5-1-1-2.算式谜（二）
教学目标
数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需
要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题
知识点拨
一、基本概念
填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式
成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、解决巧填算符的基本方法
（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，
从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
三、奇数和偶数的简单性质
（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类
（1）我们把 1，3，5，7，9 和个位数字是 1，3，5，7，9 的数叫奇数.
（2）把 0，2，4，6，8 和个位数是 0，2，4，6，8 的数叫偶数.
（二）性质： ①奇数≠偶数.
②整数的加法有以下性质：
奇数+奇数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
偶数+偶数=偶数.
③整数的减法有以下性质：
奇数-奇数=偶数；
奇数-偶数=奇数；
偶数-奇数=奇数；
偶数-偶数=偶数.
④整数的乘法有以下性质：
奇数×奇数=奇数；
奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.
例题精讲
模块一、填横式数字谜
【例【例 11】】 将 数 字 1~9 填 入 下 面 方 框 ， 每 个 数 字 恰 用 一 次 ， 使 得 下 列 等 式 成 立 ；
20072 4 ★□□□□ □□ □ 现在“2”、“4”已经填入，当把其它数字都填入后，算式中唯一
的减数（★处）是 ．
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛，3 试题
【解析】【解析】方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于 2007 9 13 4 2 8010 ，不小于
2007 1 98 4 2 7638 ．显然四位数的千位数字只能是 7 ．再由四位数与 2 的和能被 4 整除，
可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是 6 或 8．若为 6，由个位是 8 而能被 4 整除的数其十
位数字是偶数，可知四位数只能为 7986 ，而 7986 2 4 1997 ，故只需利用剩下的数凑出 10 即
可．剩下的数字是 1，3，5，不能凑出 10．所以四位数的个位数字不是 6．四位数的个位数字是 8
时，由个位是 0 而能被 4 整除的数其十位数字是偶数，故四位数的十位数字是 1、3、7 或 9．当四
位数的十位数字是 1 时，四位数只可能是 7918 ，而 7918 2 4 1980 ，故只需利用剩下的数凑出
27 即可．剩下的数字是 3，5，6，不能凑出 27；当四位数的十位数字是 3 时，四位数只可能是 7938 ，
而 7938 2 4 1985 ，故只需利用用剩下的数凑出 22 即可．剩下的数字是 1，5，6，不能凑出 22；
当四位数的十位数字是 5 时，四位数只可能是 7658 或 7958，若为 7958，则由 7958 2 4 1990 ，
需 利 用 剩 下 的 数 凑 出 17 即 可 ． 剩 下 的 数 字 是 1 ， 3 ， 6 ， 不 能 凑 出 17 ； 若 为 7658 ， 有
7658 2 4 93 1 2007 ； 当 四 位 数 的 十 位 数 字 是 9 时 ， 四 位 数 只 可 能 是 7698 ， 而
7968 2 4 1925 ，故只需利用剩下的数凑出 82 即可．剩下的数字是 3，5，6，不能凑出 82；故
此题只有惟一答案： 7658 2 4 93 1 2007 ．算式中唯一的减数是 1．
方法二：根据弃九法，7□□□+2+4+□□+★被 9 整除，而(7□□□+2)÷4+□□-★也被 9 整除。所以，后一
式乘以 4 得到 7□□□+2+4×□□-4×★被 9 整除，减去前一式得到 3×□□-4-5×★被 9 整除。所以，★被 3
除余 1，而 4 和 7 都已用，则★=1。
【答案】1
【例【例 22】】 将 1～9 这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一
个数字，使算式成立： = = 7 □□□ □□ □ □ □
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】观察此横式，共三个算式， □□□ □□ 、 □ □、 7□ ，要使这三个算式的运算结果相同.由于第
三个算式的减数已经知道，所以选择第三个算式 7□ 的差作为解题的突破口.因为 7□ 中被减数可
填 8 和 9，所以 7□ ，的差就可以为 1 和 2 这两种情况.
（1）若第三个算式为 8 7 ，由于第一个算式 □□□ □□ ，不论这五个空格内填什么数字，都不能
出现商为 1，因此第三个算式不可能为 8 7 .
