5-3-4.分解质因数（一）
教学目标
1. 能够利用短除法分解
2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ... ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
（2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30 2 3 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 212 2 2 3 2 3 ，2、3 都叫做 12 的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分
解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
（4）.分解质因数的方法：短除法
例如：
212
2 6
3
，（┖是短除法的符号） 所以12 2 2 3 ；
二、唯一分解定理
任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 31 2
1 2 3
ka aa a
kn p p p p 其中为质数，
1 2 ka a a 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.
三、部分特殊数的分解
111 3 37 ；1001 7 11 13 ；11111 41 271 ；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19 ；1998 2 3 3 3 37 ；
2007 3 3 223 ； 2008 2 2 2 251 ；10101 3 7 13 37 .
例题精讲
模块一、分解质因数
【例 1】 分解质因数 20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 2 题，10 分
【解析】原式 32 3 7 53
【答案】 32 3 7 53
【例 2】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？
【考点】分解质因数 【难度】1 星 【题型】填空
【解析】 210 分解质因数： 210 2 3 5 7 ，可知这三个数是5 、 6 和 7 。
【答案】 5 、 6 和 7
【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是多少?
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】111555 分解质因数：111555 3 3 5 37 67 (3 3 37 ) (5 67 ) 333 335 ，所以和为 668 .本讲
不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 3 37 。
【答案】 668
【巩固】【巩固】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是_______.
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题
【解析】35=1×35=5×7，5、7 差 2，两个自然数的和是 5+7=12
【答案】12 元
【例 4】 今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】而思杯，6 年级，1 试，第 3 题
【解析】11 12 13 1716 ，12 13 14 2184 ，所以是 2184
【答案】 2184
【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是 126，那么，它们的和是 ．
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 3 题
【解析】【解析】 2126 2 3 7 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为 9 和14 ，它们的和为 23 ．
【答案】 23
【例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大
的一个是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】将 360 分解质因数得360 2 2 2 3 3 5 ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个
是合数，所有该合数必至少为 6 3 3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4
个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533.
【答案】8533
【例 7】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225 1 13 25 37 49 ，五个人的年龄和为 125 岁。
【答案】125 岁
【例 8】 如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是 23， 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是
___________。
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题
【解析】根据题意列式子如下： 23a b a b ，因为 23 分解质因数是1与 23 ，所以 23, 1a b a b ，
根据和差关系算出 12a ， 11b ，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为 23，
【答案】 23
【例 9】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】首先分解质因数， 2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167 ，其中最大的质因数是 167，所以所要求
的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数. 165 3 5 1 ，166 2 83 ，168 2 2 2 3 7 ，
169 13 13 ，所以165 166 167 ，166 167 168 ，167 168 169 都没有 4 个 2，不满足题意.说明
167 不 可 行 . 尝 试 334 167 2 ， 335 5 67 ， 336 2 2 2 2 3 7 ，
334 335 336 2 2 2 2 2 3 5 7 67 167 ，包括了 2004 7 20 中的所有质因数，所以这组
符合题意，以此三数之和最小为 1005.
【答案】1005
【例 10】A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A、B 两数之差的
最大值是 。
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或
675 或 2011，又 2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以 B 的可能值是 230 或
234 或 674 或 2010，A、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。
【答案】1781
【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）
大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。
问他们四个人的年龄各是几岁？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】题中告诉我们， 48384 是四个人年龄的乘积，只要我们把 48384 分解质因数，再按照每组相差 2 来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。
48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 18 ，由此得出这四个人的年龄分别
是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数，
当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为 48384 的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有
个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8。又因为 410 48384 ，而 448384 20 ，
所以可以断定，这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是 12 岁、14
岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。
【答案】12 岁、14 岁、16 岁、18 岁
【例 12】甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】将 6384 分解质因数， 6384 2 2 2 2 3 7 19 ，则其中必有一个数是19 或19 的倍数；经试算，
19 5 14 2 7 ，19 5 24 2 2 2 3 ，恰好14 19 24 6384 ，所以这三个数即为14 ，19 ，24 .
