小学奥数5-8-2 进制的应用.学生版

5-8-2.进制的应用 教学目标 1. 了解进制； 2. 会对进制进行相应的转换； 3. 能够运用进制进行解题 知识点拨 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进制的 计数单位分别是 1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为： (100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数 n,我们有 n0=1。 3. k 进制： 一般地，对于 k 进位制，每个数是由 0，1，2， ， 1k （ ）共 k 个数码组成，且“逢 k 进一”． 1k k （ ） 进位制计数单位是 0k ， 1k ， 2k ， ．如二进位制的计数单位是 02 ， 12 ， 22 ， ，八进位制的计数单位 是 08 ， 18 ， 28 ， ． 4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1 1 1 0 1 1 0 n n n n k n na a a a a k a k a k a          （ ） 十进制表示形式： 1 0 1 010 10 10n n n nN a a a     ； 二进制表示形式： 1 0 1 02 2 2n n n nN a a a     ； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上 k ，表示是 k 进位制的数 如： 8352（ ）， 21010（ ）， 123145（ ） ,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5. k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地，十进制整数化为 k 进制数的方法是：除以 k 取余数，一直除到被除数小于 k 为止，余数由下到上 按从左到右顺序排列即为 k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将 k 进制数按 k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示: 十进制 二进制 十六进制 八进制 例题精讲 模块一、进制在生活中的运用 【例【例 11】】 有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付。可是不付 又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有 7 环。对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这 一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话， 从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分 文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的 一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提 到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！” 当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月， 顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？ 【巩固】【巩固】现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码各 1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？ 【例【例 22】】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快 满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把 茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼 里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。 于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。你能 解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？ 【巩固】【巩固】如果只考虑 100 克以内的重量，至少需要多少包？ 【巩固】【巩固】如果只许在天平的一边放砝码，要称量 100g 以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？ 【巩固】【巩固】古代英国的一位商人有一个15 磅的砝码，由于跌落在地碎成 4 块，后来，称得每块碎片的重量都是 整磅数，而且可以用这 4 块来称从1至15 磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。 那么这 4 块砝码碎片各重 ， ， ， 【例【例 33】】 有 10 箱钢珠，每个钢珠重 10 克，每箱 600 个.如果这 10 箱钢珠中有 1 箱次品，次品钢珠每个重 9 克，那么，要找出这箱次品最少要称几次? 【例【例 44】】 小马虎将一些零件装箱，每个零件 10g，装了 10 箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次 品零件 9 克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？ 【例【例 55】】 计算机存储容量的基本单位是字节，用 B 表示，一般用 KB、MB、GB 作为存储容量的单位，它们 之间的关系是 1KB= 102 B，1MB= 102 KB，1GB= 102 MB。小明新买了一个 MP3 播放器，存储容量为 256MB，它相当于_____B。 【例【例 66】】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字，将它复制后粘 贴到该页面，就得到 2 个字；再将这 2 个字复制后粘贴到该页面，就得到 4 个字。每次复制和粘贴 为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。 【例【例 77】】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有 80 万吨重，愚公有两个儿 子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运 100 吨石头。如 果愚公是第 1 代，那么到了第 代，这座大山可以搬完。（已知 10 个 2 连乘之积等于 1024） 【例【例 88】】 123456789012345678901234567890……1234567890,共 10000 个数字。第一轮去掉在奇数位置（从 左数起）上的数字，剩下 5000 个数字;第二轮再去掉这 5000 个数字中奇数位置上的数字，剩下 2500 个;第三轮，……;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是__ ,这时已经操作了 轮。 【例【例 99】】 10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为 _________克。 【例【例 1010】】将 6 个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个 数字：1，2，3，4，5。那么●○○●○●表示的数是 。 模块二、巧求余数问题 【例【例 1111】】已知正整数 N 的八进制表示为 8(12345654321)N  ，那么在十进制下， N 除以 7 的余数与 N 除以 9 的余数之和是多少？ 【巩固】【巩固】在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求除以 7 的余数为多少？ 【例【例 1212】】试求  2006 10 2 1 除以 992 的余数是多少? 【例【例 1313】】计算 2003(2 1) 除以 7 的余数． 【例【例 1414】】计算 2003(3 1) 除以 26 的余数． 模块三、进制与位值的综合运用 【例【例 1515】】在美洲的一个小镇中，对于 200 以下的数字读法都是采取 20 进制的。如果十进制中的 147 在 20 进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”， 那么 20 进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数 【例【例 1616】】一个自然数，在 3 进制中的数字和是 2007，它在 9 进制中的数字和最小是 ，最大是 。 【例【例 1717】】在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少? 【例【例 1818】】在 7 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ 【例【例 1919】】一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年 龄． 【例【例 2020】】N 是整数，它的 b 进制表示是 777，求最小的正整数 b，使得 N 是十进制整数的四次方．