（2）若第三个算式为 9 7 ，那么第一个算式为： =□□□ □□ 2，即 = 2□□□ □□ ，从而积的百
位数为 1，此时还有 2，3，4，5，6，8 可填，由数字不重复出现可得两位乘数只能为 86、83、82、
64、62 五种取值。
若乘数为 86，积为 86×2＝172，7 已出现，不行；
若乘数为 83，积为 83×2＝166，6 重复出现，不行；
若乘数为 82，积为 82×2＝164，剩下的 5－3＝2，可以，此时有 1 6 4 8 2 5 3 9 7
若乘数为 64，积为 64×2＝128，剩下的 5－3＝2，可以，此时有 1 2 8 6 4 5 3 9 7
若乘数为 62，积为 62×2＝124，2 重复出现，不行.
【答案】 1 6 4 8 2 5 3 9 7 或 1 2 8 6 4 5 3 9 7 。
【例【例 33】】 1～9 这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：
= = □□ □ □□ □ □□ □
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】由于三个算式都是两位数除以一位数，所以考虑起来比较困难.
（1）如果 1 出现在被除数的十位，则每个算式的商最小为 2，最大为 9.
为了叙述方便，将方格内先填上字母： A B C D E F G H I
①若 2A B C D E F G H I ，则三个算式中 A＝D＝G＝1，出现重复数字，
所以三个算式的商不可能都为 2.
② 3A B C D E F G H I ，则三个算式中的 A、D、G 必为 1 和 2，
也出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为 3.
③ 4A B C D E F G H I ，则三个算式中的 A、D、G 为 1、2 和 3，
12÷3＝4 24÷6＝4 32÷8＝4
16÷4＝4 28÷7＝4 36÷9＝4
若第一个算式为 1 2 3 ，则 D 与 G 都不能为 2，只能为 3，出现重复数字，因此第一个算式为
1 6 4 ，由于 4 与 6 都已用过，所以第二个算式不可能为 2 4 6 ，便为 2 8 7 ，这时剩下
3、5、9 三个数字没有用过，而这三个数字无法组成商为 4 的除法算式，因此三个算式的商不可
能都为 4.
④ 三个算式的商不可能都为 5，否则会出现 B＝E＝H＝5，或 B、E、H 中有为 0 的，而我们所
使用的数字中不包括 0.
⑤若 6A B C D E F G H I ，18÷3＝6 42÷7＝6 54÷9＝6
由于在这三个算式的被除数与除数部分，4 重复出现，因此三个算式的商不可能都为 6.
⑥若 7A B C D E F G H I ，
14÷2＝7 21÷3＝7 28÷4＝7 42÷6＝7，
49÷7＝7 56÷8＝7 63÷9＝7
由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为 7.
⑦若 8A B C D E F G H I
16÷2＝8 24÷3＝8 32÷4＝8
56÷7＝8 64÷8＝8 72÷9＝8
由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为 8．
⑧若 9A B C D E F G H I
18÷2＝9 27÷3＝9 36÷4＝9 54÷6＝9
63÷7＝9 72÷8＝9 81÷9＝9
由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为 9．
（2）如果 1 出现在被除数的个位，则商为 3、7、9、13、17、27．
①若 3A B C D E F G H I ，
21÷7＝3 剩下 3、4、5、6、8、9 这六个数字，不可能组成被除数是两位数，
除数是一位数且商为 3 的除法算式，因此这三个算式的商不可能都为 3．
②若 7A B C D E F G H I ，21÷3＝7 56÷8＝7 49÷7＝7
便有 2 1 3 5 6 8 4 9 7 7
③若 9A B C D E F G H I ，81÷9＝9 54÷6＝9 27÷3＝9
便有 2 7 3 5 4 6 8 1 9 9
④若 13A B C D E F G H I
91÷7＝13 52÷4＝13，还剩 3、6、8 三个数字，不可能组成商为 13 的除法算式．
因此三个算式的商不可能都为 13．
⑤若 17A B C D E F G H I ，51÷3＝17 68÷4＝17，
还剩 2、7、9 三个数字，不可能组成商为 17 的除法算式．因此三个算式的商不可能都为 17．
⑥若 27A B C D E F G H I ，81÷3＝27 54÷2＝27，
还剩 6、7、9 三个数字，不可能组成商为 27 的除法算式．因此三个算式的商不可能全为 27．
（3）如果 1 出现在除数部分，则商为 23～29 和 32，经试验无一成立．
解 2 1 3 5 6 8 4 9 7 ， 2 7 3 5 4 6 8 1 9
【答案】 2 1 3 5 6 8 4 9 7 ， 2 7 3 5 4 6 8 1 9
模块二、填横式数字谜综合
【例【例 44】】 将 1～9 分别填入下面算式的中 5
12
□ □ □
□ □ □
，使每个算式都成立，其中 1，2，5 已填出.
