5-8-2.进制的应用
教学目标
1. 了解进制；
2. 会对进制进行相应的转换；
3. 能够运用进制进行解题
知识点拨
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1
的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进制的
计数单位分别是 1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为：
(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数 n,我们有 n0=1。
3. k 进制：
一般地，对于 k 进位制，每个数是由 0，1，2， ， 1k （ ）共 k 个数码组成，且“逢 k 进一”． 1k k （ ）
进位制计数单位是 0k ， 1k ， 2k ， ．如二进位制的计数单位是 02 ， 12 ， 22 ， ，八进位制的计数单位
是 08 ， 18 ， 28 ， ．
4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
1
1 1 0 1 1 0
n n
n n k n na a a a a k a k a k a
（ ）
十进制表示形式： 1 0
1 010 10 10n n
n nN a a a
；
二进制表示形式： 1 0
1 02 2 2n n
n nN a a a
；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上 k ，表示是 k 进位制的数
如： 8352（ ）， 21010（ ）， 123145（ ） ,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5. k 进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为 k 进制数的方法是：除以 k 取余数，一直除到被除数小于 k 为止，余数由下到上
按从左到右顺序排列即为 k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将 k 进制数按 k
的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
十进制 二进制
十六进制
八进制
例题精讲
模块一、进制在生活中的运用
【例【例 11】】 有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付。可是不付
又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有 7 环。对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这
一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，
从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分
文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的
一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提
到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”
当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，
顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】断开第三环，从而得到 1，2，4 环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一
环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环。
【答案】1， 2 ， 4
【巩固】【巩固】现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码各 1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】因为砝码的克数恰好是 1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，
23=8，24=16，在砝码盘上放 1 克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是 1，放 2 克砝码认为是二
进位制数第二位是 1，……，放 16 克砝码认为是二进位制数第五位是 1，不放砝码就认为相应位数
是零，这样所表示的数中最小的是 1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说 1
至 31 的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出 31 种不同重量的物体。
【答案】 31
【例【例 22】】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快
满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把
茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼
里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。
于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。你能
解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】由于 2 2 2 2 2 21 (1) ,2 (10) ,4 (100) 8 (1000) ,16 (10000) ,32 (10 0000) 观察一下你会发现最佳员
工：所取的数字与二进制中的 2 2 2 2 2 2(1) ,(10) ,(100) ,(1000) ,(10000) ,(100000) 对应，而我们所要的 3，
5，6，7，9， 等等数字都可以用这些二进制相加得来，老师可以在黑板上给学生列竖式演示此
道理，说明取 1，2，4，8，16，32，64，128，256 的道理。
【巩固】【巩固】如果只考虑 100 克以内的重量，至少需要多少包？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】至少需要 1，2，4，8，16，32，64（7 包）
【答案】至少需要 1，2，4，8，16，32，64（7 包）
【巩固】【巩固】如果只许在天平的一边放砝码，要称量 100g 以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】至少需要：1，2，4，8，16，32，64 这七种重量的砝码即可。
【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64 这七种重量的砝码即可
【巩固】【巩固】古代英国的一位商人有一个15 磅的砝码，由于跌落在地碎成 4 块，后来，称得每块碎片的重量都是
整磅数，而且可以用这 4 块来称从1至15 磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。
那么这 4 块砝码碎片各重 ， ， ，
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 15 题
【解析】因为二进制数可以表达所有的自然数，而且表达形式是唯一的，例如：9=1+8 ，31=1+2+4+8+16 ……
所以只要准备质量为 1,2,4,8 的二进制数砝码即可。
【答案】1,2,4,8
【例【例 33】】 有 10 箱钢珠，每个钢珠重 10 克，每箱 600 个.如果这 10 箱钢珠中有 1 箱次品，次品钢珠每个重 9
克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为 1～10 号，然后从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2
号箱中取 2 个钢珠……，这样共取了1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=55 （个）钢珠，重量是：
55 10=550 （克），如果轻了 n(1≤n≤10)克，那么第几号箱就是次品.在这个方法中，第 10 号箱也可
不取，这样共取出 45 个钢珠，如果重 450 克，那么 10 号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品.
