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小题提速练(十)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z为复数，且2z＋＝6－4i，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.设z＝x＋yi，则有3x＋yi＝6－4i，x＝2，y＝－4，故z在复平面内对应的点是(2，－4)，该点位于第四象限，选D.
2．设集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x∈Z|x2－5x＜0}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{2,3}
C．{1,2,3} D．{2,3,4}
解析：选A.依题意得A＝{－1,1,2}，B＝{x∈Z|0＜x＜5}＝{1,2,3,4}，故A∩B＝{1,2}，选A.
3．cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°＝cos(80°＋130°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－，选D.
4．已知向量a＝(1，)，|b|＝1，且向量a与b的夹角为60°，则(a－b)·b＝( )
A．0 B．－1
C．2 D．－2
解析：选A.(a－b)·b＝|a||b|cos 60°－b2＝0，选A.
5．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D.如图，画出不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线2x－y＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(1,0)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z取得最大值2，选D.
6．如图所示，墙上挂有一块边长为π的正方形木板，上面画有正弦函数y＝sin x半个周期的图象．某人向此木板投镖
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，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都相同，则他击中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.阴影部分的面积为sin xdx＝－cosx＝2，因此所求的概率为，选C.
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n的值为( )
A．12 B．24
C．48 D．96
解析：选B.当n＝6时，S＝＜3.10；当n＝12时，S＝3＜3.10；当n＝24时，S＝3.105 6＞3.10，故输出的n的值为24，选B.
8．设a＝log23，b＝log46，c＝log89，则下列关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解析：选A.依题意得b＝＝log26，c＝＝log29，因为3＞6＝(63)＞(92)＝9，所以a＞b＞c，选A.
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9．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F1关于渐近线的对称点位于以点F2为圆心、|OF2|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2
C. D．3
解析：选B.如图，记点F1关于渐近线的对称点为M，连接F1M，MF2，OM，则有|OF2|＝|F2M|＝c＝|OM|，F1M⊥MF2，△OMF2为正三角形，∠MF2F1＝60°，一条渐近线的倾斜角为60°，于是有＝tan 60°＝，故双曲线C的离心率为 ＝2，选B.
10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B．8π
C．9π D.
解析：选D.可将该几何体放入长方体中，如图，该几何体是三棱锥ABCD，设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，BD的中点为E，易知球心O在平面BCD、平面ABD上的射影分别为O1，O2，四边形OO1EO2是矩形，OO1＝O2E＝×AB＝AB＝，O1D＝CD＝，所以球的半径R＝＝，所以该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝，选D.
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sin φcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0,2] B.
C. D.
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解析：通解：选C.f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ωx＋φ)－sin φcos(ωx＋φ)＝sin ωx，＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z⇒＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，所以＋≤π＜≤＋，k∈Z，由＋≤π，可得＋2k≤ω，k∈Z，由≤＋，k∈Z，可得ω≤1＋，k∈Z，所以＋2k≤ω≤1＋，k∈Z，又≥－π＝，所以≥π，因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k＝0时，≤ω≤1.故选C.
优解：f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ωx＋φ)－sin φcos(ωx＋φ)＝sin ωx，当ω＝1时，f(x)＝sin x，函数f(x)在上单调递减，所以在上单调递减，满足题意，排除B；当ω＝时，f(x)＝sinx，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以在上既有增区间，又有减区间，不符合题意，排除A，D.故选C.
12．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，∀x∈(0，＋∞)，f(f(x)－ln x)＝e＋1(其中e为自然对数的底数)，且方程f(x)－kx＝0有两个不同的实根，则k的取值范围是( )
A．(0，e) B．(0，ee－1)
C．[1，e) D．[1，ee－1)
解析：选B.设f(x)－ln x＝t(t＞0且t为常数)，则f(t)＝e＋1，f(x)＝t＋ln x，f(t)＝t＋ln t＝e＋1，t＝e，f(x)＝e＋ln x．过原点向曲线f(x)作切线，设切点是(x0，y0)，则，由此解得x0＝e1－e.因此，满足题意的k的取值范围是(0，ee－1)，选B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊5名成员同时抢四个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，四个红包中有一个1元、一个2元、两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的不同情况共有________种．
解析：第一步，确定除甲、乙两人都抢到红包之外，另外抢到红包的人选，共有C种情况；第二步，确定哪两人抢到两个3元红包，共有C种情况；第三步，确定余下两人哪个抢到1元红包、哪个抢到2元红包，共有A种情况．由分步乘法计数原理得知，甲、乙两人都抢到红包的不同情况共有C·C·A＝36种．
答案：36
14．设数列{an}的前n项和为Sn，an＞0且a1＝1，若Sn＋1＋Sn＝，则a25＝________.
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解析：依题意得(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＝1，
S－S＝1，故数列{S}是以S＝1为首项、1为公差的等差数列，S＝1＋n－1＝n.又Sn＞0，因此Sn＝，a25＝S25－S24＝－＝5－2.
答案：5－2
15．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出A，B两点间的距离为20，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°.则C，D两点之间的距离为________．
解析：在Rt△ABC中，AC＝＝40.在△ABD中，＝，得AD＝＝30.在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 45°＝1 000，CD＝10，故C，D两点之间的距离为10.
答案：10
16．已知F是抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，若·＝2(O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________．
解析：设直线AB的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2＜0.由得y2－ty－m＝0，y1y2＝－m.又·＝2，因此x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.又y1y2＝－m＜0，因此y1y2＝－m＝－2，m＝2，直线x＝ty＋2过定点(2,0)，S△ABO＝×2×|y1－y2|＝，S△AFO＝××|y1|＝|y1|，S△ABO＋S△AFO＝＋|y1|＝|y1|＋≥2＝3，当且仅当|y1|＝||，即|y1|＝时取等号，因此△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.
答案：3
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