【考点】填横式数字谜之整除性质 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】①审题.本题由两个算式构成，题目中给了三个数字.由题目可见，第一个算式的要求比较高.
②选择解题的突破口.填出第一式是解决这道题的关键.
③确定各□中的数字，观察题目发现，满足第一个算式的只有 7×8＝56 和 6×9＝54.如果第一式填 7×8
＝56，则剩下的数是 3，4，9.无论怎样把它们填入第二式，都不能满足.所以这种填法不行.如果第
一式填 6×9＝54，则剩下的数是 3，7，8.可以这样填入第二式，即：12 3 7 8 本题的答案是：
6 9 5 4
12 3 7 8
【答案】
6 9 5 4
12 3 7 8
【例【例 55】】 下题是由 1～9 这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使
算式成立： =5
=
□ □ □
□□ □ □ □
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】由于第一个算式中已经知道了一个数字，所以选择第一个算式作为解题的突破口．
由于 6 9 =5 4 ， 7 8 =5 6 ，所以第一个算式只有这两种情况。
现在看第二个算式，为了叙述方便，先将第二个算式的空格内填上字母： =A B C D E
由于第二个算式的结果为一位数，所以第二个算式中 A B C 的商必为一位数，且不为 1．
①若第一个算式为 6 9 =5 4 ，则还剩 1、2、3、7、8 这五个数字，因此 D 为 1 或 2．
若 D＝1，则还剩 2、3、7、8 这四个数字，无论怎样填，也都无法使算式 1 =A B C E 成立．
若 D＝2，则还剩 1、3、7、8 这四个数字，无论怎样填，都不能使算式 2 =A B C E 成立．
因此第一个算式不可能为 6 9 =5 4
②若第一个算式为 7 8 =5 6 ，则还剩 1、2、3、4、9 这五个数字，D 可能为 1、2 或 3．
若 D＝1，还剩下 2、3、4、9 这四个数字，无论怎样填，都无法使算式 1 =A B C E 成立．
若 D＝2，则还剩 1、3、4、9 这四个数字，无论怎样填，都无法使算式 2 =A B C E 成立．
若 D＝3，则还剩 1、2、4、9 这四个数字， 1 2 4 3 = 9
解 7 8 =5 6
1 2 4 3 = 9
，其中 7 和 8 可对换，4 和 9 可对换．
【答案】
7 8 =5 6
1 2 4 3 = 9
，其中 7 和 8 可对换，4 和 9 可对换．
【例【例 66】】 是由 1～9 这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立． =
=
□ □ □ □ □
□ □ □ □
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】为了叙述方便，先将算式各空格中填上字母： =
=
A B C D E
F G H I
,于第二个算式的左右两边是两
个一位数相除，商必为一位数，且不为 1．因此选择第二个算式左右两边的商作为解题的突破口．而
这个商可以为 2、3 或 4．
①若 = =2F G H I ，有 2÷1＝2， 4÷2＝2 ，6÷3＝2， 8÷4＝2，
2÷1＝6÷3，还剩 4、5、7、8、9 这五个数字， D E 的和最大为8 9=17 ，而 A B C 的积最
小为 4 5 7=140 ，所以不可能使第一式成立．
2÷1＝8÷4，则还剩 3、5、6、7、9 这五个数字， D E 的和最大为 7 9=16 ，而 A B C 的积
最小为 3 5 6=90 ，所以不可能使第一式成立。
4÷2＝6÷3，则还剩 1、5、7、8、9 这五个数字， D E 的和最大为8 9=17 ，而 A B C 的积
最小为1 5 7=35 ，所以不可能使第一式成立。
6÷3＝8÷4，则还剩 1、2、5、7、9 这五个数字，有 1 2 7 = 5 9 ，所以 1 2 7 = 5 9
6 3 = 8 4
②若 = =3F G H I ，有 3÷1＝3， 6÷2＝3 ，9÷3＝3
3÷1＝6÷2，则还剩 4、5、7、8、9 这五个数字，由于 D E 的和最大为8 9=17 ，而 A B C 的
积最小为 4 5 7=140 ，所以不可能使第一式成立。
6÷2＝9÷3，则还剩 1、4、5、7、8 这五个数字，由于 D E 的和最大为 7 8=15 ，而 A B C
的积最小为1 4 5=20 ，所以不可能使第一式成立。
③若 = =4F G H I ，4÷1＝4， 8÷2＝4
4÷1＝8÷2，则还剩 3、5、6、7、9 这五个数字，由于 D E 的和最大为 7 9=16 ，而 A B C 的
积最小为 3 5 6=90 ，所以不可能使第一式成立。
【答案】 1 2 7 = 5 9
6 3 = 8 4
【例【例 77】】 将 1～8 这八个数字分别填入下面算式的□中
9
□ □ □□
□ □ □□，使每个算式都成立.
