《平方差公式》 教学案
一、教材分析
“平方差公式”是苏教版七年级数学（下册）第九章《从面积到乘法公式》的教学内容，
是学习了整式的乘法运算后为了简化计算而归纳的一个公式，是对多项式乘法中出现的较为
特殊的算式归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例，也是进一步学习完全平方公式、
进行相关代数运算与变形的重要知识基础。它的依据是多项式乘以多项式法则以及合并同类
项法则。
“平方差公式”这一内容属于数学再创造活动的结果，教材为学生在数学活动中获得数
学思想方法、提高能力提供了良好的契机，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数
式的变形中起着十分重要的作用，因此，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学
技能的重要内容，是让学生感悟换元思想，感受数学再创造的好教材。
二、教学目标
知识目标：会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行计算。
能力目标：通过平方差公式的运用，培养学生运用公式的能力、分析、综合和概括能力。
情感目标：培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，让学生在合作探究的学习过
程中体验成功的喜悦，培养学生善于观察、大胆创新的思维品质。
三、教学重点
掌握公式的结构特征，并学会正确运用公式。
四、教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。
五、教学问题诊断分析
1.学生刚学过多项式乘法，已经具备学习和运用平方差公式的知识结构。
2.多项式相乘的形式复杂多变，学生较容易被假象所迷惑；学生学习能力也参差不齐，
部分学生对多项式相乘
还不够熟练和细心。
3.学生的基础能力存在差异，在猜想过程中分不同层次，请学生大胆地猜测出公式，并
对公式有一个直观的认识。
4.为突破难点，可采用小组合作、先体验后归纳的教学方式，使学生从中感悟换元和数
形结合的数学思想。
5.大部分学生都能通过探索小结出平方差公式的特点，但在具体的问题中，还是有些同
学会“判断失误”，关键在于要抓住平方差公式的本质。在完成练习后，应该及时小结平方
差公式应用的前提。
六、教学设备
校园网、多媒体投影等
七、教学过程
（一）创设情境，快乐起航
灰太狼开了租地公司,他把一边长为 a 米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他
对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加 5 米,另一边减少 5 米,再继续租给你,你也没吃亏,你
看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大
家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为
什么吗?学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．
【师生活动】学生思考，琢磨究竟。
【设计意图】
课程标准：了解公式的几何背景，并能利用公式解决实际问题。
评价细则：能够主动参与学习活动，激发对数学学习的兴趣。
达成策略：从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意
义做好铺垫．
（二）自主探索，获取新知
问题 1：你能用多种方法来计算阴影部分的面积吗？
（法一）
（法二）
（法三）
2、数形结合，代数说理
3、总结提炼，公式归纳
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
符号语言：
22 ba
【设计意图】
课程标准：能推导平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b²
评价细则：通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到到理性的检验，体现数学学科思维
的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式．
达成策略：展现成果，由旧获新，收获方法，突出重点，培养学生的观察概括能力及用字母
表示数的能力，充分发挥学生的主体作用。
思考：你现在能向慢羊羊村长解释他为什么吃亏了吗？
【师生活动】教师引导学生分析，揭示故事的实质
【设计意图】
课程标准：了解公式的几何背景，并能利用公式解决实际问题
评价细则：让学生用面积相等来证明平方差公式，渗透数形结合思想，培养学生多角度思考
问题的习惯，提高其逻辑思维能力。
达成策略：熟悉公式，加深对公式结构特征的理解，体会公式在计算中的优越性以及运用公
式的注意点。
4、剖析公式，揭示本质
思考：平方差公式的结构有何特征？
【设计意图】
【师生活动】学生分小组讨论，每组派代表交流结论。教师根据学生回答，及时总结，引导
学生进一步明确公式的特点。
【设计意图】
课程标准：能推导平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b²
评价细则：揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．
让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，体现了学生学习的主动性。
达成策略：探索平方差公式的特点，揭示平方差公式的本质，强调平方差公式应用的前提。
加强对公式结构的认识，帮助学生总结问题解决过程中的经验教训，理顺思路，
从而进一步完善学生的认知结构。
（三）例题示范，内化新知
例 1-1：下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够,请用计算出结果
（1）（a+b）（-a-b）
（2）（a-b）（b-a）
（3）（-2x+y）（-y-2x）
【师生活动】学生独立思考，然后讨论交流，发表见解。一学生解答。
【设计意图】
课程标准：了解平方差公式的实质。
评价细则：剖析a、b的广泛含义为目的，认清公式的结构特征
达成策略：设计此题旨在将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b
的含义，举一反三，加深对字母含义广泛性的理解，在后面公式的运用中相信学
生会更加得心应手．
例 1-2：
小结：（1）利用平方差公式计算的关键是
（2）怎样确定 a 与 b
【师生活动】先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路。
【设计意图】
课程标准：熟练掌握平方差公式。
评价细则：通过辨析训练，提高学生的认知水平，培养其解决问题的能力。
达成策略：对学生常出现的错误，进行预设，防微杜渐．
（a+b)(a-b） a b a2-b2 最后结果
(2x+3y)(2x-3y)
(-2x+3y)(2x+3y)
(-2x-3y)(2x-3y)
例 2：运用平方差公式计算
（1）(5x+y)(5x-y) （2）(-x+3y)(-x-3y) （3）(-2x-y)(2x-y)
小结：运用平方差公式时要注意：先判断，找出题中的 a 与 b,；结果是平方差，顺序不要颠
倒；注意系数指数的变化
例 3：在下列括号内填上合适的整式
（1）(______)(3m+5n)=9m2-25n2
（2）(-2a-5b)(______)=4a2-25b2
（3）(______)(5a+1)=1-25a2
（4）(7x2-3y2)(3y2+____)=49x4-____
关键：从已知项中分析得出相同项和相反项
例 4：利用平方差公式计算：
（1）103×97 （2）
【师生活动】先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许学生运用多种算法，
然后通过比较，优化算法。
【设计意图】
课程标准：能够应用平方差公式进行简便运算。
评价细则：通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．
达成策略：通过变式训练，提高学生的认知水平，培养其解决问题的能力。
（四）巩固强化，思维延伸
1、利用平方差公式计算
（1） （2）(a-b+c)(a+b-c)
练一练：（1）(x-y)(x+y)(x2+y2) （2）(a-b+c)(a-b-c)
2、美羊羊同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积式乘以（2-1）得：
解：原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
= (22-1)(22+1)(24+1)
= (24-1)(24+1)
= 28-1
你能从她的做法得到启发求出(3+1)(32+1)(34+1)的值吗？
【师生活动】学生独立思考完成练习，一学生解答，教师根据学生回答，及时总结，引导学
生进一步巩固公式的应用。
【设计意图】
课程标准：熟练掌握平方差公式的形式，并能灵活运用公式解决问题。
评价细则：通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征
的理解，连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高。
达成策略：设计不同形式的问题，考察学生对平方差公式的理解与应用．对学生的学习效果
进行检测，给学生自我评价的机会，对“教”与“学”及时反馈．师生一起查漏
补缺，扬长避短，自我完善。
20042-2003×2005
2 22 3 2 3x x
（五）课堂小结，巩固提高。
（1）本节课你学到了什么数学知识？
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）平方差公式的结构特征是什么？
左边：两个因式中一定有相同项和相反项；
右边：相同项的平方减去相反项的平方．
（3）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合）
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