数阵图（三）讲解

第 18 讲 数阵图（三） 数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根 据题目条件灵活解题。 例 1 把 20 以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起 来的四个数之和都相等。 分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中 间两数之和必然相等。20 以内共有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质 数，两两之和相等的有 5＋19＝7＋17＝11＋13， 于是得到下图的填法。 例 2 在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线 上的方格中的四个数字都是 1，2，3，4。 分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a 处只能填 1，从而 b 处填 3；进而推知 c 处填 4，d 处填 3，e 处填 4，……右下图为填好后的 数阵图。 例 3 将 1～8 填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能 填入有直线连接的相邻的两个○内。 分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而 2～7 中的任何 一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填 1 和 8。2 只能填在与 1 不相邻的○内，7 只能填在与 8 不相邻的○内。其余数的填法见右上图。 例 4 在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和 等于 20，而且每个三角形（共 5 个）顶点上的数字之和都相等。 分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图 中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形 顶点上的数字之和为 20÷2＝10。10 分为三个质数之和只能是 2＋3＋5， 由此得到右图的填法。 例 5 在右图所示立方体的八个顶点上标出 1～9 中的八个，使得每个面上 四个顶点所标数字之和都等于 k，并且 k 不能被未标出的数整除。 分析与解：设未被标出的数为 a，则被标出的八个数之和为 1＋2＋…＋9-a ＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a）， 2k＝45-a。 2k 是偶数，45－a 也应是偶数，所以 a 必为奇数。 若 a＝1，则 k＝22； 若 a＝3，则 k＝21； 若 a＝5，则 k＝20； 若 a＝7，则 k＝19； 若 a＝9，则 k＝18。 因为 k 不能被 a 整除，所以只有 a＝7，k＝19 符合条件。 由于每个面上四个顶点上的数字之和等于 19，所以与 9 在一个面上 的另外三个顶点数之和应等于 10。在 1，2，3，4，5，6，8 中，三个数 之和等于 10 的有三组： 10＝1＋3＋6 ＝1＋4＋5 ＝2＋3＋5， 将这三组数填入 9 所在的三个面上，可得右图的填法。