【考点】填横式数字谜之整除性质 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】①审题.题目中的□比较多，且两个算式要求都比较高.如果硬猜会很难，为叙述方便，我们将各空格
中填上字母如下：
9
A B C D
E F G H
②选择解题的突破口.由于要填的数字中没有 0，而所有的数字不能重复.所以，第一式的 A、B、D
不能填 5.且第二式的 E、F 中，只能有一个填 5，不妨设可填在 E 上.这样，5 只能填在 C、E、G、H
四个空格之一.这就是解决本题的突破口.
③确定各□中的数字.
（i）若 C＝5，则第一式为： 5A B D ，空格 A、B 只能填 7 和 8，此时 D＝6.即： 7 8 5 6 .
此时，剩下数字 1，2，3，4 去填第二式.在用它们去填 E、F 时，有如下几种情况：1×2，1×3，1×4，
2×3，2×4，3×4.（注意：在讨论中，应该把各种可能性不重、不漏地考虑到.这样从小到大，循序渐
进的方法很重要）.把每一种情况都试验结果知，只有 E、F 填 3 和 4 时，可以满足第二个等式，此
时， 3 4 9 2 1 .这就找到了一个解. 7 8 5 6
3 4 9 2 1
（ii）若 E＝5，则第二个算式为： 5 9F G H ，F 不能填偶数，否则结果中的 H＝9，重复.F
只能填奇数 1，3，7.若 F＝1，则 G＝1，出现重复数字，不行，若 F＝3，则第二式为：5 3 9 2 4 .
剩下数字 1，6，7，8，无论怎样，都无法满足第一式，不行；若 F＝7.则 44G H ，出现重复数字.
也不行.所以，E 所在空格不能填 5.
（iii）若 G＝5，则第二个算式为 9 5E F H .这时，E、F 可以填 6、7 或 6、8.如果 E、F 填 6、
7，则有 6 7 9 5 1 ，H＝1.下面用剩下的数字 2，3，4，8 填第一式.分析第一式，可以得到两个
解为： 4 8 3 2
6 7 9 5 1
和 3 8 2 4
6 7 9 5 1
如果 E、F 填 6、8，则有 6 8 9 5 7 ， 7H 下面用剩下的数字 1，2，3，4 填第一式，分析第
一式，可以这样填： 3 4 1 2 .
（iv）若 H＝5，则第二个算式为： 9 5E F G ，这时 E F ，的个位必须等于 6. E F 可以
是 1×6，2×3，2×8，7×8.如果 E、F 填 1 和 6，则 1G ，重复，不行.如果 E、F 填 2 和 3，则 2 3 9 1 5 ，
剩下的数字为：4、6、7、8，不论怎样填，都不能满足第一式，所以 E、F 不能填 2 和 3.如果 E、F
填 2 和 8，则 G＝2，重复.不行.如果 E、F 填 7 和 8，则第二式为 7 8 9 6 5 .剩下的数字是 1，2，
3，4.用它们填第一式，可以是： 3 4 1 2 .解为 3 4 1 2
7 8 9 6 5
所以本题解为：
【答案】
【例【例 88】】 将1， 2 ， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，8 这八个数字分别填入右图的八个○中，使得图中的六个等式都成
立．则 _________
+
+
+
+
+
=
=
=
+
d
c
b
a
+
+
+
+
+
=
=
=
+
12
8
7
5
4
6
2
1
3
+
=
=
=
+
+
+
+
+
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】5 星 【题型】填空
【解析】【解析】如图，用字母表示○中的数字，那么第三行的两个○中的数分别为 a c 和 b d ，第三列的两个○中的
数分别为 a b 和 c d ，那么 中的数为 a b c d ．由于八个○中的数之和为 3( )a b c d ，而
这八个数分别为1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ，8，所以 (1 2 3 8) 3 12a b c d ，故 中
的数为12 ．可见，不用知道每个○中的数具体是多少就可以求出 中的数，但是我们还是应该求出
八个○中的数具体是多少．因为12 只能等于 4 8 或者5 7 ，所以第三行的两个加数和第3列的两个
