题．
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．2 B．－2
C．－98 D．98
解析：选B.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期是4，∵f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )
A.π B.π
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C.π D.π
解析：选A.由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为1，母线长为2，
∴圆锥的高度为，∴V＝××π×12×＝.
6．在区间[－2,4]上随机地抽取一个实数x，若x满足x2≤m的概率为，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选D.如图区间长度是6，区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足x2≤m的概率为，所以m＝9.
7．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
解析：选A.f′(x)＝g′(x)＋2x，∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6,8,0，则输出a和i的值分别为( )
A．0,4 B．0,3
C．2,4 D．2,3
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解析：选C.模拟执行程序框图，可得a＝6，b＝8，i＝0，i＝1，不满足a＞b，不满足a＝b，b＝8－6＝2，i＝2，满足a＞b，a＝6－2＝4，i＝3，满足a＞b，a＝4－2＝2，i＝4，不满足a＞b，满足a＝b，输出a的值为2，i的值为4.
9．已知sin φ＝，且φ∈，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得＝＝，
∴ω＝2.
由sin φ＝，且φ∈，可得cos φ＝－，则f＝sin＝cos φ＝－.
10．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是( )
A.－1 B.－1
C.＋1 D.＋1
解析：选A.由||＝1及C(0，－2)可得点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝1，即∴＋＋＝(＋cos θ，sin θ－1)，|＋＋|2＝(＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝2＋2cos θ＋cos2θ＋sin2θ－2sin θ＋1＝4＋2cos(θ＋φ)≥4－2，∴|＋＋|≥－1.
11．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
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解析：选C.如图，因为＝2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3，故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒＝.∴e2＝1＋＝4⇒e＝2.
12．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据题意作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC.∵CO1＝×＝，
∴OO1＝，∴SD＝2OO1＝，
∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC＝，∴V＝××＝.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5∶4∶3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是________．
解析：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为240的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数×240＝80.
答案：80
14．若实数x，y满足约束条件则的取值范围是________．
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解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分，则由图象知x＞0，则设k＝，则z＝＝，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大，OC的斜率最小，由得
即A(1,2)，由得即C，则OA的斜率k＝2，
OC的斜率k＝＝，则≤k≤2，则≤≤，则≤≤，即的取值范围是.
答案：
15．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn＝a＋2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an＝________.
解析：当n＝1时，由4S1＝a＋2a1，a1＞0，得a1＝2，当n≥2时，由4an＝4Sn－4Sn－1＝(a＋2an)－(a＋2an－1)，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2，故an＝2＋(n－1)×2＝2n，代入n＝1得a1＝2符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
16．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝2，则弦AB中点到抛物线准线的距离为________．
解析：令A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点D(x0，y0)，F(1,0)，
由＝2得，
∴故
∵两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，故kAB＝＝，又kFB＝，
∴kAB＝kFB，∴＝，
∴y2(y1＋y2)＝4(x2－1)，即－y＝4(x2－1)，又－y＝－4x2，∴4(x2－1)＝－4x2，得x2＝，∴x0＝＝，AB中点到抛物线准线距离d＝x0＋1＝.
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答案：
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