一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑
38 ，再下一个该考虑 57 ，依此类推．
【答案】14 ，19 ， 24
【例 13】四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】【解析】分解质因数 4 33024 2 3 7 ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 7 的倍
数.若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或 7、8、9、10(10 仍含
有 5，不行)，经检验 6、7、8、9 恰符合.
【答案】9
【例 14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每
队人数在 100 至 200 之间，则有分法（ ）。
A、3 种 B、7 种 C、11 种 D、13 种
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第 4 题
【解析】只要找到 100 到 200 之间可以整除 1430 的数即可。1430 可分解成 2，5，11，13 的乘积，所以可以
按每组 110 人，130 人，143 人分组，共有 3 个方案。所以答案为 A
【答案】 A
【例 15】a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，
20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第 2 个数的平方是___________。
A． 1 B. 3 C. 5 D. 10
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题
【解析】【解析】D，解：设 a b c d e 。由 3, 6ab ac 推知 2c b ；由 120, 300ce de 推知 5 52d c b 。
22 2bc b b b ， 25 5bd b b b ， 22 5 10cd b b b 。在15,18,20,50,60,100 中，满足 2:5:10 的
三个数是 20,50,100, 所以 2 100 10 10b 。
【答案】 D
【例 16】a、b、c、d、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、
2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第 2 个数是_________。
（A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5
【考点】分解质因数 【难度】5 星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，高年级，复试，2 题
【解析】【解析】 C ，设 a b c d e 。由题意知， 0.3ab ， 0.6ac ，推知 2c b ；由 12ce ， 30de ，推知
30 5 512 2d c c b ， 22 2bc b b b ， 25 5bd b b b ， 22 5 10cd b b b ，在1.5,1.8,2,5,6,10 中，
满足 2:5:10 的三个数是 2,5,10 ，所以 210 10b ， 2 1b ， 1b 。
【答案】1
【例 17】将 1～9 九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是 48，第二组三个数的乘积是 45，
第三组三个数字之和最大是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】分解质因数 45 3 3 5 ， 48 2 2 2 2 3 ，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积，而 48 可能是 2，4，
6 或 2，3，8 或 1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是 3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是3 7 8 18 .
【答案】18
【例 18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的
最小可能值是多少厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如 3 个数的积为 18，则
三个数为 2、3、3 时和最小，为 8．1998=2×3×3×3×37，37 是质数，不能再分解，所以 2×3×3×3 对
应的两个数应越接近越好．有 2×3×3×3=6×9 时，即 1998=6×9×37 时，这三个自然数最接近．它们的
和为 6+9+37=52(厘米)．
【答案】52
【例 19】一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表
面积是多少平方厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而 34×34×34 最接近 39270，39270 的约数中接
近或等于 34 的有 35、34、33，有 33×34×35=39270．所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高．则
长方体的表面积为：
2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．
方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或
高显然不满足．当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与
34 接近的数 32～36 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度．而 39270
的 质 因 数 中 只 剩 下 了 3 和 1l ， 所 以 这 个 长 方 体 的 大 小 为 33×34×35 ． 长 方 体 的 表 面 积 为
2×( 39270
33 + 39270
34 + 39270
35 )=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．
【答案】6934
【例 20】如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】4875=3×5×5×5×13，有 a×b 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64．发现 39=3×13、25=5×5 这两个
数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数．那么它们的差为 39-25=14。
【答案】14
【例 21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.
求这两个整数分别是多少？
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都
可以表示成两个整数相加的形式，例如 33 1 32 2 31 3 30 16 17 ，共有 16 种形式，
如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可
以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有 111、222、333、444、555、666、777、888、999，每
个数都是 111 的倍数，而111 37 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位
数相乘时，必有一个因数是 37 或 37 的倍数，但只能是 37 的 2 倍(想想为什么？)3 倍就不是两位数
了.
把 九 个 三 位 数 分 解 ： 111 37 3 、 222 37 6 74 3 、 333 37 9 、 444 37 12 74 6 、
555 37 15 、 666 37 18 74 9 、 777 37 21 、888 37 24 74 12 、 999 37 27 .
