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小题提速练(七)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集U＝R，A＝{x∈N|2x(x－4)＜1}，B＝{x∈N|y＝ln(2－x)}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A∩(∁UB)，∵A＝{x∈N|2x(x－4)＜1}＝{1,2,3}，B＝{x∈N|y＝ln(2－x)}＝{0,1}，
∴阴影部分对应的集合是A∩(∁UB)＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－6 B．－2
C．4 D．6
解析：选A.∵＝＝为纯虚数，
∴解得a＝－6.
3．给出命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q：向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈.关于以上两个命题，下列结论中正确的是( )
A．命题“p∨q”为假 B．命题“p∧q”为真
C．命题“p∨﹁q”为假 D．命题“p∧﹁q”为真
解析：选A.命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q：向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为－2λ－1＜0，解得λ＞－，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a与b异向共线，因此向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈且λ≠2，因此是假命题．
4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
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A．24π B．6π
C．4π D．2π
解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R＝，R＝，所以外接球的表面积为4πR2＝6π.
5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )
7
8
9
10
11
6 9
1 3 6 7
2 9 4 1 5 8 6
3 1
4
图1
图2
A．6 B．10
C．91 D．92
解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.
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6．已知正数x，y满足则z＝4－x·的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z＝4－x·化成z＝2－2x－y，直线z1＝－2x－y过点A(1,2)时，z1最小值是－4，∴z＝2－2x－y的最小值是2－4＝.
7．已知函数y＝Acos(A＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ＝90°，则A的值为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A.过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，∵函数的周期T＝＝4，∴MN＝2，CN＝1，
∵∠PMQ＝90°，
∴PQ＝2MN＝4，即PN＝2，即PC＝＝＝，∴A＝.
8．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．0 B．－100
C．100 D．10200
解析：选B.由题意可得an＝n2cos(nπ)＋(n＋1)2cos[(n＋1)π]＝(－1)n－1(2n＋1)，所以a1
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＋a2＋a3＋…＋a100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.
9．函数f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x－x＋a，则函数f(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵x≤0时，f(x)＝2x－x＋a，
∴f(0)＝20＋a＝0，解得a＝－1，故x≤0时，
f(x)＝2x－x－1，令f(x)＝2x－x－1＝0，解得x＝－1或x＝0，故f(－1)＝0，则f(1)＝0，综上所述，函数f(x)的零点个数是3个．
10．设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＜2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(0，) B．(1，)
C．(，＋∞) D．(0,3)
解析：选B.由题意可得A1(－a,0)，A2(a,0)，设M(m，n)，可得－＝1，即＝，由题意k·k＜2，即为·＜2，即有＜2，即b2＜2a2，c2－a2＜2a2，即c2＜3a2，c＜a，即有e＝＜，由e＞1，可得1＜e＜.
11．已知△ABC外接圆O的半径为1，且·＝－，∠C＝，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.∵·＝－，圆的半径为1，∴cos∠AOB＝－，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB＝，又△AOB为等腰三角形，故AB＝，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即＝，
∴S△ABC＝，设BC＝a，AC＝b，∵C＝，
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∴absin C＝，得ab＝3①，由AB2＝a2＋b2－2abcos C＝3，得a2＋b2－ab＝3，a2＋b2＝6②，联立①②解得a＝b＝，∴△ABC为等边三角形．
12．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)＞f(x)成立，则( )
A．3f(ln 2)＞2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)＜2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
解析：选C.令g(x)＝，
则g′(x)＝＝，因为对任意x∈R都有f′(x)＞f(x)，所以g′(x)＞0，即g(x)在R上单调递增，又ln 2＜ln 3，所以g(ln 2)＜g(ln 3)，即＜，所以＜，即3f(ln 2)＜2f(ln 3)，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：因为点P(2,2)满足圆(x－1)2＋y2＝5的方程，所以P在圆上，又过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax－y＋1＝0平行，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为a＝＝2.
答案：2
14．在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．
解析：∵AB＝AD，B＝，
∴△ABD为正三角形，∵∠DAC＝－C，∠ADC＝，在△ADC中，根据正弦定理可得＝＝，
∴AD＝8sin C，DC＝8sin，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sin＋4
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eq \r(3)＝
8＋4＝8sin＋4，
∵∠ADC＝，
∴0＜C＜，∴＜C＋＜，∴当C＋＝，即C＝时，sin的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8＋4.
答案：8＋4
15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．
解析：由椭圆C：＋＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝＝1，可得F1(－1,0)，F2(1,0)，由AF2⊥F1F2，令x＝1，可得y＝±·＝±，可设A，设P(m，n)，则＋＝1，又－≤n≤，则·＝(m＋1，n)·＝n≤，可得·的最大值为.
答案：
16．定义在R上的函数，对任意实数都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝2，记an＝f(n)(n∈N*)，则a2018＝________.
解析：∵f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，
∴f(x＋1)＋2≤f(x＋3)≤f(x)＋3，∴f(x＋1)≤f(x)＋1，∵f(x＋1)＋1≥f(x＋2)≥f(x)＋2，∴f(x＋1)≥f(x)＋1，∴f(x＋1)＝f(x)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝1，
∴{an}是以f(1)为首项，公差为1的等差数列．
∴a2018＝f(2018)＝f(1)＋(2018－1)×1＝2019.
答案：2019
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