加数应分别为 4 8， 或 5 7， ，而 4 又只能等于1 3 ，相应地，8只能分解为 2 6 ，即第一行和第
二行的两个加数应分别为 1，３ 或 2，６ ，具体排列如右上图所示（填法不唯一）。
【答案】12
【例【例 99】】 将1， 2 ， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，8这八个数字分别填入右图的八个○中，使得图中的六个等式都成
立．那么图中 a ， b ， c ， d 四个数的乘积为多少？
a
+
b
=
+
+
+
c
d
+
=
+
=
【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空
【解析】【解析】由题意可知，第三行的两个○中的数分别为 a c 和 b d ，第三列的两个○中的数分别为 a b 和
c d ，那么 中的数为 a b c d ．
由于八个○中的数之和为 3( )a b c d ，而这八个数分别为1， 2 ， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，8，所以
(1 2 3 8) 3 12a b c d ，故 中的数为12 ．
由上可知，八个○中的数分别为 a ，b ，c ，d ，a b ，a c ，b d ，c d ，不妨假设 d a ，c b ，
那么这八个数中 c d 最大，所以 8c d ．由于 a c 比 a ，b ，c ，a b 都大，所以 a c 至少为 5 ．同
理可知 b d 至少为5 ．由于 ( ) ( ) 12a c b d ，且 a c 与b d 不相同，所以只能是一个为 5 ，一
个为 7 ．由于 a b 比 a c 和b d 都小，所以 a b 不为 6 ，那么 a ，b ， c ， d 中有一个为 6 ．不妨
设 6d ，那么 2c ，且 7b d ， 5a c ，所以 1b ， 3a ，所以 a ，b ，c ， d 四个数分别为
1， 2 ，3， 6 之一，它们的乘积为1 2 3 6 36 ．
【答案】1 2 3 6 36
【例【例 1010】】请将 1～12 这 12 个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现 1 次，使得每个等式都成立．那
么乘积 A B C D =____________
( ) 2
0
0
8
|| || ||
1 2 6
【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 12 题
【解析】【解析】我们先从第三列入手，设这四个数从上到下依次为 a ，b ，c ，d ，⑴ 6a b c d ，故 6a b ，
而 12a ≤ ，若 2b≥ ，则 a b 不可能大于 6 ，所以 b 只能为1；⑵ 6a b c d a c d ，由于
c d ，故 2c d ≥ ，所以 6 2a ≥ ，即 8a≥ ；⑶ 分析第三行，设第三行的前两个数分别为 x ，y ，
则 0x y c .由于 12x ≤ ，而 2y≥ （1已经被 b 占用），故 6c ≤ ，而 2d ≥ ，则 3c d ≤ ，所以
6 3 9a ≤ ，结合⑵可知 a 只能为8 或 9 ;⑷ 若 9a ，则 9 6 3c d ，有 6c ， 2d ，而此
时 3y≥ （1，2 已经分别被 b ，d 占用），则 3 6 18x y c ≥ ，和题目条件矛盾； 若 8a ，则
8 6 2c d ，有 6c ， 3d 或 4c ， 2d .若 6c ， 3d ，则 y 只能为 2 ， 6 2 12x y c ，
则第四行中的被除数只能为9 （ 3的倍数只剩下 9 ），第四行算式为5 9 3 8 ，此时还余下 4 ， 7 ，
10 ，11这四个数，而第一行中的两个加数的和为 2 16a ，不在这四个数当中，所以这种情况不成
立，因此 4c ， 2d ，可得 y 只能为 3， x 为12 ，此时第四行中的被除数为偶数，只有 6 和10 ，经
试验只能为 6 ，则第四行算式为 5 6 2 8 （如被除数为10 则第四行算式为3 10 2 8 ，而 3已被
占用）⑸ 剩下的 4 个数为 7 ，9 ，10 ，11中只有 7 和 9 能满足第一行 7 9 8 2 ⑹ 最终的结果如
下图所示.