把两个因数相加，只有( 74 3 ) 77 和( 37 18 ) 55 的两位数字相同.所以满足题意的答案是 74 和 3，
37 和 18.
【答案】74 和 3，37 和 18
【例 22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数 1991，
具有如下两个性质：①1991 是一个回文数．②1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质
数回文数的积．在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 外，具有性质①和②的年份数，
有哪些？
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】这一千年间回文数年份共有 10 个，除去 1991 外，还有 1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，
1771，1881．符合条件②的两位质数只能是 11，所以符合条件②的只有三个，即
11 101 1111， 11 131 1441，11 15l 1661．
【答案】11 101 1111， 11 131 1441，11 15l 1661
【例 23】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那
么第三个分数是多少？
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】有 140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数 2 必须同时位于分
子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．
1 1 2 2 4 5 5 7 7, , ,2 2 5 7 140 5 7 35 2 2 7 28 2 2 5 20
，倒数第三小的是 5
28
。
【答案】 5
28
【例 24】纯循环小数 0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是 58 ,则三位数 _________abc
【考点】分解质因数 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】如果直接把 0.abc 转化为分数,应该是
999
abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是 999 的约数,我们
将 999 分解质因数得 : 3999 3 37 ,这个最简分数的分母应小于 58 ,而且大于 29 ,否则该分
数就变成了假分数了,符合这个要求的 999 的约数就只有 37 了,因此,分母应当为 37,分子就是
58 37 21 ,也就是说 210. 999 37 27 37
abc abcabc ,因此 21 27 567abc .
【答案】567
模块二、分解质因式
【例 25】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数.
【考点】分解质因式 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】设这三个质数分别是 a 、 b 、 c ，满足 11abc a b c ( )，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 11，不妨
记为 a ，那么 11bc b c ，整理得( 1b )( 1c ) 12 ，又12 1 12 2 6 3 4 ，对应的 2b 、 13c
或 3b 、 7c 或 4b 、 5c (舍去)，所以这三个质数可能是 2，11，13 或 3，7，11.
【答案】2、11、13 或 3、7、11
【例 26】三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．
【考点】分解质因式 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】设这三个质数分别是 a 、b 、 c ，满足 7( )abc a b c ，则可知 a 、b 、c 中必有一个为 7，不妨记
为 a ，那么 7bc b c ，整理得 ( 1)( 1) 8b c ，又8 1 8 2 4 ，对应的 b 2、c 9(舍去)或 b 3、
c 5，所以这三个质数可能是 3，5，7
【答案】3、5、7
【例 27】如图，长方形周长为 20 ，面积为 24 。另一个长方形，面积为 20 ，周长为 24 。它的长是 ，
宽是 。
【考点】分解质因式 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 7 题，10 分
【解析】周长为 24 则，长和宽的和为 24 2 12 ，因为 20 1 20 2 10 4 5 ，因为10 2 12 ，所以它的
长是10 ，宽是 2 。
【答案】长是10 ，宽是 2
【例 28】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这
个长方体的体积是多少?
【考点】分解质因式 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为 ac+ab=209．
ac+ab=a×(c+b)=209，而 209=11×19．
当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17;
当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意．
所以它们的乘积为 11×2×17=374．
【答案】374
【例 29】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由 17，19 可得到一个四位数 1719,由 19，17
也可得到一个四位数 1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这
样的四位数。
【考点】分解质因式 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】设这 2 个两位质数分别是 a 和 b ，则这个四位数是100a b ，根据条件可知： (100 )2
a b a b ,即
( a b )|( 200 2a b )，设 200 2a b ka b
，则 200 2a b k （ a b ），化简得( 200 k ) a ( 2k )b ，
因此 200
2
b k
a k
,其中 k 是整数， a 和 b 均为两位质数，设 200 k bm , 2k am ，则两式相加得
( a b ) 198m ，注意到 a 和b 都是质数即也是奇数，所以 a b 是198 的约数. 2198 2 3 11 ，由于
a 、 b 都是两位不同的质数，因为11 13 89 97a b 中的偶数，所以 66a b
【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729
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