总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，
反之，也是。
【例【例 44】】 小马虎将一些零件装箱，每个零件 10g，装了 10 箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次
品零件 9 克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为 1～10 号，然后从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2
号箱中取 2 个钢珠，从 3 号箱中取 4 个钢珠，从 4 号箱中取 8 个钢珠……从 10 号箱中取 512 个钢珠，
共取出 1+2+4+8+…+512=1023 个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重 10230 克，如果轻了
n(1≤n≤10)克，就看 n 是由 1，2，4，8，16，…512 中的那些数字组成，则数字对应的那些号箱就是
次品.在这个方法中，第 10 号箱也可不取，这样共取出 511 个钢珠，如果重 500 克，那么 1，2，4
号箱是次品。
【例【例 55】】 计算机存储容量的基本单位是字节，用 B 表示，一般用 KB、MB、GB 作为存储容量的单位，它们
之间的关系是 1KB= 102 B，1MB= 102 KB，1GB= 102 MB。小明新买了一个 MP3 播放器，存储容量为
256MB，它相当于_____B。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】256MB=256× 102 = 182 KB= 282 B
【答案】 282 B
【例【例 66】】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字，将它复制后粘
贴到该页面，就得到 2 个字；再将这 2 个字复制后粘贴到该页面，就得到 4 个字。每次复制和粘贴
为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，4 分
【解析】2 的 10 次方为 1024，2 的 11 次方为 2048，所以需要操作 11 次。
【答案】11次
【例【例 77】】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有 80 万吨重，愚公有两个儿
子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运 100 吨石头。如
果愚公是第 1 代，那么到了第 代，这座大山可以搬完。（已知 10 个 2 连乘之积等于 1024）
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】设到了第 n 代，这座大山可以搬完
20+21+22+……+2n-1≥800000÷100
2n-1≥8000
2n≥8001
212=4096，213=8192
答：到了第 13 代，这座大山可以搬完。
【答案】13 代
【例【例 88】】 123456789012345678901234567890……1234567890,共 10000 个数字。第一轮去掉在奇数位置（从
左数起）上的数字，剩下 5000 个数字;第二轮再去掉这 5000 个数字中奇数位置上的数字，剩下 2500
个;第三轮，……;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是__ ,这时已经操作了 轮。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，12 题
【解析】最后剩下的数是接近 10000 的 2n。已知 213=8192，8192 10 819 2 ，第二个数正好就是 2。另外，
根据操作规律，每 2n 个数，操作 n 次剩下最后一个数，所以，操作 13 次。
【答案】 2 ，操作13 次
【例【例 99】】 10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为
_________克。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 7 题
【解析】由于无论怎样放都不能使天平平衡，首先可以知道这 10 个砝码的重量各不相同。最轻的那个砝码至
少为 1 克，次轻的至少为 2 克，由于1 2 3 ，接下来的至少为 4 克，……由此想到我们熟悉的 2
的次幂，当 10 个砝码的重量分别为 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克，……，512 克时满足题意，所
以这堆砝码的总重量至少为1 2 4 8 512 1023 克。
【答案】1023克
【例【例 1010】】将 6 个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个
数字：1，2，3，4，5。那么●○○●○●表示的数是 。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 16 题，5 分
【解析】从图中数字 1、2、4 的表示可知：自右向左第一个灯亮表示 1，第二个灯亮表示 2，第三个灯亮表示
4，第四个灯亮表示 8，第五个灯亮表示 16，第六个灯亮表示 32。因此问题当中的表示 16+8+2=26。
【答案】 26
模块二、巧求余数问题
【例【例 1111】】已知正整数 N 的八进制表示为 8(12345654321)N ，那么在十进制下， N 除以 7 的余数与 N 除以 9
的余数之和是多少？
【考点】巧求余数问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】2009 年，，入学测试题
【解析】【解析】与十进制相类似，有： 2
8 8(12345654321) (111111) ．
根据 8 进制的弃 7 法， 8(111111) 被 7 除的余数等于其各位数字之和，为 6，而 26 36 除以 7 的余数
为 1，所以 8(111111) 的平方被 7 除余 1，即 8(12345654321) 除以 7 的余数为 1；
另外， 89 (11) ，显然 8(111111) 能被 8(11) 整除，所以其平方也能被 8(11) 整除，即 8(12345654321) 除
以 9 的余数为 0．
因此两个余数之和为1 0 1 ．
【答案】1
【巩固】【巩固】在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求除以 7 的余数为多少？
【考点】巧求余数问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】人大附中，分班考试
【解析】【解析】类似于十进制中的“弃九法”，8 进制中也有“弃 7 法”，也就是说 8 进制中一个数除以 7 的余数等于这
个数的各位数字之和除以 7 的余数．
本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为 68，而 68 除以 7 的余数为 5，所以这个数除以 7 的余
数也为 5．
【答案】 5
【例【例 1212】】试求 2006
10
2 1 除以 992 的余数是多少?
