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小题提速练(八)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈R}，则集合A∩B中的元素个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.集合的交集问题转化为直线x＋y＝0和x－y＝0的交点问题，作出直线x＋y＝0和x－y＝0，观察它们的图象的交点只有一个，故选B.
2．已知i是虚数单位，＝1＋i，则|z|＝( )
A．5 B.
C．2 D．10
解析：选B.由题知，5－iz＝(1＋i)z，(1＋2i)z＝5，
z＝，
|z|＝＝＝＝，故选B.
3．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A．p∧q B．p∧(﹁q)
C．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选C.因为0＜a＝0.30.3＜0.30＝1，b＝1.20.3＞1.20＝1，c＝log1.20.3＜log1.21＝0，所以c＜a＜b，故命题p为假命题，﹁p为真命题；由x2－x－6＞0可得x＜－2或x＞3，故“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，q为真命题，故(﹁p)∧q为真命题，选C.
4．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则∠A＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵＝(2,2)，∴||＝＝2，
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∴cos A＝＝＝－，∵0＜A＜π，∴∠A＝，故选D.
5．已知正项等比数列{an}的首项a1＝1，a2·a4＝16，则a8＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选C.因为a2·a4＝16＝(a3)2，所以a3＝4，因为a3＝a1q2＝4，a1＝1，所以q2＝4，即q＝±2，q＝－2舍去，所以q＝2，所以a8＝a3q5＝4×25＝27＝128，故选C.
6．定义在[－2,2]的函数f(x)对于任意的x1＜x2，x1，x2∈[－2,2]，都有f(x1)＜f(x2)，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的范围是( )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,2)
解析：选C.∵函数f(x)满足对于任意的x1，x2∈[－2,2]都有f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增，
∴∴∴0≤a＜1，故选C.
7．过球O的一条半径的中点且与该半径垂直的截面圆的面积是4π，则球O的表面积是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设该球的半径为R，由条件可得截面圆的半径为2，且＋4＝R2，解得R＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝，故选D.
8．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为16，则输入的实数x为( )
A．2
B．4
C．－6
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D．2或4
解析：选A.由程序框图得y＝若y＝16，则有或，解得x＝2，故选A.
9．已知sin(70°＋α)＝，则cos2－sin2＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A.由题知，cos2－sin2＝cos(α＋160°)＝－cos(α－20°)＝－sin(70°＋α)＝－，故选A.
10．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外其余完全相同)，甲先从袋中摸出一球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一球，记下编号，则甲乙两人摸出的球的编号不同的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设甲乙两人摸出球的编号相同的事件为A，其对应的概率是P(A)＝＝，其对立事件为甲乙两人摸出球的编号不相同，由对立事件的性质可知P()＝1－P(A)＝，故选C.
11．已知O是坐标原点，双曲线－y2＝1(a＞0)上有一点P，过点P作双曲线两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B两点，平行四边形OBPA的面积是1，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.双曲线的渐近线方程是x±ay＝0，设P(m，n)是双曲线上的任意一点，过P平行于OB：x＋ay＝0的方程是x＋ay－m－an＝0与OA：x－ay＝0的交点是A，∴|OA|＝·，点P到OA的距离是d＝，因为|OA|·d＝1，所以··＝1，∴m2－a2n2＝2a，又因为－n2＝1，∴a2＝2a，所以a＝2，c＝，即e＝
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eq \f(\r(5),2)，故选C.
12．已知函数f(x)＝ex＋eln x－2ax在x∈(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，e) D．(－∞，e]
解析：选D.依题意，f′(x)＝ex＋－2a≥0在x∈(1,3)上恒成立，即a≤＋在x∈(1,3)上恒成立，令g(x)＝＋，则g′(x)＝－，令h(x)＝－，则h′(x)＝＋＞0，g′(x)＝－≥g′(1)＝0，
∴g(x)在x∈(1,3)上单调递增，a≤g(1)＝e，故选D.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．甲、乙、丙三人中，有牧师、赌徒和骗子，牧师从不说谎，骗子总是说谎，赌徒有时说谎，有时候讲真话，甲说：“我是赌徒．”乙说：“甲是骗子．”丙说：“甲是牧师．”那么真正的牧师是________．
解析：若甲是牧师，则甲说的是真话，但是甲是赌徒，这与甲是牧师矛盾；所以甲可能是赌徒或骗子，若丙是牧师，则丙说的是真话，即甲是牧师，这与丙是牧师矛盾，故乙是牧师，则乙说的是真话，甲是骗子，丙是赌徒．
答案：乙
14．若实数x，y满足不等式|x＋1|≤y≤a，a＞0，若z＝2x－y的最小值是－8，则a＝________.
解析：作出可行域，如图所示，联立
解得
或即
A(－1－a，a)，B(a－1，a)，令z＝0得直线l0：y＝2x，l0向上移动，z＝2x－y的值变小，故经过点A(－1－a，a)时，zmin＝－8，即2(－1－a)－a＝－8，解得a＝2.
答案：2
15．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中a＋b＝10，则该四棱锥体积的最大值为________．
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解析：由三视图可知，P在底面的射影在AD边上，即正视图等价于△PAD，P点为以A，D为焦点的椭圆上的点，则当a＝b＝5时，PE有最大值为4，则V四棱锥＝×2×6×4＝16，故该四棱锥体积的最大值为16.
答案：16
16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2＝a2＋c2－ac，b＝，△ABC的面积是S，则S＋cos Acos C的最大值是________．
解析：由题知，ac＝a2＋c2－b2＝2accos B，即cos B＝，所以B＝，设△ABC外接圆的半径为R，所以2R＝＝＝2，解得R＝1，因为S＋cos Acos C＝acsin B＋cos Acos C＝×2Rsin A×2Rsin C×＋cos Acos C＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos(A－C)，显然当A＝C时，cos(A－C)max＝1，(S＋cos Acos C)max＝.
答案：
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