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小题提速练(九)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|2－x＜0}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{1} B．{0,1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析：选D.∵A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x＞2}，∁RB＝{x|x≤2}，∴A∩(∁RB)＝{0,1,2}，故选D.
2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.∵z＝＝＝＝－＋，∴＝－－，故对应的点在第三象限．
3．设某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该中学某高中女生身高为160 cm，则可断定其体重必为50.29 kg
解析：选D.因为回归直线方程＝0.85x－85.71中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正线性相关关系，所以选项A正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(，)，所以选项B正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，所以选项C正确，选项D不正确．
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x＝2 017，则输出的i＝( )
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A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.执行框图得a＝2 017，i＝1，b＝＝－≠2 017，∴i＝2，a＝－，b＝＝≠2 017，
∴i＝3，a＝，b＝＝2 017＝x，∴输出的i＝3.
5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3,1) D．(1，＋∞)
解析：选A.依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1，故选A.
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( )
A．1.2 B．1.6
C．1.8 D．2.4
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解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x、3、1的长方体，
∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故选B.
7．若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是( )
A．－270 B．270
C．－90 D．90
解析：选C. 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数之和．令x＝1，得4n＝1 024，∴n＝5.的通项Tr＋1＝C·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x，令＋＝0，解得r＝3，
∴展开式中的常数项为T4＝C·32·(－1)3＝－90，故选C.
8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
9．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝
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解析：选D.A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x→0＋时，f(x)＜0，与题图不符，故不成立．故选D.
10．设x，y满足约束条件，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：选B.根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：
图1
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2所示：
图2
虚线向上移动时z减小，故z→－∞时，没有最小值，故只有a＝3满足题意．选B.
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图，设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，
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∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，
∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，
∵OA⊥BF，
∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝m，
∴－tan 2α＝－＝＝＝，
解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝ ＝a，∴e＝＝.
12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsin C，则tan A＋tan B＋tan C的最小值是( )
A．4 B．3
C．8 D．6
解析：选C.a＝2bsin C⇒sin A＝2sin Bsin C⇒sin(B＋C)＝2sin Bsin C⇒＋＝2⇒tan B＋tan C＝2tan Btan C，又根据三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C(注：tan A＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－，即tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C)⇒tan A＋2tan Btan C＝tan Atan B tan C⇒tan Btan C＝，
∴tan Atan Btan C＝tan A·＝(tan A＝m)，由△ABC为锐角三角形知＞0，∴m－2＞0
令m－2＝t(t＞0)⇒＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝，即t＝2，tan A＝4时，取等号．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．已知直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，且与直线x＋2y＋3＝0垂直，则l的方程为________．
解析：依题意可知，直线l过圆心C且斜率k＝2，故直线l的方程为y－1＝2，即2x－y＋2＝0.
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答案：2x－y＋2＝0
14．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)等于________．
解析：小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A＝4×3×2×1＝24种，
∴P(A|B)＝＝.
答案：
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9项和为________．
解析：由Sn≤S5得，即，得－≤d≤－，又a2为整数，
∴d＝－2，an＝9＋(n－1)×(－2)＝11－2n，
＝，
∴数列的前n项和Tn＝＝，
∴T9＝－×＝－.
答案：－
16．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于E，连接CE.则⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE，而在平面BCD中，EC与BD不垂直，故假设不成立，①错．
②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．
③假设AD⊥BC，
∵DC⊥BC，∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.
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答案：②
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