小学奥数6-1-10 差倍问题（一）.教师版

6-1-6.差倍问题（一） 教学目标 1. 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题. 2. 熟练应用通过图示来表示数量关系． 知识精讲 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题． 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般 情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到 1 倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对 应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数) 1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 例题精讲 【例 1】 两个整数，差为 l6，一个是另一个的 5 倍．这两个数分别是（ ）和（ ） 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】本题属于和差问题。小数：16÷（5-1）=4；大数：4×5=20 或 4+16=20。 【答案】小数 4 ，大数 20 【例 2】 李爷爷家养的鸭比鹅多18 只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题 目．与18 只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求 出来了．鸭与鹅只数的倍数差是 3 1 2  （倍），鹅有18 2 9  (只)，鸭有 9 3 27  (只). 【答案】鹅 9 只，鸭 27 只 【巩固】 甲班的图书本数比乙班多 80 本，甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本） 甲班的本数： 40×3=120（本）或 40＋80=120（本）。 【答案】甲班120 本，乙班 40 本 【巩固】 两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的 5 倍，甲书架比乙书架存书多120 本，则乙书架存书 多少本？ 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】多的120 本相当于乙书架的 4 倍，则乙书架的书为：120 4 30  （本）． 【答案】 30 本 【例 3】开学前 6 天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了 60 道题，开学时，两人都完成了数学作业. 在这 6 天中，小明做的题的数目是小强的 3 倍，他平均每天做（ ） 道题. （A） 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 2 题 【解析】由于开学前 6 填时小强比小明多做了 60 道题，而开学时两人做的题一样多，所以这 6 填中小明比小 强多做了 60 道题，而这 6 天中小明做的题的数目是小强的 3 倍，所以这 6 天小明做了 60÷（3-1） ×3=90 道题，他平均每天做 90÷6=15 道题。正确答案为 D。 【答案】 D 【例 4】小芳在看一本图画书，她说： 由她所说，可知这本书共有 页。 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 5 题 【解析】方法一：看完的是没有看完的 2.4 倍，且比没有看完的多 42 页，所以没有看完的是  42 2.4 1 =30  （页），书的页数为：  30 1 2.4 =102  （页）。 方法二：设没看的页数为 x ，2.4 x = x +42， x =30，看完的页数为 30+42=72 页， 所以全书共有 30+72=102 页 【答案】102 页 【例 5】 箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出 5 个乒乓球和 3 个羽毛球，取了几次之后，乒乓 球恰好没有了，羽毛球还有 6 个，则一共取了__________次，原来有乒乓球和羽毛球各__________ 个． 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，4 题 【解析】共取了 6 (5 3) 3   (次)，原有乒乓球 5 3 15  (个)，所以原有羽毛球也是 15 个． 【答案】取 3次，羽毛球15 个，乒乓球15 个 【例 6】 小张有 200 支铅笔，小李有 20 支钢笔．每次小张给小李 6 支铅笔，小李还给小张 1 支钢笔．经过 ________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的 11 倍． 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初试，2 题 【解析】【解析】方法一：题目中所求为小张手中铅笔的数量和小李手中的钢笔数量，而每一次交换，小张会减少６ 支铅笔，而小李会少一支钢笔；设经过 x 次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔的 数量的 11 倍。则  200 6 11 20  x x ，解之得 x ＝４. 方法二：为了使得每次都交换 6 支，那么设小李有钢笔 206120 支，每次交换后的差不（1）如右 表，调整不变量（差）；（2）共交换了（2001116）64 次。 【答案】 4 次 【例 7】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半 小时，则乙自学 6 天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即 60 分钟．它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学： 60 (6 1) 12   （分），原来每天自学的时间是：12 30 42  （分）． 【答案】 42 分钟 【巩固】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多 480 人，现在把室内活动的 50 人改为室外 活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的 5 倍，则参加室内、室外活动的共有多少人? 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】原来室外、室内活动人数相差 480 人，现把室内的 50 人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人 数多 480 50 2 580   (人)，这时室外活动人数正好是室内人数的 5 倍， 580 人相当于现在室内活动 人数的 5 1 4  (倍)，这样可先求出现在室内活动人数为 580 4 145  ，再求出室内、外人数之和： 145 (5 1) 870   人． 【答案】870 人 【例 8】 某校五年级比六年级人数少154 人，若六年级学生再转来 46 人，则六年级学生是五年级学生的 3 倍，问五、六年级各有多少人？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】五年级人数为： (154 46) (3 1) 100    （人），六年级的人数：100 154 254  （人）． 【答案】五年级100 人，六年级 254 人 【巩固】 小云比小雨少 20 本书，后来小云丢了 5 本书，小雨新买了 11 本书，这时小雨的书比小云的书多 2 倍.问：原来两人各有多少本书？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小雨的书比小云的书多 2 倍”，即小雨的书是小云的书的 3 倍.这个“倍数”是变化后的，所以“1 倍”数 应是小云变化后的书(见下图).“差”是 20＋5＋11＝36(本).，小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)； 小云原来有书 18＋5＝23(本)，小雨原来有书 23＋20＝43(本). 