( 7 9 ) 8 2
11 10 1 0
12 3 4 0
5 6 2 8
|| || ||
1 2 6
【答案】1400
模块三、数字谜与逻辑推理
【例【例 1111】】题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为 7，
则 A、B、C 处填的数各是多少？
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题
【解析】1、4、A、C 面是 B 的邻面，2 是 B 的对面，B 应填 5；1、2、B、A 是 C 的邻面，4 是 C 的对面，C
应填 3；1 是 A 的对面，A 应填 6.
【答案】 6A , 5B , 3C
【例 12】自然数 M N 满足： .410 NNMM 则 NM （ ）
【考点】减法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】由题目可得 M =9, N =5，则 M + N =9+5=14。
【答案】14
【例【例 1313】】用下图的 3 张卡片，能组成 29 的倍数的数是
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3 年级，第 5 题
【解析】 696
【答案】 696
【例【例 1414】】如果一个至少两位的自然数 N 满足下列性质：在 N 的前面任意添加一些数字，使得得到的新数的
数字和为 N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被 N 整除，则称 N 为“学而思数”。那么
最小的“学而思数”是 。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，第 9 题
【解析】求最小的“学而思数”N，而且 N 至少是两位数，故从最小的两位数 10 开始考虑，显然 10 不满足条件，接
着考虑 11，在 11 前面添加一些数字构成一个数字和是 11 的多位数，这个多位数的奇数位与偶数位的数
字和不可能相等，也不可能相差 11 的倍数，11 是满足要求的最小的学而思数。
【答案】11
【例【例 1515】】如图，摩托车里程表显示的数字表示摩托车已经行驶了 24944 千米，经过两小时后，里程表上显
示的数字从左到右与从右到左的读数相同，若摩托车的时速不超过 90 千米，则摩托车在这两个小
时内的平均速度是 千米/时。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 15 题，6 分
【解析】数字谜，开头是 249 的五位对称数是 24942 小于 24944，开头是 250 的五位对称数是 25052，
25052-24944=108 千米，251 开头的五位对称数是 25152，25152-24944=208，超过了 90×2，所以摩
托车的速度为 108÷2=54 千米/小时.
【答案】 54
【例【例 1616】】一辆汽车以不变的速度在行驶，司机看了三次里程表，如图 8 所示，由此可知汽车每小时行
驶 千米。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分
【解析】汽车每小时行驶的路程= 10 10 9 9yx xy y x x y y x ；
又有汽车每小时行驶的路程= ( 0 ) 2 (100 10 ) 2 45x y xy x x x 。
于是又9 9 45y x x ，即 6y x 。
又根据题意可知 x 、 y 肯定是 0-9 的整数，且不同为 0，所以，只能是 1x ， 6y 。
所以汽车每小时行驶 45 千米。
【答案】 45
【例【例 1717】】小明把 5 个数字的乘法算式的两边改写其中两个数字后得到错误算式：4×5×4×5×4＝2247，那么原
来正确的乘法算式是______________。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第 7 题
【解析】【解析】 4 5 4 7 4 2240 或 4 7 4 5 4 2240 。
【答案】 4 5 4 7 4 2240 或 4 7 4 5 4 2240
【例【例 1818】】有一类多位数，从左数第 3 位数字开始，每位上的数都等于其左边第 2 个数减去左边第 1 个数的
差．如 74312、6422．那么这类数中最大的是 ．
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 7 题
【解析】【解析】比较两个数的大小首先比较数位，数位相同，然后从首位开始比较相同数位上数字大小．可从后到
前构造出满足条件的数位最长的数是85321101 ．
【答案】 85321101
【例【例 1919】】小明去同学家玩。走进了弄堂，但记不起门牌号码了。怎么办呢?他忽然想起，这个门牌号码挺有
意思，曾经研究过一次。它是一个三位数，个位数字比百位数字大 4，十位数字比个位也大 4。根
据这点记忆，你能帮助小明找到同学家吗?如果想到了，就写在下面。门牌号码是________.
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 3 题，8 分
【解析】因为个位数字比百位数字大 4，十位数字比个位数字大 4，说明十位数字比百位数字大 8，那么在 0～
9 这十个数字中相差 8 的有 8 和 0 与 9 和 1，因为百位数字是最高位，所以不能为 0，所以答案为：
195
【答案】195
【例【例 2020】】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密。若按照“叠 3 加 1 取个位”的方式逐
位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”。若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得
到的密码是“2445”，则明码是___________ 。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 10 题
【解析】【解析】0～9 这 10 个数字乘以 3 所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础。采用倒推法，
可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”，再进行倒推，可以得到原来的明码是 2009.
