2018届高考数学（理）二轮专题复习：规范练5-2-3 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 大题规范练(三)‎ ‎(满分70分，押题冲刺，70分钟拿下主观题高分)‎ 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎1．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2－sin B·sin C＝.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由cos2－sin B·sin C＝，‎ 得－sin B·sin C＝－，‎ ‎∴cos(B＋C)＝－，‎ ‎∴cos A＝(0＜A＜π)，∴A＝.‎ ‎(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－bc≥(2－)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋)．‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤4(＋1)，‎ 即△ABC面积的最大值为4(＋1)．‎ ‎2．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，∠DCF＝60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求异面直线BE与CF所成角的余弦值；‎ ‎(2)证明：直线CE⊥平面ADF；‎ ‎(3)已知P为棱BC上的点，且二面角PDFA为60°，求PE的长．‎ 解：(1)∵CD∥EF，CD＝EF＝CF＝2，∴四边形CDEF为菱形．‎ ‎∵∠DCF＝60°，∴△DEF为正三角形．取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF，∴GD⊥CD.‎ ‎∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD⊂平面CDEF，CD＝平面CDEF∩平面ABCD，∴GD⊥平面ABCD，∴GD⊥AD，GD⊥CD.‎ ‎∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG两两垂直．‎ 如图，以D为原点，DA，DC，DG所在直线为x轴，y轴，z轴正方向，建立空 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 间直角坐标系．‎ ‎∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，－1，)，F(0,1，)，∴＝(－1，－2，)，＝(0，－1，)．‎ 设异面直线BE与CF所成的角为α，‎ 则cos α＝|cos〈，〉|＝＝＝.‎ ‎(2)证明：∵＝(1,0,0)，＝(0,1，)，＝(0，－3，)，∴·＝0，·＝0，∴CE⊥DA，CE⊥DF.‎ ‎∵DA，DF是平面ADF内的两条相交直线，∴直线CE⊥平面ADF.‎ ‎(3)依题意可设P(a,2－a,0)(0≤a≤1)，平面PDF的法向量为n＝(x，y，z)．‎ ‎∵n·＝0，n·＝0，∴令y＝a，则x＝(a－2)，z＝－a，∴n＝((a－2)，a，－a)．‎ ‎∵二面角PDFA为60°，＝(0，－3)是平面ADF的一个法向量，‎ ‎∴|cos〈n，〉|＝＝＝.‎ 解得a＝，∴P，‎ ‎∴PE＝＝.‎ ‎3．(本小题满分12分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：‎ 年龄/岁 ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；‎ ‎(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为 P＝·＋·＝×＋×＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝·＝×＝，‎ P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝，‎ P(ξ＝2)＝，‎ P(ξ＝3)＝·＝×＝，‎ ‎∴ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎4．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O为坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．‎ 解：(1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋18－2b2＝0.‎ 由题意Δ＝24(b2－3)＝0，得b2＝3，‎ 则直线l与椭圆E的交点坐标为(2,1)所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2,1)．‎ ‎(2)证明：由已知可设直线l′的方程为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 y＝x＋m(m≠0)，‎ 由方程组 可得 所以P点坐标为，|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组可得3x2＋4mx＋4m2－12＝0.‎ 由Δ＝16(9－2m2)＞0，解得－＜m＜.‎ 则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，‎ x1x2＝.‎ 所以|PA|＝ 把y1＝x1＋m代入得 ‎|PA|＝，‎ 同理|PB|＝.‎ 所以|PA|·|PB|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝m2.‎ 故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.‎ ‎5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2a2ln x－x2(a＞0)．‎ ‎(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x－x2，‎ ‎∴f′(x)＝－2x，∴f′(1)＝0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又f(1)＝－1，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝0.‎ ‎(2)∵f(x)＝2a2ln x－x2，∴f′(x)＝－2x＝＝，‎ ‎∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0.‎ ‎∴f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，＋∞)上是减函数．‎ ‎(3)由(2)得f(x)max＝f(a)＝a2(2ln a－1)．‎ 讨论函数f(x)的零点情况如下：‎ ‎①当a2(2ln a－1)＜0，即0＜a＜时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；‎ ‎②当a2(2ln a－1)＝0，即a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)内有唯一零点a，而1＜a＝＜e2，∴f(x)在(1，e2)内有一个零点；‎ ‎③当a2(2ln a－1)＞0，即a＞时，由于f(1)＝－1＜0，f(a)＝a2(2ln a－1)＞0，f(e2)＝2a2ln e2－e4＝4a2－e4＝(2a－e2)(2a＋e2)，当2a－e2＜0，即＜a＜时，1＜＜a＜＜e2，f(e2)＜0，由函数的单调性可知，函数f(x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，∴f(x)在(1，e2)内有两个零点．‎ 当2a－e2≥0，即a≥＞时，f(e2)≥0，而且f()＝2a2·－e＝a2－e＞0，f(1)＝－1＜0，由函数的单调性可知，无论a≥e2，还是a＜e2，f(x)在(1，)内有唯一的一个零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点．‎ 综上所述，当0＜a＜时，函数f(x)无零点；当a＝或a≥时，函数f(x)有一个零点；当＜a＜时，函数f(x)有两个零点．‎ 请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，‎ ‎∴kC1C2＝＝1，则直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ ‎∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，‎ 又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，‎ ‎∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.‎ ‎7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立．‎ ‎(1)求实数k的最大值；‎ ‎(2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足＋＝n.求7a＋4b的最小值．‎ 解：(1)因为|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立，‎ 设g(x)＝|x＋2|＋|6－x|，则g(x)min≥k.‎ 又|x＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，‎ 当且仅当－2≤x≤6时，g(x)min＝8，‎ 所以k≤8，即实数k的最大值为8.‎ ‎(2)由(1)知，n＝8，所以＋＝8，‎ 即＋＝4，又a，b均为正数，‎ 所以7a＋4b＝(7a＋4b) ‎＝[(5a＋b)＋(2a＋3b)] ‎＝ ‎≥×(5＋4)＝，‎ 当且仅当＝，即a＝5b＝时，等号成立，所以7a＋4b的最小值是.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费