【答案】小云 23 本，小雨 43 本 【例 9】 学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 4 倍还多 3箱，学而思学校 买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解 决．见上图，由于白笔比彩笔的 4 倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的 4 倍， 即彩笔比(白笔－ 3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15 3 12  （箱）．彩色粉笔的箱数12 3 4  (箱)， 白色粉笔的箱数： 4+15=19 (箱)． 【答案】白粉笔19 箱，彩色粉笔 4 箱 【巩固】 学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 4 倍少 3箱，学而思学校买来 白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】把彩笔看做1倍数，(白笔＋ 3)就相当于彩笔的 4 倍，即彩笔比(白笔－ 3)少 3倍，注意此时白笔比彩 笔多15+3=18 箱．彩色粉笔的箱数18 3 6  (箱)，白色粉笔的箱数： 6 15 21  (箱) 【答案】白粉笔 21 箱，彩色粉笔 6 箱 【例 10】有两根铁丝，第一根长18 米，第二根长10 米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长 度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】引导学生画图，并找出本题中数与份数之间的关系．以学生探索为主，教师指导为铺．用去同样长 的一段后，两段长度差为：18 10 8  （米），且第一根比第二根多：3 1 2  （倍），则第二根剩下： 8 2 4  （米），第一根剩下： 4 3 12  （米）． 【答案】第一根剩下12 米，第二根剩下 4 米 【巩固】 有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长13 厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度 是短纸带剩下的 3倍，问剪下的一段有多长？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长： 21 13 8  （厘米），短纸带剩下：8 (3 1) 4   （厘米）， 剪下：13 4 9  （厘米）． 【答案】 9 厘米 【巩固】两根绳，第一根长 64 米，第二根长 52 米，剪去同样长后，第一根是第二根的 3倍，求每根绳减去几 米？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】剪去同样长后，第一根比第二根长 (64 52) 米，因此，第二根剩下的长为 (64 52) (3 1) 6    米，从 而剪去的长度为 52 6 46  米 ． 【答案】 46 米 【巩固】两条纸带，较长的一条为 23cm，较短的一条为 15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两 条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是( )cm. （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 2 题 【解析】B，设剪下的长度为 x 厘米则可以列出不等式：23- x ≥2（15- x ），整理得 x ≥7，所以剪下的长度至 少是 7 厘米。 【答案】 B 【例 11】 有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的 3倍，求原来 大桶有水多少千克？ 【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】现在大桶水比小桶水多：8 2 16  （千克），所以现在小桶中的水是：16 (3 1) 8   （千克），而原 来大桶中有水是：8 2 16  （千克）． 【答案】16 千克 【例 12】 两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的 3 倍，两筐苹果原来各有多少千克？ 【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】用下图表示它们的关系： 设乙筐余下的千克数为 1 份，则甲筐余下的千克数为 3 份，甲、乙两筐余下的苹果相差 3 1 2  （份）．原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克，说明甲筐比乙筐 少卖出19 7 12  （千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少 12 千克，所以甲、乙两筐余下的差是 12 千克，所对应的份数差是 2，从而可以求出 1 份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果 数相差19 7 12  （千克），乙筐余下苹果的数是12 3 1 6（ ）   （千克），甲、乙两筐原来各有苹果的 数量 6 19 25  （千克）． 【答案】 25 千克 【巩固】两块同样长的花布，第一块卖出 31 米，第二块卖出 19 米后，第二块是第一块的 4 倍，求每块 花布原有多少米？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下 的多.所剩的布第二块比第一块多 31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的 4 倍，那么第二 块比第一块多出的 12 米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这 样，第一块所剩布的长度即可求出： 第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米），第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）第 一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等），综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4 ＋31=35（米） 【答案】两块花布原有长度相等为 35 米 【巩固】两筐苹果一样重。第一筐卖出 8 千克，第二筐卖出 16 千克。第一筐中剩下的苹果恰好是第二 筐中剩下的 3 倍。原来每筐苹果重 千克。 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛 【解析】第一筐剩下的是第二筐的 3 倍，那么就多 2 倍，得到：    16 16 8 3 1 20     千克。 【答案】 20 千克 【例 13】 有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的 3 倍，这两根绳子原来长多少米？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】用下图表示它们的关系： 两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去 12 米，第二根绳子又接上 14 米后，第二根的长度 是第一根的 3 倍．应该把变化后的第一根长度看作 1 倍，而12 14 26  （米），正好相当于第一根绳 子剩下的长度的 2 倍．所以，当从第一根截去 12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二 根原有长度也就可以求出来了．所以，第一根截去 12 米剩下的长度： 12 14 3 1 13（ ）（ ）    （米）两 根绳子原来的长度：13 12 25  （米）． 