【答案】 2009
【例【例 2121】】在算式(A□B)△(C○D)中，□,△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D
是 4 个互不相同的非零阿拉伯数字．如果无论□,△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符
号，(A□B)△(C○D)的计算结果都是整数．那么，四位数 ABCD 是 ．
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 8 题
【解析】【解析】如果□，△，○三个符号中没有除号，只有加、减、乘号，那么计算结果肯定是整数，所以只需要考
虑有除号的情况.先选择□为除号，△，○为加、减号，由于计算结果为整数，那么 A B 为整数，故 A
是 B 的倍数.同理可知 C 为 D 的倍数.再选择□为减号，△为除号，○则可以加号或乘号，那么
( A B ) (C D )及( A B ) (C D )都是整数，故( A B )是 C D 与C D 的公倍数.
由于( A B )是一个小于10 的正整数，故 C D 与 C D 都比较小，此时已可以猜到 C 、D 分别为 2 、
1.详细的证明如下：假设 C kD ，则 C D ( 1k ) D ， 2C D kD ，那么( A B )是 k 和( 1k )的
倍数，则是 k ( 1k )的倍数，当 3k ≥ 时 k ( 1k ) 10≥ ，依题意，又 1k ，故 k 只能为 2 ，则( A B )
是 6 的倍数，只能是 6 ，而 D 只能为1， C 只能为 2 .
又 A 、 B 、 C 、 D 互不相同，故 B 至少为 3， A 最大为9 ，而 6A B ，故 9A ， 3B ，四位数
9321ABCD .
【答案】 9321
【例【例 2222】】右图是一所小学的科技数，它有 4 层，正面每层的三个圆形窗户由左向右表示一个三位数，这些
三位数是：837、571、206、439，但是不知道这四个数和哪一层的窗户对应，请你观察一下，然
后画出表示 2008 的四个窗户 。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，25 题
【解析】对比发现 1 层右边窗户和 4 层中间窗户一样，1 层位 837，4 层为 571，3 层位 439，2 层为 206
所以 2008 的图形为
【答案】
【例【例 2323】】写有 0、1、2、3、…、9 的卡片各一张， A 、 B 、 C 、 D 、 E 分别拿走 2 张，然后报出自己所拿
两张卡片上的数的和，已知 A 报 5， B 报 12， C 报 10， D 报 12， E 拿的是 和 ．
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 13 题
【解析】【解析】根据和不变的性质，知道不论 A、B、C、D、E 如何选择卡片，五个人选择卡片的和是不变的，首
先 10 张卡片的和为 0 1 2+3+ +9=45 ，A、B、C、D 的和为：5+12+10+12=39 ，所以 E 拿的卡
片和为： 45 39 6 ，
因为 0 5 1 4 2 3A ，
3 9 4 8 5 7B ，
1 9 2 8 3 7 4 6C ,
3 9 4 8 5 7D
经过排除 1 4A ， 3 9B ， 2 8C ， 5 7D ，E 选择 0 和 6。
【答案】 0 和 6
【巩固】【巩固】写有 1，2，3，…10 的卡片各一张， A ， B ，C ， D ， E 分别拿走 2 张，然后报出自己所拿两张卡
片上数的和。已知 A 报 5， B 报 12，C 报 10， D 报 12， E 拿的是________和__________ 。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 10 题
【解析】【解析】根据和不变的性质，知道不论 A、B、C、D、E 如何选择卡片，五个人选择卡片的和是不变的，首
先 10 张卡片的和为1 2+3+ +9 10=55 ，A、B、C、D 的和为：5+12+10+12=39 ，所以 E 拿的卡
片和为： 55 39 16 ，
因为 0 5 1 4 2 3A ，
3 9 4 8 5 7B ，
1 9 2 8 3 7 4 6C ,
3 9 4 8 5 7D
经过排除 1 4A ， 3 9B ， 2 8C ， 5 7D ，E 选择 10 和 6。
【答案】10 和 6
【例【例 2424】】有 9 张纸牌，分别为 1 至 9。A，B，C，D 四人取牌，每人取 2 张。已知 A 取的两张牌之和是 10；
B 取的两张牌之差是 1；C 取的两张牌之积是 24；D 取的两张牌之商是 3。剩下的一张牌是 。
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 5 题，10 分
【解析】C 的两张牌只能是 3，8 或 4，6。当 C 是 3，8 时，D 只能是 6，2。推知 A 是 1，9，B 是 5，4，剩
下一张是 7；当 C 是 4，6 时，D 是 3，1 或 9，3，A 是 2，8。此时剩下的三张牌是 5，7，9 或 1，5，
7，不能满足 B 的要求，不合题意。
