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小题提速练(五)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“lg x＞lg y”是“10x＞10y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.∵lg x＞lg y，∴x＞y＞0，∵10x＞10y，∴x＞y，∴lg x＞lg y能推出10x＞10y，反之则不能，∴lg x＞lg y是“10x＞10y”的充分不必要条件．
2．已知集合M＝{y|y＝x＋，x∈R，x≠1}，集合N＝{x|x2－2x－3≤0}，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆∁RN
C．M⊆∁RM D．M∪N＝R
解析：选D.由题意，y＝x＋＝(x－1)＋(x≠1)，
当x＞1时，y≥2＋1＝3，当x＜1时，y＝x＋＝－＋1≤－1，则函数y＝x＋(x≠1)的值域为{y|y≤－1或y≥3}，集合M为函数y＝x＋(x≠1)的值域，则M＝{y|y≤－1或y≥3}，x2－2x－3≤0⇔－1≤x≤3，则N＝{x|－1≤x≤3}．分析选项可得M∩N＝{－1,3}，A项错误；∁RN＝{x|x＜－1或x＞3}，有∁RN⊆M，B项错误；M≠∅，则M⊆∁RM不成立，C项错误；M∪N＝R成立，D项正确．
3．设＝1＋i(i是虚数单位)，则在复平面内，z2＋对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.因为＝1＋i(i是虚数单位)，则在复平面内z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－2i＋＝1－i，所以在复平面内，z2＋对应的点位于第四象限．
4．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋，则＝( )
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A．10.5 B．5.25
C．5.2 D．5.15
解析：选B.＝＝2.5，＝＝3.5，
∴3.5＝－0.7×2.5＋，解得＝5.25.
5．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x
解析：选A.函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得y＝sin，再向上平移1个单位得y＝sin＋1＝1＋cos 2x＝2cos2x.
6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是( )
A．4π B．7π
C．6π D．5π
解析：选D.由三视图知，该几何体是一个简单的组合体，上面是一个半球，半球的直径是2，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，圆柱的高是1，∴几何体的表面积由三部分组成，一个半球面，一个圆和一个圆柱的侧面，∴S＝×4π×12＋π×12＋2π×1×1＝5π.
7．函数y＝的图象可能是( )
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解析：选B.令f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除A、C；当x＞0时，y＝＝ln x为增函数，排除D.
8．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若{log2an}是公差为－1的等差数列，且S6＝，则a1等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵{log2an}是公差为－1的等差数列，
∴log2an＋1－log2an＝－1，即log2＝log2，∴＝，∴{an}是公比为的等比数列，又∵S6＝＝，
∴a1＝.
9．已知函数f(x)＝－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )
A．x0＜a B．x0＞b
C．x0＜c D．x0＞c
解析：选D.∵y＝是R上的减函数，y＝log2x是(0，＋∞)上的增函数，∴f(x)＝－log2x是(0，＋∞)上的减函数，又∵f(a)f(b)f(c)＜0，且0＜a＜b＜c，∴f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，故f(c)＜f(x0)＝0，故c＞x0，故x0＞c不可能成立．
10．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则
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＋的最小值为( )
A. B.
C．1 D．4
解析：选B.作出不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线2x－y－6＝0的交点A(8,10)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值40，即8a＋10b＝40，即4a＋5b＝20，则＋＝＝＋≥＋1＝.当且仅当＝时取等号，则＋的最小值为.
11．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝ax·g(x)(a＞0，a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)·g′(x)＞f′(x)·g(x)．若＋＝，则a等于( )
A. B．2
C. D．2或
解析：选A.由＋＝得a1＋a－1＝，所以a＝2或a＝.又由f(x)·g′(x)＞f′(x)·g(x)，即f(x)g′(x)－f′(x)g(x)＞0，也就是′＝－＜0，说明函数＝ax是减函数，即0＜a＜1，故a＝.
12．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
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解析：选B.∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义|AF|＋|AF′|＝2a，又∵|BF|＝|AF′|，∴|AF|＋|BF|＝2a①，O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c，又|AF|＝2csin α②，|BF|＝2ccos α③，把②③代入①得：2csin α＋2ccos α＝2a，
∴＝，即e＝＝，
∵α∈，∴≤α＋≤，
∴≤sin≤1，∴≤e≤.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．设函数f(x)＝则f＝________.
解析：∵函数f(x)＝∴f＝3＞0，
∴f＝f＝log33＝－.
答案：－
14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
解析：由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，得到B＝，所以cos B＝，又a＝1，b＝，根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，即c2－c－2＝0，因式分解得(c－2)(c＋1)＝0，解得c＝2，c＝－1(舍去)，又sin B＝，b＝，根据正弦定理＝得sin C＝＝＝1.
答案：1
15．向量＝为直线y＝x的方向向量，a1＝1，则数列{an}前2018项的和为________．
解析：因为是直线y＝x的方向向量，得an＋1－＝，化简得an＋1＝an，根据数列的递推式发现，此数列各项都相等，都等于第一项a1，而a1＝1，则数列{an}的前2018项和为S2018＝1×2018＝2018.
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答案：2018
16．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为________．
解析：(x－5)2＋y2＝16的圆心为(5,0)，半径为4，则圆心到直线的距离为＝4，点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为＝4.
答案：4
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