【答案】 25 米 【巩固】 甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16 千克油，乙桶加入14 千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重 量的 4 倍．甲桶原来有油多少千克？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】后来乙比甲多14 16 30  千克油，所以这时甲桶油的重量是：30 (4 1) 10   (千克)，甲桶原来有油 10 16 26  (千克) ． 【答案】 26 千克 【巩固】 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书 74 本，三（2）班从本 班原书中拿出 96 本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的 3 倍，求两班原 有图书各多少本？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书 74 本，即增加了 74 本；三（2）班从本班原有图书 中取出 96 本送给一年级同学，则图书减少了 96 本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班 图书就相差 96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170 本图书.又知三（1）班现有图 书是三（2）班图书的 3 倍，可见这 170 本图书就相当于三（2）班所剩图书的 3-1=2 倍，三（2）班 所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见下图）： 后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本） 三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本） 三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多） 综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本） 【答案】两个班原有图书一样多为 181 本 【例 14】 大桶里有油 60 千克，小桶里有油 30 千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶 是小桶的 4 倍．问两个桶各剩油多少千克？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】用下图表示它们的关系： 卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩的油为 １倍数，大桶剩油是小桶剩油的 4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多 4 1 3  （倍）．而大桶比小桶多 的油总保持不变，是 60 30 30  （千克）．再利用差倍问题的公式就可解决．小桶剩下的油是： 30 3 10  （千克），大桶剩下的油是：10 4 40  （千克）． 【答案】小桶10 千克，大桶 40 千克 【巩固】 食堂里有 94 千克面粉，138 千克大米，每天用掉面粉和大米各 9 千克，几天后剩下的大米是面粉的 3 倍？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是： 138-94=44（千克）。我们把几天后剩下的面粉重量看作 1 份，大米重量也就是 3 份，则几天后剩下 面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22） ÷9=8（天）。 【答案】 8天 【巩固】 实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少 540 人，因为第三校区建成，从两个校区各调走 200 人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的 4 倍，那么实验小学一校区和实验小学 二校区原来各有多少人？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】两校区各调走 200 人之后还是相差 540 人，对应的倍数是：4 1 3  倍，实验小学一校区调走 200 人 后剩下的人数是：540 (4 1) 180   (人)，实验小学一校区原有：180 200 380  (人)，实验小学二校 区为： 380 540 920  (人). 【答案】实验小学一校区 380 人，实验小学二校区 920 人。 【例 15】有两盘苹果，如果从第一盘中拿 2 个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘 中拿 2 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的 2 倍．第一盘有苹果多少个? 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】原来第一盘比第二盘多： 2 2 4  (个)，从第二盘拿 2 个到第一盘里，第一盘就比第二盘多： 4 (2 2) 8   (个)，第二盘拿走 2 个后剩下的苹果数为： 8 (2 1) 8   (个)，第一盘原有苹果： 8 2 2 14   (个) ． 【答案】14 个 【巩固】 小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红 1 支，两人就一样多，如果小红给小青 1 支，小 青的水彩笔就是小红的 2 倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】“小青给小红 1 支，两人就一样多”说明小青原来比小红多1 1 2  (支)，“如果小红给小青 1 支，小青 的水彩笔就是小红的 2 倍”则小红给小青 1 支后，小青就比小红多 2 1 1 4   (支)，这与倍数差 2 1 1  （倍）相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是 4 1 4  (支)，她原来就是 4 1 5  (支)，小青原 来是： 5 2 7  (支). 【答案】小青 7 支，小红 4 支 【巩固】 小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说： “我若给你两个，你的弹球数量将是我的 3 倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由小明说的话推知 小明的玻璃球比小刚多 4 个，如果小刚给小明 2 个，那么小明比小刚多 8 个.8 个是小刚还剩下玻璃 球数量的 3-1＝2 倍，此时小刚有玻璃球 8÷2＝4（个），小明有玻璃球 4+8＝12（个），两人共有玻 璃球 4+12＝16（个） 【答案】16 个 【巩固】 小明和小刚各有玻璃弹球若干个。小明对小刚说“我若给你 2 个，我们的玻璃弹球将一样多。”小刚 说“我若给你 2个，我的弹球数量将是你的弹球数量的三分之一。”小明和小刚共有弹球 个。 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，六年级，一试，第 10 题 【解析】由小明的话可以知道，他比小刚多 4 个，若小刚给小明 4 个，小明就比小刚多 8 个，假设小刚的弹 球数为 1 份，那么小明的弹球则为 3 份，比小刚多 2 份，1 份即为 8÷2=4 个，两人共有 4 份即 4×4=16 个。 【答案】16 个 【例 16】某迎春茶话会上，买来苹果 4 箱，已知每箱苹果取出 24 千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来 一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】此题目较难找出数量间的关系，但是一定还的让学生自己动脑想一想，之后，教师再引导学生画图， 共同探讨分析．取出 24 4 96  千克，即原来的比剩下的多 96 千克，原来有 4 箱，剩下一箱的重量， 即原来的是剩下的 4 倍，所以 96 (4 1) 32   （千克）为剩下的重量，即一箱的重量． 【答案】 32 千克