【答案】 7
【例【例 2525】】下表中，A、B、C、D、E、F、G、H、M 各代表一个互不相同的非零数字，其中 A＋B＝14，M÷G
＝M－F＝H－C，D×F＝24，B＋E＝16，那么 H 代表 ．
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 10 题
【解析】【解析】由"A+B=14,D×F=24,B+E=16"、"A、B、C、D、E、F、G、H、M 各代表一个互不相同的非零数字",
则假定这九个字母就是 1-9 这 9 个数字.再由 A+B=14=9+5=8+6,D×F=24=4×6=8×3,则 A、B 只能从 5、
9 中取值.由于 M÷G=M-F,可得 M=6,G=2,F=3,则 A=5,B=9,H-C=3,则 C=1,D=8,F=3,H=4
【答案】 4
【例【例 2626】】将1、2、3、……、15、16填入右图的16个方格中，并满足下列条件.(1) 10A C F ；(2) B H R ；
(3) 13D C ； (4) 126E M ；(5) 21F G ； (7) 2G J ；(7) 36H M ： (8)
80J P ；(9) K N Q .那么 L=__________.
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复试，第 12 题
【解析】【解析】由于 80J P ，所以 J=10 或者 8 或者 16 或者 5.根据 2G J ，J 不能是 10 和 16，如果 J 是 8，G
是 16，如果 J 是 5，G 是 10，因为 10A C F ， 21F G ，所以 G 大于 11，所以 J=8,G=16，
P=10,F=5, 36H M ,H,M 应是 3 和 12，或者 4 和 9， 126E M ，E,M 应是 9 和 14，于是
M=9,E=14,H=4. 10A C F 所以 5A C ，A,C 应该是 1 和 4 或者 2 和 3，但是 H=4 所以 A,C 应
该是 2 和 3， 13D C 所以 C 不能等于 3，C=2,A=3，D=15,现在还没有填的数有 1、6、7、11、12、
13， 4B R ，那么就只能是 7+4=11,于是 B=7,R=11，因为还有 K N Q 只有可能是 13-1=12 或者
13-12=1，但是最后剩下的 L 一定是 6.
【答案】 6
【例【例 2727】】如图，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 表示 10 个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和，
例如“G+C=14”。请将表中其它的数全部填好。
14
14
7
7
6
5
+
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 12 题，12 分
【解析】由 于 5A F ， 14B F ， 所 以 14 5 9B A ， 所 以 A 和 B 只 能 是 0 和 9 ． 同 理
7G H , 8G , 1H 因此可以推出： 0A ， 9B ， 6C ， 3D ， 2E ， 5F ， 8G ， 1H ，
4I ， 7J ．可得下图．
10
13
10
10
4
17
3
16
9
4
1
13
10
7
7
11
8
8
11
14
14
7
7
6
5
+
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【答案】
10
13
10
10
4
17
3
16
9
4
1
13
10
7
7
11
8
8
11
14
14
7
7
6
5
+
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【例【例 2828】】在下边的乘法算式中，“二”、“月”、“四”、“日”、“数”、“学”、“科”、“普”、“节”分别表示 1~9
中的不同数字，且“二”＝2、“四”＝4，如果四位数“二月四日”的 22 倍等于五位数“数学科普节”，
那么，“数”+“学”+“科”+“普”+“节”的和等于__________。
（A）12 （B）15 （C）16 （D）27
【考点】填横式数字谜之逻辑推理 【难度】4 星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，高年级，复试，4 题
【解析】【解析】 D ，提示：等号右边的五位数，除去 2 和 4 ，五个数字之和最小是1 3 5 6 7 22 ，所以只有选
项 D 的 27 可能正确。因为数学科普节是 22 的倍数，所以(数+科+节) (学+普)=11。因为
27 11 16 ，所以(学+普)=8,(数+科+节)= 19 。由题意知，数=5 。在剩下的13 6 7 8 9，，，，，中，两个数之
和等于8的只有1和 7 ，两个数之和等于 19 5 14 的只有 6 和8。容易得到符合题意的算式：
2349 22 51678 。所以“数”+“学”+“科”+“普”+“节”的和等于 27
【答案】 27
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