小学奥数5-6-1 奇数与偶数的性质与应用.学生版

5-1 奇数与偶数的性质与应用 教学目标 本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿 到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩 子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无 论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。 知识点拨 一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可 以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 二、奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质 2：偶数±奇数=奇数 性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 三、两个实用的推论 推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论 2：对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶 例题精讲 模块一、奇偶分析法之计算法 【例 1】 1 2 3 1993   …… 的和是奇数还是偶数？ 【例 1】 从 1 开始的前 2005 个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。 【巩固】【巩固】 29 30 31 87 88    …… 得数是奇数还是偶数？ 【巩固】【巩固】1 2 3 4 5 6 7 99 100 99 98 97 96 7 6 5 4 3 2 1                      的和是奇数还是 偶数？为什么？ 【巩固】【巩固】 (200 201 202 288 151 152 153 233        …… ）（ …… ）得数是奇数还是偶数？ 【例 2】 1 2 3 4 5 6 7 98 99         的计算结果是奇数还是偶数，为什么？ 【例 3】 东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 13 75 64   ，他做得对吗？ 【例 4】 一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，那么这个数是多少？ 【巩固】【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差 80，那么这三个偶数的和是多少？ 【例 5】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。 （1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 （2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 【例 6】 能否从四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22. 【巩固】【巩固】能否从、四个 6，三个 10，两个 14 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 44. 【例 7】 一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是 。 【例 8】 多米诺骨牌是由塑料制成的 1×2 长方形，共 28 张，每张牌上的两个 1×1 正方形中刻有“点”，点 的个数分别为 0，1，2，…，6 个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个 0，两个 1，…， 两个 6；其余 21 张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数 相同，且以点数相同的端相连，例如： …… …… 现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为多 少点?并简述你的理由． 【巩固】【巩固】一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知线段 两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶 数？ 【例 9】 沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个．问：8 丛植物上能否一共 结有 225 个浆果?说明理由． 【例 10】有一批文章共 15 篇，各篇文章的页数是 1 页、2 页、3 页、 、14 页和 15 页的稿纸，如果 将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章 最多有多少篇？ 【巩固】【巩固】一本故事书共有 30 个故事，每个故事分别占 1、2、3、…、30 页（未必按这个顺序）。第一个故 事从第 1 页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。 【例 11】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的乘积是一个奇数， 而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数． 【例 12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数8 2 ，求这三个偶数． 【例 13】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个 数码调换了位置，两个数的和可能是 7356 吗？为什么？ 【例 14】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于 999？ 模块二、奇偶分析法之代数法 【例 15】已知 a,b,c 是三个连续自然数，其中 a 是偶数。根据下面的的信息：小红说：“那么 1a  , 2b  , 3c  这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对 1a  , 2b  , 3c  这三个数的乘积是偶数”。判断小红 和小明两人的说法中正确的是 。 【例 16】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000 等于1999 ．如果找得出 来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由． 【例 17】是否存在自然数 a 和 b，使得 ab(a＋b)=115? 【巩固】【巩固】是否存在自然数 a 和 b ，使得 5 15015ab a b （ ） ？ 【巩固】【巩固】是否存在自然数 a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【例 18】a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？ 【例 19】已知 a,b,c 中有一个是 511，一个是 622，一个是 793。求证： ( 1)( 2)( 3)a b c   是一个偶数。 【巩固】【巩固】小红写了四个不同的非零整数 a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式： 1991a b c d a     1993a b c d b     1995a b c d c     1997a b c d d     但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？ 【例 20】设 a , b , c , d , e , f , g 都是整数，试说明： 在 , , , , , ,a b b c c d d e e f f g g a       中，必有奇数个偶数． 模块三、奇偶分析法之图论 【例 21】你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。 【巩固】【巩固】你能不能将整数 0 到 8 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数? 【例 22】能否将1~16 这 16 个自然数填入 4 4 的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及 各列之和恰好是 8 个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由． 【例 23】在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如 5 3 8a    ．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？ a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【巩固】【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如： 5 3 15a    ．问填入的 81 个数中是奇数多还是偶数多？ 【例 24】在“8 8 ”的方格中放棋子，每格至多放 1 枚棋子．若要求8行、 8列、 30 条斜线（如图所示） 上的棋子数均为偶数．那么“8 8 ”的方格中最多可以放多少枚棋子？ 第11题 【例 25】有 8 个棱长是 1 的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字 1， 第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字 3(如图)．现在把这 8 个小正方 体拼成一个棱长是 2 的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的 4 个 数字之和恰好组成 6 个连续的自然数? 