【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】我们通过左式的短除法，或者直接运用通过 2 次幂来表达为 2 进制：
10 2992 1111100000 ， 2006
10 2006 1 2
2 1 111 1
个
我们知道在 2 进制中
5 0 2
111...10000...0
5个1 个或以上
一定能被
(1111100000)2 整 除 ， 所 以
2
111 1 =
2006个1 6 0 2
111...1000...0 111111
2000个1 个
， 因 为
6 0 2
111...1000...0
2000个1 个
能 被
(1111100000)2 整除，所以余数为 5 4 3 2 1 0
2111111 =2 2 2 2 2 2 =63 ，所以原式的余数为 63。
【答案】 63
【例【例 1313】】计算 2003(2 1) 除以 7 的余数．
【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】由于 32 8 除以 7 余 1，而 2003 3 667 2 ，所以 20032 1 除以 7 的余数为 22 1 3 ．
本题也可以转化为 2 进制进行计算： 2003
2
2003 1
2 1 (111 1)
个
， 27 (111) ，
所以 2003
2 2
2003 1
(2 1) 7 (111 1) (111)
个
．
而 2003 3 667 2 …… ，所以 2 2
2003 1
(111 1) (111)
个
余 2(11) 3 ．
所以 2003(2 1) 除以 7 的余数为 3．
【答案】 3
【例【例 1414】】计算 2003(3 1) 除以 26 的余数．
【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】题中有 3 的次幂，令人联想到将题中的数转化成 3 进制下的数再进行计算．
2003
3 3 3
20032003
3 1 (1000... 0) (1) (222 2)
个2个0
，而 326 (222) ，
所以， 2003
3 3
2003
(3 1) 26 (222 2) (222)
个2
．
由于 3(222) 整除 3(222) ， 2003 3 667 2 ，所以 3 3
2003
(222 2) (222)
个2
余 3(22) 8 ．
所以 2003(3 1) 除以 26 的余数为 8．
【答案】 8
模块三、进制与位值的综合运用
【例【例 1515】】在美洲的一个小镇中，对于 200 以下的数字读法都是采取 20 进制的。如果十进制中的 147 在 20
进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，
那么 20 进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 12 题
【解析】 10 20147 77（ ） （ ） ， 10 2049 29（ ） （ ） ，所以 ha 代表十位，ugens 代表个位，dew 代表 9，naw 代表 2。
20 1092（ ） =（182） ，所以答案是 182.
【答案】182
【例【例 1616】】一个自然数，在 3 进制中的数字和是 2007，它在 9 进制中的数字和最小是 ，最大是 。
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 9 题
【解析】 最大为 2007×3=6021，最小为 2007.
【答案】最小 2007 ，最大 6021
【例【例 1717】】在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少?
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】【解析】 2 1 0
6
abc 6 6 6 36 6a b c a b c ； 2 1 0
9
cba 9 9 9 81 9c b a c b a ；
所以 36 6 81 9a b c c b a ；于是 35 80 3a c b ；
因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，
又(3，5)=1．所以，b=0 或 5．
①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c≠0，所以 a=16，c=7。但是在 6,9 进制，
不可以有一个数字为 16．
②当 b=5，则 35a=3×5+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后，3+2c≡0。所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数)．因
为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6 =(552)6
=5×62+5×6+2=212。这个三位数在十进制中为 212。
【答案】 212
【例【例 1818】】在 7 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少？
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】【解析】首先还原为十进制：
2
7( ) 7 7 49 7abc a b c a b c ； 2
9( ) 9 9 81 9cba c b a c b a ．
于是 49 7 81 9a b c c b a ；得到 48 80 2a c b ，即 24 40a c b ．
因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 0b 或 8．
但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 0b ， 24 40a c ，则 3 5a c ．
所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数．
所以， 0a 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 5a ， 3c ；
所以 7 7( ) (503) 5 49 3 248abc ．
于是，这个三位数在十进制中为 248．
【答案】 248
【例【例 1919】】一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年
龄．
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】【解析】①设这个人为 a 岁，得 (10) (3)0a a ，又 1 0
(3) (10)0 3 0 3 3a a a ，解得 0a ，不合题意，所以这
个人的年龄不可能是一位数．
②设这个人是 ab 岁，由题意得： (10) (3)0ab ab ．
因为 2 1 0
(10) (3)10 , 0 3 3 0 3 9 3ab a b ab a b a b ，所以10 9 3a b a b ，即 2a b ．又因为
0ab 是三进制数， a ， b 都小于 3，所以 2a ， 1b ．所以，这个人为 21 岁．
③ 设 这 个 人 为 abc 岁 ， 由 题 意 有 ， (10) (3)0abc abc ， 因 为 (10) 100 10abc a b c ，
3 2
(3)0 3 3 3 27 9 3abc a b c a b c ，所以100 10 27 9 3a b c a b c ．即 73 2a b c ．又
a 、 b 、 c 都小于 3，所以上述等式不成立．所以这个人的年龄不可能是三位数．
综上可知这个人的年龄是 21 岁．
【答案】 21
【例【例 2020】】N 是整数，它的 b 进制表示是 777，求最小的正整数 b，使得 N 是十进制整数的四次方．
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】【解析】设 b 是所求的最小正整数， 2 47 7 7b b x x N ，因为质数 7 能整除 27 7 7b b ，所以也能整
除 x，不妨设 7x m ，m 是大于 0 的自然数。则： 427 7 7 7b b m ，化简得： 2 3 41 7b b m ，
易知，b 的值随 m 的增大而增大，当 m=1 时，b=18。
【答案】18
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