1 2 3 1 3 2 H G F E D C B A 模块四、奇偶分析法之生活运用 【例 26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置 共交换了 9 次，则比赛的结果甲是第 名． 【例 27】甲、乙两个哲人将正整数 5 至 11 分别写在 7 张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后， 甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究 了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手 中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一． 【例 28】甲同学一手握有写着 23 的纸片，另一只手握有写着 32 的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题： “请将左手中的数乘以 3，右手中的数乘以 2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？” 当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有 23 的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？ 【例 29】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论 你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说， 他有什么理由呢？ 【巩固】【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张 贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 【例 30】四个人一道去郊游，他们年龄的和是 97 岁，最小的一人只有 10 岁，他与年龄最大的人的岁数 和比另外两人岁数的和大 7 岁．问：⑴ 年龄最大的人是多少岁？⑵ 另外两人的岁数的奇偶性 相同吗？ 【例 31】圆桌旁坐着 2k 个人，其中有 k 个物理学家和 k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则 总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是 什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”那么请你证明：k 为偶数． 【例 32】一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯．西阅览室里每张桌子上有 3 盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？ 【例 33】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共 50 道，评分标准是：答对一道给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分．请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数． 【例 34】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的 2 倍，师傅 的产品放在 4 只箩筐中，徒弟的产品放在 2 只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78 只， 94 只，86 只，87 只，82 只，80 只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的 吗？ 【巩固】【巩固】商店一次进货 6 桶，重量分别为 15 千克、16 千克、18 千克、19 千克、20 千克、31 千克。上午 卖出去 2 桶，下午卖出去 3 桶，下午卖得的钱数正好是上午的 2 倍。剩下的一桶重 千 克。 【例 35】李东到商店买练习本。每本 3 角，共买 9 本。服务员问：“你有零钱吗?”李东说：“我带的全是 5 角一张的”。服务员说：“真不巧，您没有 2 角一张的，我的零钱全是 2 角一张的，这怎么办?” 你帮李东想一想，他至少应该给服务员________张 5 角币。 模块五、奇偶分析法之简单操作找规律 【例 36】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个 2 抹掉后，改写成其余两数的和减 1，得（2，2， 3），再把两个 2 中的一个 2 抹掉后，写成其余两数的和减 1，得（2，4，3），再把 2 抹掉后写 其余两数的和减 1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？ 【巩固】【巩固】有一串数，最前面的四个数依次是 1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个 数之和的个位数字，那么在这一串数中，会依次出现 1、9、8、8 这四个数吗？ 【巩固】【巩固】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到 66， 88，154．问：原来写的三个整数能否为 1，3，5？ 【例 37】数列1，1， 2 ， 3， 5 ， 8，13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 的排列规律是前两个数是1，从第三个数 开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前 2009 个 数中共有几个偶数？ 【巩固】【巩固】八十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和，这 一行的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数是奇数还是偶数？ 【例 38】黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写 a×b＋a＋b 这个数，比如可增写 5（因为 1×2＋1＋2＝5）增写 11（因为 1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问 能否得到 2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？ 【例 39】黑板上一共写了 10040 个数字，包括 2006 个 1，2007 个 2，2008 个 3，2009 个 4，2010 个 5．每 次操作都擦去其中 4 个不同的数字并写上一个第 5 种数字（例如擦去 1、2、3、4 各 1 个，写上 1 个 5；或者擦去 2、3、4、5 各一个，写上一个 1；……）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰 好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是 ． 【例 40】一个质数连乘 4 次再加上 3 是质数，求这个数连乘 5 次再加上 3 是多少？ 【例 41】桌子上有 5 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 4 个，问能否经过若干次翻动， 使得 5 个杯子的开口全都向下？ 【巩固】【巩固】桌面上 4 枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转 3 枚硬币，至少 次可使向上的一面都是“国徽”。 【巩固】【巩固】桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 4 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全 部杯子的开口全都向下？ 【巩固】【巩固】桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 5 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全 部杯子的开口全都向下？ 【巩固】【巩固】在 8 个房间中，有 7 个房间开着灯，1 个房间关着灯．如果每次拨动 4 个不同房间的开关，能不 能把全部房间的灯都关上？为什么？ 【例 42】有一个袋子里装着许多玻璃球．这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的．假设有人从袋中取 球，每次取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出 的两只球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只 剩下一只黑球．请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？ 【巩固】【巩固】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出 3 个球，如果发现三 个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋 中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43 个，那么取到不能再取的时候，口 袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？ 【例 43】有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够 多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚 黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？ 【例 44】用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数，要 求这 5 个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是 ．